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轮廓波:一个定向多分辨率图像的代表
摘要
我们提出了一个新的计划，命名为轮廓波，它提供了一个灵活的多分辨率，局部和方向的图像扩展。通过双迭代滤波器组结构实现轮廓波变换。此外，它可以被设计为满足各向异性标度关系曲线，从而提供了一个快速和结构化的曲波分解。其结果是，因此,轮廓波变换提供了一个为二维分段光滑信号稀疏表示类似的图像。最后,我们将展示一些数值试验证明轮廓波变换在几个图像处理任务的潜力。
1.引言
稀疏信号扩展是许多信号处理任务的基础，包括压缩、滤波和特征提取。我们感兴趣的是稀疏扩展的二维信号平滑曲线的不连续性的建设。这些信号类似于自然图像的不连续性所产生的边缘-指在图像中的强度有鲜明的对比点，而边缘往往是沿着光滑的轮廓，通常由物理对象的光滑边界创建。
对于一维分段光滑信号，小波提供了正确的工具。然而，在2-D常用的可分离小波得到的张量积的1-D小波只善于捕捉在边缘点的不连续性，但不看到平滑沿轮廓。因此，更强大的计划需要在更高的维度。
最近，Candes和Donoho [1]开创了一个新的信号扩展，提供了一个名叫曲波，稀疏2 - D分段光滑函数的不连续曲线的R2在光滑。原来的建设的曲波变换[ 1 ]的目的是在连续空间R2定义的功能。曲波变换的离散版本，可以应用到一个挑战，特别是当关键抽样是可取的。
在本文中，我们首先确定导致改进曲波小波在表示二维分段光滑信号不连续的曲线光滑的关键特征。在此基础上，构造了一种新的滤波器组结构，能够有效地处理具有光滑轮廓的分段光滑图像。由此产生的图像扩展是一个框架组成的轮廓段，从而被命名为轮廓波。如小波变换，有连续和离散的世界之间的无缝转换通过多分辨率分析框架和迭代滤波器。最后，我们展示了一些实验数值关于比较小波变换和轮廓波变换。
2. 二维分段光滑信号的代表
考虑具有光滑不连续曲线的2-D分段函数的小波变换（图1（a））。由于其可分离结构，因此二维小波基函数支持二进平方。因此，小波是很好的隔离不连续点，只有小波的支持与不连续曲线重叠产生显着的系数。然而，他们无视这条曲线的平滑度，很容易看到有O（2J）重要小波系数在表2minus;J.
小波变换 曲波变换
图1
图1所示.二维分段光滑信号的非线性逼近，其中粗线表示两个光滑区域的间断曲线。曲波基函数可以被看作是一个局部分组的小波基函数的线性结构，使他们能够更有效地捕捉平滑的不连续曲线。
当不连续曲线被认为是光滑的时候，我们如何能够提高小波体系的性能？仅仅观察小波变换图1（a）可以得出，相比单独处理各不连续曲线上的显著小波系数，我们可以联合附近的系数，因为它们的位置是局部相关。曲线的尺度关系暗示我们可以对该/ 2附近的小波基函数组的规模2minus;J为一个基函数具有线性结构，其宽度是其长度的平方成正比，如图1（b）。这种分组操作降低显著系数的数量规模2minus;J O（2J）O（2J／2）因此，这样的一个新的扩展在近似这种类型的2-D分段光滑函数时，与小波变换相比等具有优势。这是成功的曲波变换[1]的根本原因。
图像
图2
如图2所示。两种方法处理分段光滑的图像。(一)曲波结构:块脊波变换应用于部分波段图像。(二)轮廓波结构:图像是由双滤波器组分解结构,第一个抓住了边缘点和第二个链接这些边缘点到轮廓段
总之,为了提供稀疏扩张为分段光滑的图像光滑的轮廓,除了定位和多分辨率特性,新的二维方案应该包含基函数与细长的形状不同的面向方面的比例和各种各样的方向。
3.轮廓波结构
曲波变换[1]达到上述站通过过滤,然后应用一块在每个带通脊波变换的图像(见图2(a))。然而,这种建设提出了几个问题,当一个人把它转换成离散的世界。首先,因为它是一个基于块的变换,近似图像屏蔽效应或我们必须使用重叠的窗口,从而增加冗余。其次,脊波变换的使用,这是定义在一个极坐标,使得离散曲波变换的实现图像在一个直角坐标是非常具有挑战性的。(2、3),提出了不同的插值方法解决极坐标与直角坐标变换的问题,所有需要过完备系统。例如,离散曲波变换的实现[3]一个冗余因素等于16 J 1,J是多尺度的数量水平。这使曲波服务限制在某些应用程序中,如压缩。
