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船舶起重机有效载荷运动的稳定性、控制和可靠性
Daniil Yurchenko , Panagiotis Alevras
英国爱丁堡埃里奥特瓦特大学机械、工艺与能源工程研究所
摘要
本文研究了舰载起重机有效载荷运动的随机动力学、稳定性和控制，以及第一次通过失效类型。考虑有效载荷运动的简化非线性模型，其中由于波浪的升沉运动而施加悬挂点的激励。后者参数化地进入系统，导致Mathieu型非线性方程。采用Lyapunov指数法对稳定性边界进行了数值计算。该控制策略基于反馈bang - bang控制策略，实现了负载摆动的最小化。最后，利用失效过程的蒙特卡罗抽样方法解决了第一次穿越问题。
关键词：随机稳定性，离岸起重机，最大Lyapunov指数Mathieu方程，砰-砰控制，首次通过时间
1.引语
现在世界各地都有起重机，其中最常用的有旋转起重机、吊臂起重机和门式起重机[1]。除了起重机的再责任和安全问题之外，还有与它们的性能有关的其他问题，例如最大有效载荷以及它们将有效载荷从一个位置移动到另一个位置的速度。后者可能是一个关键的问题，特别是在船舶回收作业中，当大型船舶不得不将小船或潜水器从海面提起时，要依赖当时的海洋条件。众所周知，被运输的负载可能由于起重机的运动或恶劣的大气条件，特别是风而摆动。如果不加以控制，这种运动可能会在缆索中产生额外的力，导致起重机失去其有效载荷或坍塌。显然，由于波浪运动，离岸起重机或基于船舶的起重机具有额外的激励源。特别地，波浪的升沉运动可能引起起重机基座的参数激励，当波浪频率大于系统固有频率的两倍时，这可能尤其危险。在这种情况下，人们可能期望发生参数共振，这导致有效载荷运动的不稳定性。例如，可以在[2]中找到浮式起重机性能的数值模拟和实验结果。毫无疑问，在船舶回收操作中，过大幅度的振荡可能导致有效载荷与船舶碰撞，产生不可预测的后果。因此，为了制定适当的控制策略，了解海上结构波浪运动下有效载荷的行为非常重要。对于确定性激励[1,3,4]早些时候已经提出了一些控制策略。减少随机激励引起的摆动振荡的控制策略可在[5,6]中找到。
有几种方法可以模拟负载运动，其中一种方法可以简化为集中质量系统，其运动可以是
以球形摆为代表。这种具有恒定摆长的系统由三维空间中的两个微分方程描述。有许多论文专门讨论球形摆的动力学[7-10]。本文研究了确定性激励下系统响应的稳定边界问题。对系统进行了稳定性分析，用泰勒级数的几项代替了窦型非线性项。
本文考虑了船舶起重机有效载荷运动的简化动力学，该运动由具有窄带参数激励的非线性Mathieu方程控制，而有效载荷的运动最终由平面摆来模拟。由于波浪的起伏运动，在垂直方向上考虑激励。利用具有随机相位调制的谐波函数对波进行建模，并利用最大Lyapunov分量(LLE)计算稳定边界。此外，为了改善系统性能，对线性化摆的长度进行了控制，研究了其对稳定性边界的影响，指出了底部平衡点的渐近稳定性。最后，考虑了非线性系统在不同阈值角下的首次穿越可靠性问题，量化了系统的不稳定性。
2.球形摆的动力学
让我们考虑一个球形摆的动力学，它的悬挂点在垂直z方向上被激发。在下面的推导中，我们假定不可拉伸的缆索具有恒定长度l。因此，摆的坐标可以用公式表示为它们的角度的函数速度：
x = Lsintheta;sinϕy = Lsintheta;cosϕz = eta; Lcostheta; (2.1)
式中=eta;( t为吊点(或星形连接的船舶起重机)的位移。为了构造拉格朗日方程，需要获得质
量m的速度。让我们将方程(2.1)关于时间微分:
x = Ltheta;costheta;sinϕ Lϕsintheta;cosϕy=Lrsquo;costheta;cosϕ minus; Lrsquo;sintheta;sinϕ (2.2)
从而速度可以写成:
v2 =x2 y2 z2=v2 eta;2-2Leta;sintheta; (2.3)
