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在介质上构建声表面波器件的亚元/边界积分模拟
Ballandras, A. Reinhardt, V. Laude, A. Soufyane, S. Camou, W. Daniau, T. Pastureaud, W. Steichen, R.Lardat, M. Solal, and P. Ventu
应用物理学报96，(2004年)；10.1063/1.17583
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- Ballandras, A. Reinhardt, V. Laude, A. Soufyane, S. Camou，和W. Daniau
- Pausaud、W.Stechen、R.Larat、M.Solal和P.Ventura
Temex微电子公司，399条Creetes,Boices，邮政232,06904
~2003年12月29日收到；2004年4月10日接受！
现代通信应用对高频声表面波器件的需求，迫使能够满足制造商要求的设备的发展。高的使用要求压电层对表面波进行检测和测量的速度基板已经得到了广泛的研究，并需要实现精确的理论工具。最好的材料组合。本文提出了有限元分析与边界积分法相结合的混合公式，以准确地模拟大体积p的性能，对层状介质中的导波进行检测。该模型是针对不同的典型配置而开发的。
- 导言
20世纪90年代以来，随着现代电信市场的发展，特别是普通公用手机的发展，人们对移动电话的研究和开发提出了更高的要求。无源射频的研制如声表面波等元件在这些系统中广泛使用的过滤器,在缩小用于窄带中频滤波的声表面波器件(30-300MHZ)以及宽带射频(0.8-2.4GHZ)的尺寸方面取得了令人瞩目的进展。这不仅是因为技术的进步，而且也是因为在SAW器件的建模和设计方面付出了很大的努力，适当考虑到它们的实际结构，才能从二阶效应的优化中获益(例如，在叉指换能器中使用的金属条的形状会影响在这种光栅下传播的波的捕获和衍射效应)。先锋作品是由布洛·特克亚、英格布里格斯滕和斯基伊提出的，用于模拟无限周期光栅发射能力并在任何半无限压电衬底上检测表面波，但忽略了电极的质量载荷。然后米尔森、雷利和雷德伍德提出了一个由任意电极图案组成的有限长器件模型(仍忽略电极质量负荷)。后来,对电极质量负荷影响的精确预测的兴趣促使了一些研究人员开发基于基材格林函数知识的混合积分公式的建模概念（基板在局部应力激发下的位移响应，反之亦然）和数值计算工具，如有限差分或有限元分析。Baghai-Wadji等人在20世纪90年代初提出了这种无限周期光栅和有限电极结构的发展。自那时以来，我们进行了许多改进，使其能够开发出多功能和非常精确的模型如Ventura，Hode，Solal， endoh，Hashimoto，Yamagushi，或Koskela，Plessky和Saloma 所提出的一般致力于无限周期光栅的理论表征，为基于P-矩阵或模耦合方法的设计工具提供有用的数据。
同时，由于需要提高这类器件的工作频率，人们不仅对LiTaO 3或LiNbO 3上的漏波等高速表面模式进行了研究。但也包括在复合基片上，例如，由压电层（AlN、ZnO等组成）沉积在高声波速度的材料上，如金刚石-C，碳化硅，蓝宝石，硅等等。关于这个题目的论文成倍增加，妨碍了所有论文的引用。但是参考文献10-12可视为该领域的代表性工作。尽管存在预测声波在几乎任何层状结构中的色散行为的模型，但对于利用海量表面间指换能器在叠加介质上激发和检测波的理论描述，研究甚少。
