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地震地面运动的空间变化性：概述
Aspasia Zerva1 and Vassilios Zervas2
1.Department of Civil and Architectural Engineering, Drexel University
2.Metsoveion National Technical University
本研究根据密集仪器阵列记录的数据的评估提出地震地面运动的空间变化性这一课题，它集中于对空间变化性的随机描述，并侧重于空间相干性。介绍了所记录数据的空间相干性估计及其解释，描述了一些经验和半经验的相干性模型，并讨论了他们在物理原因方面的有效性和局限性，描述了将地震运动的空间变化看作是围绕地震运动相干近似记录数据的振幅和相位的偏差的另一种方法。还介绍并比较了用于产生人造空间变化的地震地面运动的模拟技术。强调了相干性对延伸结构的地震响应的影响。这篇评论文章包括了133篇参考文献。
- 引言
地震地面运动的空间变化表示在延伸区域记录的地震运动的振幅和相位的差异，地震地面运动的空间变化对桥梁，管道，通信传输系统等生命线的响应具有重要影响，因为这些结构在平行地面的长距离上延伸，因此他们的支撑在地震期间经历着不同的运动，如果假设在结构支撑处输入的运动是相同的，那么这种差异可以增加生命线的响应超出预期的响应。文献报道的过去的分析结果表明地震地面运动的空间变化对桥梁的响应的影响不容忽视，并且可能是有害的，也已经尝试将地震地面运动的空间变化应用到生命线设计响应谱中，在最近也得到了认可。地震地面运动的变化可能对延伸结构的响应产生巨大影响。目前，由caltrans进行的研究中，空间变化的地面运动被用作各种桥梁支座的输入运动，例如某某大桥，空间变化的模拟及其对生命线响应的影响是一个要重新进行积极研究的课题。
地震地面运动的空间变化可能是由于位于断层两侧的记录站的相对地表断层运动；土壤液化；山体滑坡，以及从地震源通过不同地层到地面的波的一般传播，本文将重点讨论地震地面运动的后一个原因。
在密集仪器阵列安装后，就开始分析地震地面运动的空间变化，在安装这些阵列之前，运动的空间变化性归因于波形在地面的明显传播，至少在工程应用领域，两个台站之间运动的差异性被认为是由于到达更远的台站时间上的延迟。密集地震仪阵列记录的数据为更多的原因提供了有价值的信息，并为运动的空间变化提供了更详细的描述。
最早安装的阵列之一是EI Centro差分阵列，它记录了1979年的帝王谷地震，该阵列是线性的，由7个台站组成，总长度达312.6m，其最小分布距离为7.6m，然而，为工程师和地震学家广泛研究的大小事件提供了丰富的数据的阵列是SMART-1阵列，它位于某某地方，这个二维阵列于1980年开始运行，由分布在三个同心圆上的37个力平衡三轴加速度计组成（后面都是解释这个阵列的台站分布，如图所示），几乎在阵列记录可用的时候，基于smart1数据的空间变异性研究就开始出现在文献中了。1983年又增加了两个台站，分别位于C00以南处，该阵列位于附近的一个冲击谷中，随后还讲到了设置在SMART-1中的小型三维阵列LSST的台站分布及特点。后续还讲到了分布在世界各地的其他阵列。
本文提出了地震地面运动的空间变化的一个概述，包括其模型和模型的解释，它从第2部分开始，用随机方法描述记录的数据来对空间变异性进行评估，第三节用它所表示的相变性来解释空间变异性的随机描述，以及一致性。第四节提出一些可用的经验和半经验的空间变异性模型，讨论其各自的有效性和局限性，强调了一致性对生命线工程（如桥梁）地震反应的影响。第五部分介绍了最近的一种方法，他不依赖一致性评估来分析空间变化，并且识别围绕一个共同相关分量记录的数据的振幅和相位变化的相关模式，第六部分描述了产生空间变化的地震地面运动的模拟技术，比较了不同相干模型产生的模拟特征和不同模拟方案的特点。最后，第七部分提供了一个简要的总结，结论和意见。
图1.SMART-1阵列
2.从记录的数据对地震地面运动空间变化的随机描述
为了说明空间变异性的产生机理，用一个方程来表示在某个时刻某个位置的水平或者垂直方向上的加速度函数，因为其可以表示为无限数量的正弦曲线的总和。如下所示：