小波系数参数的分组在最后一节指出,我们可以获得一个稀疏图像扩张,首先应用多尺度变换,然后应用局部定向变换收集附近的基函数在同一规模为线性结构。在本质上,我们首先使用一个类似小波变换(点)检测边缘,然后当地的定向变换轮廓段检测。这种方法类似于流行的霍夫变换线检测的计算机视觉。
这一观点,我们构造一个双滤波器组结构(图2(b)),起初拉普拉斯算子的金字塔(LP)[4]是用来捕捉点不连续,后跟一个方向滤波器银行(足协)[5]链接点不连续性为线性结构。总的结果是一个图像扩张与基础图像轮廓段,因此叫轮廓波变换。
提出的双滤波器组的细节,名叫锥体方向滤波器组(PDFB),和其属性在[6]。
接下来,我们简要介绍continuous-domain扩张产生的contourlet结构和详情请参阅[7]。与拉普拉斯算子的金字塔是L2(R2)空间的多尺度分解成一系列增加分辨率
通常定义的子空间Vj0和Wj在小波多分辨率分析[8](7.1秒):Vj0 2 j₀规模是一个近似子空间,而Wj包含“细节”添加到细尺度2j0。在LP,每个子空间Wj由frame j{minus;micro;1j,ntimes;(2t)j}minus;n1isin;. Z2,吸收其中的一个统一的网格间隔2 R
方向滤波器组,它可以表明,l - l2水平足协生成一个当地的定向基础(Z2)由2l方向滤波器的脉冲响应和变化:
采样矩阵有以下两种形式,取决于代表方向是“近水平”或“近垂直”:
在轮廓波变换，假设一个LJ水平DFB应用于LP的细节子Wj。这一结果在Wj分解为2lj定向空间尺度2j：
每个子空间Wk(j - j)是由一个框架，其冗余率等于4/3,其中
此外，我们可以发现是源于一个函数原型并且它的变化是 应用于所有n isin;z2
因此，定义在一个矩形区间2J LJminus;2times;2j网格上的（或2jtimes;2J LJminus;2，根据代表方向近水平或接近垂直）是一个不变的空间。我们把函数rho;(j,k,nl j) (t)作为轮廓小波变换。指数J，K，N分别表示规模，方向和位置。图3说明了轮廓小波变换展开的子空间和嵌入网格。
图3
图3所示。(一) 轮廓波结构生成的多尺度和多方向的子空间。(二)子空间Wj,k的嵌入网格。
一般来说,轮廓波结构允许任意数量的数字滤波器组分解水平l被应用在每个LP水平j上。轮廓波变换来满足各向异性比例关系的曲波变换,我们只需要施加在滤波器组方向的数量在金字塔的其他更好的规模增加了一倍。图4以图形方式描述了支持这种滤波器组生成的基函数。可以看到两锥体的水平,显示的支持大小LP是减少四倍而方向的分布反馈的数量翻了一番。这两个步骤结合起来,支持滤波器组基函数的大小改变从一个水平下按照曲线比例关系。在轮廓波计划中,每一代使空间分辨率以及角分辨率加倍。
* =
* =
图4
如图4所示。说明了轮廓波的支持实现了PDFB满足各向异性比例关系。从上层到下层, 虽然方向的数量翻了一番但规模减少了四。
4．数值实验
我们现在几个非线性逼近实验contourlet变换并比较性能的二维可分离小波变换。在这些国民的实验中,对于一个给定的值,我们选择M-most很大每个变换域系数,然后评估重建图像从这些集M的系数。实验中使用的小波变换是一种双正交变换与“9-7”过滤器和6分解水平。contourlet变换也使用“9-7”过滤器在LP阶段,虽然DFB阶段使用“23-45”双正交的梅花形过滤器由Phoong et al .[9]。运用DFB分解水平的数量在最好的锥体规模是5,它指向了32个方向。
注意有了设置,小波和轮廓波变换共享相同的多尺度详细的子空间Wj,这是由“9-7”生成的过滤器。所不同的是,在小波变换中,每个子空间Wj代表了三个方向的基础,而在轮廓波变换是由一个由更多的方向框架代表。既然两个变换共享相同的详细子空间,限制这些子空间的比较就变成可能。我们期望大部分的改进会发生在图像边缘
