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故障诊断系统的一体化设计
这一章节的主要目标是基于模型的故障诊断系统的设计，在关于FDI（一体化故障诊断）技术的文献中，这一目标总是被误解成为残差生成器。在上一章节中，我们已经学习了残差评估方法，并且了解了残差评估单元在诊断系统中的重要性。它包括三个设计步骤：
·在给定性能指标条件下建立残差生成器；
·定义合适的残差评估功能，并在此基础上进行设计；
·设定阈值。
这种设计步骤是在我们学习了前两章的内容后，得出的针对FDI系统建模设计的合理结果。
另一方面，针对故障诊断系统的一体化设计（也就是残差生成器，残差评估系统，阈值的综合设计，而不是独立的单元处理）将会提升FD（故障诊断）系统的性能，这有很高的应用价值。在发展残差生成的最优方式过程，并未考虑残差评估函数和阈值计算，如第二章所介绍的那样，故障诊断系统的一体化设计的问题解决会通过对此的观察得到推动。在某些给定性能指数下，某个最优残差生成器无法自动得出一个最优的故障诊断系统。那么就会出现一个重要的问题：最优故障诊断系统的标准是什么？
在学习了前两章的内容之后，读者们应该都会有印象，许多基于模型的FDI问题都可以借助先进的控制理论得以解决，同时可以通过鲁棒性和灵敏度的对比，去了解一个优化的FD系统。
在实际操作中，故障诊断系统的基本要求是能够表现较低的警报率和较高的故障检测率，而两者之间的最佳权衡标准是FD系统设计的主要考虑。
在这种情况下，对残差生成器，残差评估和阈值计算进行单独研究意义不大。为了成功地设计基于模型的FD系统，我们需要综合处理残差生成器，残差评估和阈值计算。
外界干扰和模型的不确定性会引起错误警报。为了减少错误警报，我们引进了阈值，这样可以依次减少错误检测率。设计故障检测系统的核心是找到一个合适的错误警报率和故障检测率的平衡点。事实上，鲁棒性和灵敏度的概念就是错误警报率和故障检查率在控制理论的说法。不幸的是，它们的应用大多局限于残差生成器的设计。
在这一章节中，我们将要学习故障检测系统的一体化设计，如图12.1，并且介绍两种设计方法。我们研究的进一步重点是回顾一些在第二章中介绍的残差生成方法，具体是在错误警报率和故障检查率之间的权衡的文章中。
12.1 FAR and FDR
前面两章中介绍过，FAR（错误警报率）和FDR（故障检测率）原本是统计领域中的两个概念。
假设r是随机残差向量，随着未知输入向量d和故障向量f的变化而变化。我们用来表示残差评估性能，用表示相应的阈值，由此，故障检测的判定逻辑就可以表述为
(12.1)
(12.2)
定义12.1 FAR的概率
(12.3)
在统计框架中称为错误警报率。
定义12.2 FDR的概率
(12.4)
在统计框架中称为故障检测率。
定义12.3 概率
(12.5)
在统计框架中称为漏检率（MDR）。
因为FD系统有明确的残差信号，所以很明显需要对它有新的定义。S.X.丁等人在范数基础上的残差评估中首次引进了FAR和MDR的概念。下面，我们将集中关注基于范数的框架构建构，在FAR和FDR之间的平衡点背景下，这将有助于我们评估基于模型的FD系统的性能。
为了简化报告，我们首先介绍以下符号。我们用Gr来表示残差发生器，并且假设Gr产生的残余量r是由未知输入量d和故障量f决定，受模型不确定性Delta;影响的。我们认为d的范围是
在这个式子中，可以替代某些信号范数。我们通过来表示r的基于范数的评估，这个式子是的阈值，并假设决策逻辑 (12.1)-(12.2) 采用于检测的目的。
引入FAR概念的目的是描述FD系统在系统操作时根据假警报的强度而采取的措施。
如果f=0时成立，则创建一个错误警报。
定义12.4 考虑到残差生成器Gr和,集定义为
被称为导致错误警报的组扰动(SDFA).
SDFA的大小表示可能产生错误警报的数量,因此我们构建了一个测量仪，来直接测量FD在错误警报的强度方面的系统性能。从另一方面讲, 我们很难依据SDFA的大小去描述FAR，并且SDFA的大小更多取决于 。因此，我们介绍如下简单的FAR的定义。
考虑到在无故障的情况下
其中表示了导出范数的的定义为
因此,一个阈值等于gamma;delta;d会确保得出一个零FAR。它激励我们介绍下面的定义。
定义 12.5
由式子
得到的FAR被称为基于规范框架内的FAR。
注意，当
也就是说，
并且，当
也就是说，
FDR概念的引入是为了从故障检测能力的角度评估FD系统性能，这种概念被理解为一组所有可检测的故障。回想一下，当我们满足了
（） （12.11）
这个条件后，故障可以被检测出。
定义12.6 鉴于残差生成器Gr和，集合定义为
我们称之为可检测故障组（SDF）。
SDF的大小是对FD的系统故障检测能力的直接测量。类似于FAR的情况,现在我们介绍在基于规范框架的FDR的简化定义。为了达到我们的目的,我们提醒读者注意这个假设，假设d = 0,Delta;= 0，
当
假设这些大于的f向量定义为被探测到故障。然后,设定阈值大小等于,将会检测率100%的故障检测。在这种理念下，我们得出了
定义12.7 通过
得出的FDR被称为基于理论框架的FDR。
需要注意，在的设想下，我们得出当
根据这个定义，给出一个FDR，则阈值应该被设置为
12.2 在给定FAR下的最大化故障检测能力
在这一节内容中，我们在基于理论的框架中提出了一种方法,这将带来FDR和FAR之间的平衡,表达了在给定FAR的情况下最大化了可检测故障的数量。我们不仅关注这种方法的来源，还关注现有最佳残差生成器在权衡策略的方法方面的评估。
12.2.1 问题公式化
为了简单起见，我们想到了系统模型
应用残差生成器
为了残差生成这一目的，并且使用标准作为残差评估函数。
回想一下，根据检测逻辑（12.1）-（12.2），一个错误有且只有在满足
的情况下才可以被检测，并且在无故障的情况下如果满足
那么一个错误警报就会发出，此时
被认为是稳定的。
假设FAR是允许给出的。它遵循错误警报条件（12.19）和FAR的定义，则阈值会被设定为
出于我们的设计目的，我们制定了如下的权衡设计问题：在给定FAR的情况下如何使得SDF最大化(PMax-SDF)。给定的FAR和是根据（12.20）来设定的，我们发现了，所以
（12.21）表示是最大的SDF并且这会得出最大的FDR。在下一段落的最后，我们将会证明最大化SDF等同于最大化FDR.