在本文件中，我们报告了一个基于Ventura等人提出的理论方法的模型。对于半无限衬底上的无限周期电极光栅，参考文献15和16中有广泛的描述并扩展到在任何分层介质上模拟这种换能器（假设每一层之间的平面界面）。利用有限元分析对电极的贡献进行了描述，这得益于在该领域所取得的所有进展。利用上述边界积分法中插入的格林函数对复合基片进行了模拟。这里再次利用了用于相应计算的数值稳定化的最近发展。这一点在计算由压电、介电或金属层的厚度从几微米到几十分之一纳米不等的半无限或厚衬底时是必不可少的。这两种计算都是沿着参考文献15和16中所描述的方法混合计算的，允许推导所考虑的结构的谐波导纳。然后，我们可以从这个结果中提取出由IDT激发和检测到的典型的波特征，如相速度（或慢度）、机电耦合、传播损耗、波在电极上的衍射等。虽然这个模型可以把内在物质损失看作物理常数的虚部，在这项工作中，这些泄漏源被忽略了。唯一可能发生的泄漏现象是与波辐射进入块体有关的（半无限衬底假设）。在本文的第一部分，我们回顾了所提出的计算原理。关于绿色功能处理的几个具体问题（更具体地说，它的渐近性态）也显示了这一问题。第二部分是对特殊分层结构模型的开发，以验证我们的仿真工具，并说明其对典型分层结构的兴趣。首先识别在层和衬底的典型组合上的传播模式,并给出了最佳工作点的完整表征（频厚积，ft）。最后讨论了该模型的进一步开发和发展。
图1.所解决问题的典型几何学方案：一个周期为p的准刻度光栅，它是一个由层组成的复合基片。a/p是TiO和H/H的电极相对高度。
- 理论方法
- 再投资
正如导言中提到的，这里只回顾了一般原则，因为它们已经在参考文献15和16中详细介绍了。我们首先介绍了这个问题的基本几何学，即一个无限周期的光栅沿此方向沉积了一个由压电层或金属层组成的复合基片。如以下图1所示（第一层至少必须是介电层，但通常是压电层）。用于表面波激发的实用的再流场一般表现出足够大的特性，而忽略了场对面波场的依赖性。我们假设空间谐波激励驱动电极光栅，在对问题的形式化描述中只考虑一个周期。利用已有的格林函数形式主义，建立了两者之间的关系广义表面应力Tjkbull;nk（包括法向电位移在参考文献15和16中定义的）以及广义的等价性ui（包括电气设备）是由
在周期格林函数p定义如下，根据与此函数相结合的基本定理：
在f为频率的情况下，s1和g为谐波激励参数。光谱格林函数和l是当前的空间谐波数在以下情况下，正常的再加工被认为是正常的，而不丢失任何的再加工。公式（1）没有明显的一般解析解。因此，必须将相应的连续问题转化为可以用线性代数技术求解的离散形式。在这一问题上，我们利用了广义位移场和表面应力场的发展，在后者中插入了 1/A(12x2)函数，说明了广义位移场和表面应力场对已知电荷的贡献。这产生了电极下T2、j和UI的下列表达式：
在公式（3）里，CN是相当相似的，AIN和b是问题的实际发展系数。插入公式~3!进入方程式~1!然后从ChebyshevBase上获得的投影提供应力和位移系数(AIN和BJn)之间的关系，如下所示：
在等式5里，Jn是第一类和第一类的再分配功能(也被一些作者称为圆柱函数)同时Vn也是一个系数，反映了再分配的性质。
方程~5给出了再分配之间的关系，然后要求附加方程来解决问题。它们是由传播时施加的边界条件提供的。e.我们首先考虑机械边界条件，允许描述大量电极对这个问题的贡献。假定机械应力和机械应力是连续的。电极/基片边界和其它地方的法向应力:
依照文献16采用有限元分析方法对电极的力学行为进行了模拟。的每个项在界面电极/基板上的位移计算。每个表面应力分量。假设在上面提到的接口上的约束条件被写成，我们就可以建立相应的接口。由电极产生的AIN和b之间的n如下：
其中w是角频率和矩阵[int;PmCq]象征性地支持有限元插值乘积的积分和混合有限元分析时的切比雪夫多项式和方程1的边界积分公式。方程（7）然后将3*m方程提供给以前在方程4中建立的4*m方程。最后，给出了一个电边界条件，考虑了平面电极假设与参考文献2-7、15和16的一致性。它包括将电极设置为1V的激发电位，将相应的M 切比雪夫多项式展开系数固定如下：
如参考文献15和16所说，用参考文献4、7、9构造线性系统用标准线性代数方程求解。然后，人们可以利用Chebyshev多项式的正交性质通过计算电极下的总电荷q来获得结构的谐波导纳。在考虑声孔径等于光栅周期两倍的情况下，计算了谐波导纳，为了使频率在上述周期(f，p)上正常化。然后用西门子S直接表示谐波导纳YH。 对于单位电位激发，它会读成：