图5和图6显示在最好的子空间Wj分别在输入“椒盐”的图像用小波和轮廓波变换的非线性近似图像序列。我们观察到，小波沿轮廓慢慢由孤立的“点”细化详细的图像，而轮廓波则迅速细化，以及适应“草图”。轮廓波变换的改进可以在无论是视觉质量和重建误差看出。
最后,图7显示了一个详细的比较两个非线性近似图像小波和轮廓波变换。我们看到在捕获细轮廓小波(定向布料纹理)上 ，轮廓波变换更优越。
图5
图5在小波变换的最佳尺度上显示了非线性近似的图像序列。M是最显着的系数的数目；MSE是对投影图像的最佳的详细子空间的均方误差。输入的是“椒盐”噪声的图像
图6
图6与图5相同，但带有Contourlet变换。但值得注意的是轮廓波变换与小波变换共享相同的详细子空间。
图7
如图7所示的小波和轮廓波变换的非线性近似图像细节。在每一种情况下，在变换域中最重要的4096个系数重建了原来512times;512的图像。
5．结论
在这个工作我们建造了一个离散变换,它可以提供一个分段光滑的图像稀疏表示。我们首先确定了两个额外的功能,可能导致一个改进小波方案,即方向性和各向异性。从这一点,我们提出了一种新的滤波器组结构的金字塔的方向滤波器组(PDFB),可以提供一个多尺度和方向分解图像小冗余因素。PDFB提供了一个框架与框架元素,如图像轮廓段扩张,因此也被称为contourlet变换。contourlet框架冗余小,最多是4/3。开发了离散和continuous-domain结构之间的连接通过新的定向多分辨率分析是准确的,它提供了空间和连续改进方向分辨率。Thecontourlet变换可以被设计来满足各向异性曲线像曲波变换的比例关系。与真实图像实验表明contourlets的潜力在图像处理应用程序。
实证小波变换
摘要
最近的一些方法，如经验模式分解（EMD），建议通过其包含的信息分解相应的信号。虽然它的适应性似乎对许多应用程序是有用的，这种方法的主要问题是缺乏理论。本文提出了一种新的自适应小波。其主要思想是通过设计合适的小波滤波器组来提取信号的不同模式。这种结构使我们找到了一个新的小波变换，称为经验小波变换。许多实验表明，与经典的EMD相比这种方法更加有效。
- 引言
用于分析信号的自适应方法在压缩感测的上下文中找到稀疏表示是非常有意义的。 “刚性”方法，如傅立叶变换或小波变换，对应于独立于处理信号设计的某些基础（或帧）的使用。 自适应方法的目的是基于信号中包含的信息直接构建这样一个基础。一个众所周知的方式来建立一个自适应表示的基础追求的方法，这是用于小波包变换。即使小波包已经显示出有趣的结果，实际应用中，他们仍然是根据规定的细分方案。一个完全不同的方法来建立一个自适应表示算法被称为“经验模式分解”（EMD）提出的黄等。[9]。这种方法的目的是检测主“模式”所代表的信号（粗略地说，一种模式对应于一个信号具有紧支撑的傅里叶谱）。这种方法已经获得了很多的兴趣，在过去十年的信号分析，主要是因为它能够分离平稳和非平稳分量的信号。然而，EMD方法的主要问题是缺乏数学理论。事实上，这是一个算法的方法，由于其非线性，是难以建模。然而，一些实验[5] - [7]表明，EMD的行为像一个自适应滤波器组。最近的一些作品试图在一个变分框架模型EMD。在[4]，提出模型的模式作为一个振幅调制频率调制（调频）信号，利用这种信号的特性来构建一个功能代表整个信号。然后，他们能够通过最大限度地减少它而检索不同的模式。在本文中，我们提出了能够构建提取信号AM-FM组件自适应小波变换的一种新方法。关键的想法是这样的AM-FM组件有一个紧支撑的傅里叶谱。分离不同的模式相当于段的傅立叶频谱，并对应于每个检测到的支持施加一些滤波。我们将表明，通过考虑不同的傅立叶支持然后建立一组功能，形成一个正交基，以适应小波形式主义，这种方法是可能的。基于这种结构，我们提出了一个经验小波变换（及其逆）来分析信号。
本文的其余部分如下。第二节有两个
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