12.2.2 解决方案的基本形式
在这一段落中，我们将会大概描述基础思想并且在如下设想中提出对于PMax-SDF的一个解决方案：
设想1：
设想2：的共同外部，也就是是在中余下的可逆的。
我们现在从寻找PMax-SDF的解决办法开始入手。使满足的
以任意选择的规格适当的矩阵表现。这会得出
考虑到
这得出
这就意味着
这是一个必要条件，在这种前提下故障f(s)才会被检测。我们已经证明过了下一个原理。
原理12.1 给定系统（12.16），残差生成器（12.17），FAR和阈值设定（12.20），一个故障f(s)只有在满足（12.25）是才可以被检测。
注意，设定和阈值会导致
这就意味着（12.25）对于f(s)可以被检测也是一个充分条件，这证明了R（s）被设为。这个结论为我们提供了PMax-SDF解决方案的证明，这会被总结到下一个原理中。
原理12.2 给定系统（12.16），残差生成器（12.17），FAR和阈值设定（12.20），然后
是PMax-SDF的最优解决方案。
以下推论遵循从引理7.4和7.4。
推论12.1 给定系统（12.16），残差生成器（12.17），FAR和阈值设定（12.20），然后
解决了PMax-SDF (12.21)。
定理12.2和推论12.1表明,统一解决方案中给出定理7.10连续时间系统和定理7.19离散时间系统解决了PMax-SDF。这也解释了为什么统一解决方案得出了在指标中最高的故障灵敏度。我们建议读者查看段落7.9详细讨论和描述的统一解决方案。下面总结了一些重要的属性:
bull;定理7.11和7.19为我们提供了状态空间形式的解决方案 (12.27)。
bull;解决方案(12.27)确保
和
于是，这也导致了最大化FDR
和
bull;阈值由下式得出
12.2.3通用解决方案
在本节中,我们删除假设1和假设2以及现在的一个通用的解决方案。学习了定理7.10中给出的解决了PMax - SDFa1a2的统一解决方案,应用在段落7.10中一般形式的统一解决方案来处理我们的问题是合理的。类似于段落7.10, 在接下来研究中我们只考虑连续时间系统的复杂性。
就像在段落7.10中介绍的那样，并且给定的是可以被因式分解的，通过一个扩展DIOF算法（见算法7.7），
在中 是可逆的并且是一起包含的。 注意零块在上面的转移矩阵存在的前提是不符合假设1 ,
因此,概括的统一解决方案由下式得出
其中delta;gt; 0是一个常数,可以足够小，满足 (7.284)-(7.285)。我们现在检查是否广义统一解决方案(12.30) 解决了PMa-SDF。
回想一下,应用(12.30)到(12.17)的领域
同时
得出结论
因此,任何导致
的故障f(s)都会被检测。另一方面，对于任意，都具备
总结(12.32)-(12.33)给下面的定理的证明。
定理12.3 给定系统(12.16),残差生成器(12.17),FAR和阈值设置(12.20)
解决了PMax-SDF。
非常有趣的是,我们发现任何满足
的故障f(s)都可以被检测。因为delta;可以被设置的足够小，我们可以称任何满足的故障f(s)都可以被检测。回想一下, 是由的零空间限制住的，也就是
因此,任何可以从未知输入矢量d(s) 测量子空间解耦的故障都可以检测到。下面是在通过给定的FAR使故障检测能力最大化的情况下优化设计FD系统的算法。
算法12.1 通过给定FAR优化设计FD系统
S1：将送入(12.29)
S2: 找到根据(7.284) 和 (7.285)
S3：设定根据(12.30)
S4：设定界限值根据(12.28).
12.2.4 互联与比较
在本节中,我们研究解决方案(12.27)之间的关系,也就是统一的解决方案,和6和7章中给出的设计方案之间的关系。
和PUIDP的关系 在第六章，我们已经学习了PUIDP，也学习了在下面的条件下
存在一个残差生成器 R（s）满足下面的条件
所以阈值须设置为零。所有检测到的错误都是用的解决PUIDP的方法，具体如下
它符合（12.35）的内容，并且在讨论下式后
我们也得出
另一方面，很明显，f不管取任何值都满足
它满足
通过这个方法，我们已经证明了以下定理，证明了解决方案(12.27)为我们提供了一个相对于 PUID方案来说，更好的检测故障的方法。
定理12.4 已知系统(12.16)，残差发生器(12.17)和假设(12.36) 满足条件，则
关系的最优设计方案 为了简单起见, 我们只考虑连续时间系统，假设(a)FAR为0，(b)假设A1-A2，(1
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