方程中的不同台站之间的时间历史的差异，构成了运动的空间变化，并归因于震源破裂的特征，波仔地层中的传播，散射和局部效应。地震运动空间变化背后的物理原因在相关文献中得到了广泛的介绍，并在后面予以强调。
从记录数据中评估地震运动的随机空间变化的过程认为这些运动是通过时空随机场实现的，为了从可用的有限的数据中提取有价值的信息，例如在地震期间阵列台站记录的时间历史，需要做出某些假设。
假设随机场在空间上是均匀的，即运动的所有随机描述（联合概率分布函数）是站间距离的函数，但与绝对位置无关，这个假设意味着不同记录站的地震运动频率成分（振幅）没有明显的变化，由于大多数密集的仪器阵列位于相当均匀的土壤条件下，同质性的假设是有效的，如果台站位于不同的土壤条件下（如一个位于岩石上，另一个位于冲积层），那么频率成分将会出现明显差异。
进一步假设记录时间历史的阵列站是静止的的随机过程，稳定性意味概率函数不依赖于绝对时间，而是时间差（时间滞后）的函数，从这个意义上讲，时间的历史既没有开始，也没有结束，虽然这种安济涉似乎不现实，但情况并非如此，工程应用中的地震地面运动的大多数特征是从强震动剪切（s）波窗口，即实际地震时间历史的一部分来评估的，这个来自实际时间历史的强大运动段可以被看作是具有统一时间特征的无限时间历史的一部分，即一个固定的过程，对于静止的过程，运动的幅度和相位不是时间的函数。
还假设记录站所处的稳定时间历史是遍历的，一个稳定的过程是遍历的，如果采取如何实现方式的平均值于集合平均值相同，即每个实现方式中包含的信息足以完整描述该过程，那么遍历性的假设是必要的：描述空间变化地震地面运动的概率模型的评估也要求这一点，在理想的情况下，需要记录在同一地点具有类似特征的许多地震，以便可以分析一组数据，以及可以估计该组数据的平均值。然而，实际上，只有一个能在随机场实现，即在阵列中记录具有特定特征的地震数据。
很明显，现实并不完全符合这些假设，但在强运动S波窗口期间记录在密集仪器阵列处的实际数据可能被看作是均匀的，平稳的和遍历的，而且是有限的或弱的，这些对地震地面运动的空间变化进行建模的必要但限制性的假设通常在工程应用的这种运动的模拟中缩回。
以下是随机场的随机描述特征。
2.1交叉谱密度
地震地面运动的随机场（加速度）最好通过地面上两个台站（位置）记录的数据的交叉谱密度来描述，令和为记录在相同方向的两个地面台站和的时程。令为台站间隔距离。 设强震动S波窗口的持续时间为，其中N为窗口记录时程中采样的数量，为时间间隔，实际时程的窗口被假定为一个具有统一特性的无限时间段的一部分（平稳假设）。两站之间的运动的互协方差函数定义为：
这个互协方差在被进一步用作估计量之前通常会进行平滑处理，平滑互协方差函数是
对于固定的过程，习惯上用频率而不是时间范围来描述它，该过程的交叉谱密度（或交叉谱）被定义为协方差函数的傅立叶变换。平滑的交叉谱通过傅里叶变换方程进行评估：
其中，是频率（rad / sec）。相当于，方程的交叉谱估计可以在频域中直接评估如下：
平滑交叉谱则变为：
其中谱窗口是滞后窗口的傅里叶变换，是频率步长，（），*表示复共轭。 时域或频域中的平滑窗口的存在减少了估计中的差异，但也降低了频谱的分辨率。
2.2 功率谱密度
运动的功率谱密度（即，方程式（4）和（6）中的j = k）是通过对每个台站记录的数据进行分析估算得到的，通常称为运动的点估计值：
很显然，各站点运动的傅里叶谱不会完全相同。 然而，随机场中空间均匀性的假设意味着运动的功率谱是与台站无关的。
一旦对目标台站的运动功率谱进行了评估，一般通过回归方案将参数形式拟合到估计值中。功率谱密度最常用的参数形式是Kanai-Tajimi谱[31,32]，或由 Clough和Penzien [33]推广的形式。Kanai-Tajimi谱的物理基础是它通过土壤过滤器进行白噪声化，对地面加速度的功率谱密度的结果如下：
其中是白噪声化基岩激发的振幅，和是土壤过滤器的系数即频率和阻尼。方程（8）的不足之处在于反应谱对地面速度和位移产生了无限的方差。对于任何平稳过程，速度和位移的功率谱密度通过下式与加速度的功率谱密度相关：
从等式（8）和（9）中可以明显看出Kanai-Tajimi谱的速度和位移谱未定义的情况。Clough和 Penzien [33]通过一个附加的参数为和的土壤滤波器推广了Kanai-Tajimi谱（方程（8）），并将地面加速度的功率谱描述为：
这导致速度和位移产生了有限的方差。对于坚硬土壤条件下的地震运动的模拟，土壤过滤参数假定值，[34]。其他土壤条件的参数值可以在例如[4,35]中找到。