从这种谐波导纳中，人们可以提取有关在单晶衬底上进行的任何一种结构模式的激发和引导的一般数据，即速度，电子。由块状电极引起的机械耦合、传播泄漏和波衍射。由于采用了有限元法，电极的形状和高度不受任何限制。
- 层状衬底的格林函数
在上述计算中，只有计算谱格林函数才能模拟任何衬底（半无限的或给定厚度的)多亏了这个问题的周期性。这大大简化了计算过程，因为给定的化合物基片的格林函数只能在光谱域很容易地推导出来。再者,这种衬底的色散行为将迫使空间格林函数的计算(如果必须)对于每一个频率，通过逆傅里叶变换，这会花太长时间。然而，必须特别注意格林函数的计算方法，以避免数值不稳定，特别是对于有限厚度的基片，对于半无限衬底上的厚层，对于厚度变化较大的堆叠层。在这种情况下，在文献[18]中提出了一种所谓的扩散矩阵方法能稳定计算任何基材的格林函数。这里回顾了这种方法的原理。
根据Fahmy-Adler方法，我们考虑状态向量用特征值问题关联广义应力场和位移场来描述叠加中各材料的声学行为（上标t表示向量或矩阵换位）。堆叠结构符合图2的定义。对于给定的慢度(S1，S3)，层叠中任意物质的状态向量可以表示为矩阵F的乘积，该矩阵F由八个对应的特征向量组成，其对角矩阵D(X2)为8*8通过特征值s2描述沿x2的依赖关系（文献18）和部分模振幅的a向量
对于每一层m，引入一个中间变量g(M)。该向量具有相同的性质和等级，允许在层界面上分离反射波和入射部分波。（见图三）
图2.计算相应表面格林函数的叠加结构的几何定义
其中和对应于矩阵Delta;和向量a的项相对于反射（1）和事故（2）的部分波。事实上，在层(m-1)和m层之间的界面处，可以去除4*4级的反射矩阵R(M)，将入射和反射的部分波连接在一起，如下所示：
当第一层为半无限时，反射矩阵R(1)为空，否则，假设底部表面是自由的。在后一种情况下,假定表面应力和电荷密度为零(只有向量h中的广义曲面位移是非零的),提供g(1)的表达式。因此，考虑到参考文献13中的定义，可以计算反射矩阵R(1)。注意，在参考文献13、15、16、18和19中描述的过程中，可以考虑相邻介质的介电常数。一旦在第一接口已知反射矩阵，则使用递归过程迭代计算堆栈其他接口上的反射矩阵。它首先通过变量g连接层m和(M 1)之间的接口，如下所示：
图三、递推原理-反射模式和入射模式的定义。
其中tm是与图2一致的m层的厚度使用等式13，我们只能用反射部分波的函数来表示g(M)(Xm)，产生以下表达式：
在等式15里，I4是4*4秩的恒等矩阵。m层与(M 1)层界面处广义法向应力和位移的连续性，即，状态向量h(M 1)(XM)和h(M)(XM)的相等，提供g(M 1)和g(M)之间的关系：
方程15现在可以插入到等式16中，给出了8*4秩矩阵的定义，其中可以强调两个子矩阵K和L，相对于层的反射和入射部分波(M 1)，
与方程13一致，最后推导出层(M 1)的反射矩阵为。这个迭代方案被重复，直到到达堆栈的顶层（即图2所定义的x2=xn）然后，相对于顶层的状态向量h读取:
分别引入N和P作为相对于广义曲面位移和应力的子矩阵，我们可以将UI与T2 j相关联定义为谱格林函数G=NP-1其中G是4*4秩的矩阵，对应于方程5的GI j2张量，与通常的半无限衬底工艺相一致。
- 数值方面
需要注意的一点是，在上述重复过程中，在最一般的情况下，所有的倒矩阵都是非奇异的。特别的,对于矩阵Delta;中频率慢厚乘积(ws2tm)的大值，与反射波和入射分波相关的子矩阵趋于零，不降低算法的稳定性。这显然是部分波分离的一个强大优势。
在等式5里，假设空间谐波的无限和无法实际执行。因此，格林函数的渐近行为的描述与Ventura提出的描述是一致的（见参考文献15关于计算的全面说明）。实际上，在足够大的慢度值下，堆叠基板的第一层可能以半无限材料的形式出
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