其中：
v2=L2theta;2 L2ϕ2sin2theta; (2.4)
对应于具有固定悬挂点的球形摆运动。因此，我们得到拉格朗日方程的如下表达式:
Gamma;=1Mv2minus;MgL(1minus;costheta;) (2.5)
使用这种方法可以获得两个运动方程,用这两个方程代替( 2.4 )和( 2.5 )中的第二个等式将其简化为以下表达式:
ϕsin 2theta; = H – const (2.6)
这可以解释为角动量守恒。第一个方程式将写成：
ML2theta;minus; Meta;Lsintheta; MgLsintheta;minus;ML2sintheta;costheta;=0 (2.7)
这个方程是球面运动的精确方程具有垂直激励悬挂点的摆。简化这个表达式，同时考虑到pi;的表达式表示固有频率。应该注意的是等式(2.7)，仅当角度theta;ne;. 0或theta;ne;pi;时，对于H的任何正值有效，而在这些平衡点处，速度theta;变为有限。
本文主要研究振荡运动。在theta;取值时，最后一项将消失，运动方程将类似于参数激励摆的面内振荡。其平面摆的旋转随机势已被研究。
3.一类随机微分方程模型的动力学
3.1问题陈述
从问题2中所得非线性很难应用任何分析技术近似求解。因此，需要对泰勒展开式进行改进，并在方程中保留几个第一项。在笛卡尔坐标(x,y)中可这样改写，即[1,12]
2alpha;x Omega;2x xg(x,y)=minus;xL (3.1a）
2alpha;y Omega;2y yg(x,y)=minus;yL （3.1b）
其中alpha;是粘性阻尼系数，eta;( t )是在垂直方向上作用的激振力
g（x，y）= (3.2)
为了进一步简化该问题，我们假设平面运动，将平面外运动设置为零:
2alpha; Omega;2x xg(x,0) =minus;x (3.3)
( 3.3 )是一个包含参数激励的非线性方程。在纯周期性激励等式的情况下。( 3.3 )将成为非线性Mathieu型方程。在[ 2中报道了系统( 3.3 )在确定性激励下的一些数值结果。然而，在船舶起重机的情况下，由于海浪引起的载荷是窄带的，并且由皮尔逊-莫斯科维茨( PM )谱[13]描述。后者可由具有随机相位导数[14,15]的一元函数相当好地建模:
= minus;lambda;omega;2cosq(t)=omega; zeta;(t) (3.4)
其中zeta;( t )为高斯白噪声，zeta;(t)zeta;(t tau;)zeta;=Ddelta;(tau;) =sigma;2delta;(tau;)，lambda;，omega;分别为激发振幅和频率。
3.2随机平均
由于作用在系统上的激励是乘法的，因此研究当激励频率是系统固有频率的两倍时可能发生的参数不稳时，定性是很重要的。让我们介绍缓慢变化的振幅和相位响应:
x = aLcos(t)x = minus; aL sin(t)=- (3.5)
因为g ( x，0 )包含二阶导数Eq。( 3.3 )可重新安排如下:
(3.6)
将随机平均技术应用于方程。( 3.6 )可以得出一组二阶非线性随机差-响应振幅的微分方程：
(3.7)
其相位
(3.8)
在小振幅的情况下，这些方程可以简化:
(3.9)
这组方程类似于Li等人获得的方程。[16]在方程中没有第三项。(3.9)。对于该组，可以基于Wolf等人提出的程序对LLE进行数值计算。[17]。方程的数值结果。(3.6)和(3.9)将在下一节中介绍。
- 数值结果
本节提供了数值蒙特卡罗( MC )模拟的结果。下面，给出了基于总共100000个激励周期的LLE关于参数和beta;= 4lambda;omega;2 /l。图1示出了根据LLE分析数值计算的不稳定性边界。将Mathieu方程(无非线性项)的边界与方程的边界进行了比较.(3.9)，在前一节中通过对原始系统进行随机平均得到的低幅值。