当基岩的激励是白噪声过程时，上述的反应谱模型只受场地土条件的影响，然而，地震地面运动是断层破裂产生的地震波通过介质传播到地面的结果。或者说包含了这些因素的地震反应谱可以用来代替方程8以及模拟的作用。例如，Joyner和Boore推导了下面的随机地震地面运动反应谱公式：
其中CF表示比例因子，它是关于辐射效应，自由表面效应以及近源区的材料密度和剪切波速的函数; SF（w）是取决于瞬间震级和破裂特征的因子; AF（w）是通过频率相关转换函数描述的放大因子，例如KanaiTajimi或Clough-Penzien谱中的滤波器（方程（8）和 （10）），或者根据场地阻尼描述，其中和分别是震源区的密度和剪切波速， 和是测站附近的相应的参数，DF（w）是缩小因子，反映波形的衰减; IF（w）是一个滤波器，用于对所得到的频谱进行调整，以便它表示感兴趣的地震地面运动量。
2.3相干性
地震动的相干性来自于两个测站j和k之间运动的平滑交叉谱，规范化的功率谱例如：
为了方便起见频率下标n已经被删除。是一个复数; 即相干函数的绝对值的平方，相干函数为：
是一个实数，假设数值为。 相干函数通常写为：
作为相位谱，和分别表示真正的和虚拟的部分，通常被称为迟滞相干函数，被称为非迟滞相干函数。
一旦从记录的时程数据中获得相干估计值，那么就可以通过对相干数据点的回归分析拟合函数表达式（模型）。 在第 4节将对现有的相干模型进行广泛讨论; 第3节介绍了对相干函数的物理解释。
3.相干性的解释
方程（14）这个复杂的相干函数可以表示为：
下标j和k已被删除; 方程（16）表示地表上两个任何间隔距离的位置之间的相干性变化。
3.1行波效应
上述等式中的复数项描述了行波效应， 即由波形传播引起的波长到达远处测站的延迟。考虑到地面运动由一个个单元的振幅组成，单频随机波在地面上沿着台站之间的直线以速度c 传播。这种类型震动的相干函数的表达式为[38]：
对于主导分析窗口的单一类型的波来说，最常见的情况是在空间变化性评估中使用强震动S波窗口，波在地面上以恒定速度传播的设想是有效的[37 ]。此外，由于体波是非离散的，除了在高度衰减的介质中外，它们在很宽的频率范围内具有相同的速度[39]。因此，在等式（16）中
现在c表示沿着站点之间连线的运动的视波速。 Abrahamson等[19]在方程中引入了一个修正因子。即在较低频率下的运动时由恒定的视波速控制，但是允许在高频下速度的随机变化。
3.2迟滞相干函数
迟滞相干函数，是地震运动中“相似度”的量度，并且表明两个台站记录的数据通过线性传递函数关联的程度。例如，如果在没有噪声的情况下，一个过程可以通过另一个过程的线性变换来获得，[40]，则相干性等于一; 对于不相关的进程，相干性变为零。 预计在低频率和短间隔距离，运动将是相似的，因此，相干性将趋向于统一为和。另一方面，在高频率和长间隔距离时，运动将变得不相关，相干性趋于零。 在这些极端情况之间，相干性的值将随频率和台站间隔距离的增大而衰减。 这一观察结果已经从记录数据的分析中得到验证，描述任何地点和任何事件的迟滞相干性的函数形式都是指数函数， 它们随着间隔距离和频率的增大而衰减。
迟滞相干性的一个重要特征，直接从方程（12）来看不是很明显，那就是它只受到两个台站之间的运动振幅变化的影响最小。Spudich [41]提出了一个简单的例子来说明这一点：考虑到站k的时间历史是 站j的时间历史的一个倍数，即对于任何的n值，将这个表达式代入方程（6），（7）和（12） 将产生完全相同的相干性。 即使各站的运动不是彼此的倍数，可以表明相干性的绝对值对幅度变化不敏感。 因此，迟滞相干性描述了数据的相位变化以及由行波效应产生的相位差 （等式（18））。
Abrahamson [42]提出了迟滞相干性和随机相位差异之间的关系，总结如下：令和为在地面上的两个站j和k的（傅里叶）相位，在消除行波效应的影响之后，和之间的关系可以表示为：
其中是在[-1， 1]之间均匀分布的随机函数，是频率w的确定性函数并且取值在0和1之间。表示存在于时间历史中傅里叶相位差中的（来自乘积）之间的随机相位变化的分数。例如，如果= 0，那么站之间没有相位差，并且两个站的相位相同且完全确定。
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