对于功能梯度材料基于颗粒沉降仿真的等效夹杂法外文翻译资料

 2022-07-27 10:31:10

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对于功能梯度材料基于颗粒沉降仿真的等效夹杂法

摘要:

一种基于Eshelby等效夹杂法的新型的数值方法提出了模拟斯托克斯流的球形粒子在粘性流体以及在低雷诺数范围内移动。许多粒子以不同的速度沉降在液体的底部，形成一个分级组织，这个分级组织取决于材料的阶段和颗粒尺度。对于每个粒子,一个eigenstrain率,给出了一个多项式形式,代表了粒子和其他液体之间的不匹配。一个点在半无限域和一个固定的边界的基本解被用来计算由eigenstrain率造成的速度场。根据 Eshelby应力等效的条件，每个粒子的eigenstrain率可以被解决，许多粒子的沉降过程可以迷你成一个准平衡过程。如果只有一个或两个粒子,有限元结果很好。使用铝和高密度聚乙烯(HDPE)粉末混合乙醇形成悬浮液。微光结构演变与沉积过程线结合，在固定边界产生一个分级混合，用于功能梯度材料的制造。

1前言:

沉降通常是观察粒子在悬浮液中自由降落的过程。已经有许多关于在低雷诺数下的沉降的基本粒子系统的理论研究。一对相同的垂直的平移速度和在无限流体中的水平对齐的球体已经分别被stimson和jeffer在1926（1）年以及goldman等人在1966（2）年调查研究。通过总结这两项研究，在1972（3）年batchelor确定悬浮在 悬浮液中的一样的球体拥有平均速度。通过研究沉积在稀的多分散系统中的粒子由于重力产生的相互作用，Batchelor进一步研究了颗粒间的力和布朗运动。（4,5）平均速度是被粒子的体积分数所影响的，还有粒子分布，随机的，有序的，周期排列的粒子（6-10）。一般来说，这种现象可以用一个受阻沉降的函数来表示。Davis和Acrivos综述了关于单分散的悬浮的沉降的其他研究方法（11）。此外，粒子所被观察到的实际沉降过程也与理论分析所比较。（12-14）。

除了去分析和实验性的研究沉积作用，最近研究进展主要在数值模拟和建模。比如有限元法，边界元法，磁曼方法，通过它可以解决边值问题的一般过程。Qin等人（15）分析了变形气泡上升粘性液体通过场的方法。Ananth等人（16）跟踪母公司的分手滴使用拉格朗日模型。有限元方法已成功用于调查撞击液滴界面（17）,球形的不稳定共轭质简单拉伸流下降（18）,和流体动力学相互作用两滴(19、20)格子波尔兹曼模型已应用于探索的边界之间的非混相流体和嵌入组件（21）下降,和模型2 d微通道压力下降（22）。Vannozzi（23）利用边界积分模拟和扩展理论研究surfactant-covered滴聚结和界面扩散系数的影响进行了分析。

Eshelby的等效夹杂法(EIM)提出了用配方固体力学和流体力学（24）探讨液滴的变形将位移和应变的速度分别用速度和应变率取代。EIM首先提出了弹性问题,研究应力不均匀性的无限矩阵在一个统一的远场应力和提出应力扰动引起的不均匀性可以通过一个模拟包含相同的材料属性矩阵表示。在压力相等的条件下,这两个问题本质上是相同的。这种方法的优点是,本征应变是常数时,不均匀性是椭圆形的。弹性问题的无限域包含一个非均匀性,整体弹性字段,表示应力、应变、位移场,是统一的远场的叠加和扰动场不均匀性造成的。格林函数技术用于提供造成的扰动场的本征应变来源。EIM不仅是对于复合材料的有效弹性模有价值（28-30）,也成功应用于预测复合材料的电和热性能,如电弹性模（31）,热稳态热传导（32）和热膨胀系数（33-35）。

一个椭圆形下降,速度和压力场的精确解椭圆积分,获得的阻力可以在给定的有效速度下降。当下降形状是球形,阻力的结果一个球体,如固体颗粒,一滴水,和一个空隙,流体符合经典的斯托克斯定律[36]。此外,速度和压力的显示解决方案领域都获得了内部和外部区域的下降,这是符合经典解决方案[36]。一双椭圆形滴,配方提供了一般情况下用不同的大小、密度、粘度和方向。当滴都是相同的球形,目前的方法使用一个线性近似的eigenstrain率提供了一个解决方案非常接近的经典解决方案[3]。然而,粒子之间的相互作用和它的边界尚未考虑。