这两个系统之间的差是相位方程中的最后一个非线性平方项。可以看出，对于噪声强度为1 %的情况，非线性改变了边界。图2示出了等式的随机响应的样本。( 3,9 )。研究了系统的混沌、渐近稳定和振荡响应。当噪声强度增加时，边界趋于一致，如图3所示，其中它取值D 0.3。
图1。D = 0.01，alpha;= 0.05，omega;= 1.0的不稳定性边界；实线-马修方程；虚线-方程式。(3.9)。
图2。均衡器的不同响应类型。(3.9)对于alpha;= 0.05，omega;= 1.0；delta;= 0.0，beta;= 2.6，D = 0.3时的顶部混沌响应；delta;= 1.4，beta;= 0.6，D = 0.01的中间固定点；底部-delta;= 0.2，beta;= 1.6，D = 0.01的随机振荡。
图3。D = 0.3，alpha;= 0.05，omega;= 1.0的不稳定性边界；实线-马修方程；虚线-方程式。(3.9)。
图4。方程的不稳定性边界。(3.6)。实线表示零值LLEs；顶端
- D 0.01；底部–D 0.3。
这里，可以看出非线性项不影响响应的稳定性。
返回到平面问题的原始完整描述 (3.6)预期会有非常不同的行为。图4示出了该系统的数值计算LLEs。低beta;值不能驱动系统不稳定下行被渐近稳定或振荡响应占据。可以看出，右不稳定边界与图1和图3所示的一致。还要注意，后者很好地近似图4中的稳定固定点区域。
当系统也被认为是在y方向上自由移动时，等式。(3.1)将说明答复。只要阻尼系数在x和y方向上均相等，它们的响应就相同。此外，与等式1D的情况相比。(3.6)仿真结果表明，二维系统的稳定性与此相似。因此，图4也充分描述了2D系统的稳定性-不稳定性边界。
4.1控制应用
前一节的结果表明，由于波浪起伏运动引起的参数激励，用于模拟近海起重机的模型可能会经历不稳定的平衡。正如本文导言中简要解释的那样，以避免不稳定的方式操纵这些系统至关重要，因为海浪是由随机性决定的，这种不稳定也需要包含罕见的现象。
为此，本节考虑了一种基于集总质量摆长度变化的控制方法，该方法近似起重机的动力学特性。换句话说，认为长度的变化被定义为
（4.1）
其中L0是设计长度，R是con的大小
对照，0amp;lt; Ramp;lt1。在Iourtchenko[5]中，这种控制方法是成功地应用于外激励高斯白噪声的线性摆，并用能量平衡法进行了分析。如果涉及提取方程这个系统的运动，微分符号函数会造成分析上的困难。为了避免那一次引入状态变量的修正集(theta;，p )，其中p = (提单) 2。[ 5 ]。按照拉格朗日方法的标准程序，可以得到以下一组线性化运动方程:
(4.2)
其中kappa;=lambda;omega;2 / L0。还要注意，以前使用的其余变量以相同的方式使用设计长度进行定义
l0代替实际l图5a - d显示了不同噪声强度值和增加的控制参数r的稳定性边界。每个图描述了定义零值LLE的线，从而将稳定性与不稳定参数区域分开。考虑四个不同的噪声强度值，每个配置一个。在每个图中，应用并绘制了增加幅度的控制，以便于比较。重点是主要的频率值域；因此，所检查的频率范围接近delta;= 0。
对这些结果可以提出若干重要意见。首先，确定了噪声强度增加对Ma - thieu型系统稳定边界的既定影响[ 15，16 ]。也就是说，由主共振delta;= 0产生的曲线随着噪声的增加而减小其斜率能级(在地图中向上)。此外，所采用的控制方法对稳定边界有很大影响。在整个图5 ( a ) - ( d )中，稳定增益具有一致性，这意味着对于这里考虑的所有噪声强度值，不仅稳定效果以相同的模式出现，而且相同的控制幅度(例如，r0.1 )导致较大区域被稳定以增加随机性。实际上，这种效应使得在图5 (
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