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附录A 外文参考文献(译文)
报童问题中的保险分析
理查德·瓦特和弗朗西斯科·巴斯克斯
2015年6月3日
摘要
在本文中我们研究的是经典报童问题，但在与现有文献相比，本文有两个新的假设。首先，我们假设批发商最优地设置批发价格，并且这样做考虑了报童可以将未售出的报纸退还给批发商的剩余价值。其次，我们假设剩余价值是报童的一个选择变量，这样它就起到了保险的作用。报童的最佳剩余价值就代表了最佳的保险需求。我们特别研究了供应商的最优定价问题，并表明它可以表示为一个标记方程。我们还表明，保险是以精算不公平的价格所决定的。关于报童的最佳保险需求，问题太复杂了，一个现实的解决方案是不可能实现的，所以我们求助于一个模型，它返回的结果是当报童严格规避风险时候，严格部分保险的严格正面水平是被要求的，且最佳保险覆盖水平随风险规避的增加而增加。
6 模型
整个问题有4个“参数”，它们是(1) q，供应商的边际生产成本，(2) p，报童卖给消费者的零售价格，(3) f，潜在的概率密度功能为消费者需求，和(4) u，报童的效用函数。
(1) q = 0.2，(2) p = 0.8，(3) f(x)= 1(即均匀密度)和(4) u(x) =2-e-ax，其中a是报童的(恒定)绝对风险规避水平。然后，我们计算出各种不同a值的最佳r水平。
模型使用我们专门针对以下问题编写的计算机程序完成。首先，对给定的r和c水平，我们构建了最优产品需求水平y的矩阵。具体来说，我们使用c1 = 0，并且我们允许c以0到p - 0.005 = 0.795的以0.005的离散步长增加。
对于每个cj，我们考虑r从0到cj的值，与步骤c的步长相同。然后，对于每一个可行对(ri，cj) — 即对于每个 ri，cj使得0le;rile;cj，我们使用报童的一阶条件获得最优产品订单来计算最优订购量yij。因此，我们构建下表：
表1
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c1 |
c2 |
c3 |
c4 |
hellip; |
cn |
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r1 |
y11 |
y12 |
y13 |
y14 |
hellip; |
y1n |
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r2 |
y22 |
y23 |
y24 |
hellip; |
y2n |
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Y= |
r3 |
y33 |
y34 |
hellip; |
y3n |
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r4 |
y44 |
hellip; |
y4n |
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hellip; |
hellip; |
hellip; |
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rn |
hellip; |
ynn |
其中c1 = r1 = 0, cj = 0.005(j - 1), ri = 0.005(i - 1), 且cn = rn = 0.795
其次，我们使用相同的r和c值和供应商的预期利润函数来计算供应商预期利润的水平，给定表Y的相应yij值；
表2
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c1 |
c2 |
c3 |
c4 |
hellip; |
cn |
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r1 |
pi;11 |
pi; 12 |
pi; 13 |
pi; 14 |
hellip; |
pi; 1n |
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r2 |
pi; 22 |
pi; 23 |
pi; 24 |
hellip; |
pi; 2n |
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Pi;= |
r3 |
pi; 33 |
pi; 34 |
hellip; |
pi; 3n |
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r4 |
pi; 44 |
hellip; |
pi; 4n |
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hellip; |
hellip; |
hellip; |
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rn |
hellip; |
pi; nn |
最后，程序查看表Pi;的每一行ri，并选择该行中最大的pi;值，从而确定与该级别r对应的最优供应商价格；c*(ri)。鉴于此，我们接着回到表y，并且对于每一行ri，我们选择对应于c*(ri)的列，以便识别y**(ri)。
通过这种方式，我们现在对于r的每个等级都有最优的批发价格，这个批发价格将收取给报童c*(ri)和最优订货量y**(ri)，从中我们可以构造出一个包含报童的间接期望效用值的矢量；
V = [V(r1),V(r2),V(r3),V(r4),hellip;,V(r)]
r的最佳选择是对应于向量V中的最高值的那个。
接下来是两点意见。首先，因为对于这个问题，一般情况下现实形式的解决方案是不可能的，所以我们不得不考虑离散步骤中c和r的值，而不是连续函数。这个问题的“分离”当然会导致报童间接期望效用的最终计算中的小错误。Ev(r)值都确实存在于真正的连续函数上——有些将会，但其他函数会接近但实际上并不在函数上。但是，只要在该过程中采取的步骤非常小，所产生的误差也非常小，并且值V的向量将越来越接近真正的连续函数。
其次，在模拟中，我们实际上并没有使用供应商的一阶条件来计算最优批发价格，而是用数字计算供应商的预期利润，然后选择对应于预期最高数值的c值利润。这是必要的，因为供应商的利润取决于c和y。解决一阶条件会让我们知道任何给定y的最优c，但是y的使用水平依次取决于c。也就是说，不是矩阵Pi;，我们可以设想一个矩阵，每行有个r值，每列有个y值，然后每个矩阵单元可以是c(r，y)的水平，满足供应商的一阶条件。然而，这样做并不能让我们确定每个r实际选择哪个c的最优值，因为我们不知道哪个c和y的组合(对于每个r)实际上给出了最高水平的供应商利润。
在模型中，我们将我们的两个矩阵的计算步长设置为0.005，也就是说c在160个连续的步骤中从0变到0.795。我们允许报童的(恒定)绝对风险规避水
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