本文扩展了EIM模拟粒子沉降对功能梯度材料(FGM)制造方面的研究。我们已经成功地制造了FGM与高密度聚乙烯(HDPE)和铝(Al)粉末并集成到混合太阳能屋面板图1所示[37-39]。沉积的方法已经应用于制备功能梯度材料(过程)[40-42],表现连续变异的材料属性。在这个特定的装置中铝和hdpe粉末第一在乙醇总混合。由于不同密度和大小的粒子,粉末在容器底部速度不同,从而形成一个分级组织。排水出乙醇后,我们可以获得功能梯度混合粉在图1 b。烧结,我们可以获得一个功能梯度复合材料如图1 c[43]。

如果是模拟分级沉降过程中微观结构的形成,使用EIM和许多Al和HDPE粒子将被考虑。容器的底部必须视为粒子沉降的终点站。为了避免边界积分,根本的解决方案,奇点半无限域已直接应用[44]。粒子和矩阵之间的粘度不匹配由本征应变率模拟的粒子表示。以前的配方下，,本征应变率是用一个多项式形式的局部坐标。利用等效夹杂物后,每个粒子的本征应变率被解决,速度场使用格林函数方法推导。一个高阶的多项式形式的本征应变率,可以期待一个更准确的结果,在本文中,我们只展示本征应变率为常数或简单的线性函数。与有限元模型的比较已经证实线性函数对于实现良好的精度是必要的。

考虑斯托克斯流的粒子在半无限扩展流体移动,粒子的速度取决于相对位置的边界,粒子的中心到中心的距离,和粒子的大小和密度。简化和理想化的模拟,一个长方体模拟箱使用某些维度的底部是一个固定的边界,然后嵌入半无限域相同的流体和固定边界平面。由于雷诺数很小,一个准平衡过程将被考虑。给定一组粒子,通过四方结构生成组(qsg)方法生成一个随机的微观结构[45-47]。每个粒子的速度可以通过EIM-based仿真计算。使用粒子大小和最大粒子速度,我们可以确定一个合适的时间更新微观结构和速度。微观结构的演变可以提供沉降过程的全貌。

接下来Sect2简化了问题模拟盒子中包含许多粒子半无限的液体。建立了边值问题的控制方程和边界条件。Sect3介绍了等效夹杂法和提供了基本公式求解粒子移动在半无限流体底部。Sect4展示一个和两个粒子的情况下本配方的准确性与有限元结果和斯托克斯法的对比。Sect5介绍了数值模拟单粒子和许多粒子的沉降和讨论了一些关于粒子的运动特性在沉积过程中对FGM切割制造。最后,总结了一些结论性的言论在Sect6。

2问题陈述

模拟粒子沉积,认为平面S是充满流体粘度u0的半无限领域D的固定边界。介绍了立方模拟框U的域D和N粒子分散在U。每个粒子域所指的直径和密度写成d I 和 rho;I (I = 1, 2,..., N)，所有粒子的结合域写成Omega;,因此流体域表示成Dminus;Omega;。坐标系统是由U底部中心的原点和流体域x3 gt; 0建立的。这里,U仅用于初始化开始的悬架建模，因此,粒子在沉积期间可以从模拟盒子搬出去。然而，一个粒子接触表面S变得不活跃随着越来越多的粒子变得不活跃,固定边界将向上移动,这样我们就可以获得一个有一定厚度的功能梯度沉积。

由于粒子很小,流体的流动引起的粒子的运动是一个很小的雷诺数。因此,斯托克斯流假设成立。具体来说,两种类型的粒子将被认为是在模拟Al和HDPE粒子。粒子密度分别是2.699和0.950对于Al和HDPE。 HDPE的平均尺寸是21.591micro;m。三组铝粉末用于实验,即Al 104,101,和111，平均大小分别为3.311,21.527,和303.513micro;m。注意,rho;i在实际计算中实际表示的不同粒子的密度和流体密度。在这里,由于乙醇的密度是0.789,我们可以写rho;= 1.910和rho;HDPE = 0.161。获得实际的流体压力场,一个线性压力场应叠加与目前的边值问题。然而,它并不影响粒子的运动,所以它是忽视的。

任何位置的应力sigma;i j x可以表示为

sigma;i j (x) = minus;p (x) delta;i j 2mu;(x) ei j (x), (1)

p表示压力

ei j = (frac12;vi,j v j,i ), (2)

Vi是速度场

eii=0或者 vi,i = 0。 （3）

使用方程(1)在平衡方程,可以得到流体的运动方程,写成

2mu;0ei j,i minus; p,j = 0， vi,i = 0, x isin; D minus; Omega;。 （4）

在粒子域Omega;内,因为mu;1→infin;,可以获得

2mu;1ei j,i minus; p,j f j = 0, vi,i = 0, x isin; Omega;。 （5）

f j表示分布式体力与它的密度成正比。此外,当mu;1→infin;粒子表示,当mu;1 = 0表示无效,其他值,表示液体下降。造成的合力每个使粒子的表面应力矢量我将全身力量平衡,即

这个条件自动满足平衡方程。速度和压力满足界面连续性边界条件，如下

v i = vminus; i and n jsigma; ji = n jsigma; minus; ji for x isin; part;. （7）

在边界上,速度场满足

vi = 0 for x isin; S （8）

此外,在远场、速度和压力为零,即

vi = 0 and p = 0 for x → infin; （9）

因此,边值问题(BVP)建立了使用控制方程(4)和(6)边界和加载条件(8)-(10)，此外，由于粒子的分布瞬态变化与粒子运动，一个给定的粒子沉积过程速度会不断改变尽管惯性力量不被斯托克斯方程中考虑的。然而,速度变化非常缓慢,在任何国家可以被认为是一个准平衡条件,这样可以计算粒子速度解决BVP不考虑流体的惯性。粒子速度是用来计算下一个时间点的位置。更新粒子分布和解决相应的BVP进一步将继续,直到所有粒子变得不活跃在固定边界的液体。粒子的分级组合可以获得与体积分数变化的深度方向。

3基本配方

为了解决上述边值问题关于粒子速度在Sect2中提出的,Eshelby的等效夹杂法的概念(EIM)(25、26)将被使用。接着Mura的定义以后，我们称之为子域Omega;在一个矩阵液体中,与基体流体的黏度相同，但特征张力 率elowast; 我用j(x)作为一个虚构的非机械应变速率。另一方面,一个“不均匀性”具有不同的材料属性的子域名Omega;在均匀流体的休息(Dminus;Omega;)但它现有的子域名eigenstrain率是不必要的。因此,夹杂物的粒子是非均质。然而,当一个非均匀性受到身体力量,不匹配的多相矩阵流体可以通过适当的选择模拟eigenstrain率在下降,所以通过求解包含问题，可以得到速度场。包含一两半无限域或半无限域问题已经研究了[48-50]。然而,半无限域的非均匀性问题尚未解决。

4解决方案的验证

为了验证分析解,用一个粒子模型进行测试。粒子集中在(0,0,x3)。粒子密度和流体粘度都设置为rho;= 1.0,mu;0 = 1.0。粒子半径也是1.0。用一个有限元模型(FEM)作为参考。模型是轴对称和粒子半径1.0放在一个域,100times;200。半径是1,边界x3 = 0是固定的。成千上万的元素用于高保真结果。有限元模型是基于有限域。域尺寸远远大于粒子,它可能会产生一些差异在半无限域的情况下。此外,由于球形颗粒不能被准确描述三角形元素,形状效应也可能导致轻微区别分析的结果。但是,因为我们有认真解决这些问题在粒子细化网格,之间的误差最小化,有限元结果将有效地显示EIM的准确性。

图3说明了速度场的粒子位于不同位置时。当只使用eigenstrain速度的常数项,预测的速度远远高于有限元结果的结果。这个问题可以解决通过考虑高阶eigenstrain率解决。这是观察到的结果与有限元计算结果同意很好线性条件被认为是制定。eigenstrain率是线性分布时椭圆与体力不均匀性是嵌入在一个无限域。然而,当粒子非常接近边界,由于边界效应,eigenstrain率会复杂得多,所以,常数和线性条件可能不足以提供一个准确的预测。与固定边界的距离增加,速度增加,最终收敛于粒子的速度朝着无限域斯托克斯定律预测的一个粒子在无限域,即,2/9。这表明当粒子远离边界固定边界的影响将减少。

在接下来的两个粒子移动的问题在半无限流体中调查。图4:两个具体案例,研究粒子,分别并排放置身体的力量和自顶向下的方向。为第一种情况下,一个真正的三维问题被认为是具有挑战性的有限元实现相同级别的精度,因此,与有限元模型没有进行比较。图4演示了两个粒子的速度第一。粒子位于(minus;2.0,0.0,x3)和(2.0,0.0,x3)。粒子的半径和密度,粘度的液体与一个粒子的情况下是相同的。类似于一个粒子的情况下,使用eigenstrain率的线性形式提供更好的结果比,如果只使用eigenstrain率的统一形式。粒子的速度接近0然后增加x3的边界附近。最后,它的解析解收敛于两个粒子移动的终端速度无限域[3]。请注意,只有一个曲线,因为两个粒子的速度是相等的。粒子的速度高于单个粒子在图3。

图4 b说明了两个粒子的速度与自上而下的相对位置。距离center-tocenter粒子半径的4倍。相同类型的颗粒和流体作为最后一个例子。科学家发明了一种轴对称有限元模型进行比较。两个粒子的半径还是1和域是100times;200。两个粒子的位置变化,所描述的两个粒子的中间点,而他们的中心到中心的距离在在这个案例研究中保持不变。图4 b中,等效夹杂法预测的速度(EIM)同意与有限

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