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在多通道生物电测量中提取事件相关信号
摘 要
独立成分分析（ICA）能有效地把信号从它们的混合物中分离出来。在这个领域内，提取了很多算法，但是人们很少使用先验信息去找到想要的信号。在这里，我们提出了一种固定点算法，这种算法利用先验信息在许多传感器中找到感兴趣的信号。特别是我们可以用这种算法从脑磁图中去掉人工心脏。
关键字：事件相关信号、激发性电位、独立成分分析、多通道测量。
第1章 绪论
许多生物电信号通常有一些刺激性的生理反应产生，无论是内部还是外部。它们在刺激时被锁定，因此被称为事件相关信号。在这些中，存在着大脑中发生的例如视觉或听觉刺激的反应的诱发电位。
神经活动能被不同的方式测量，例如经典的脑电图（EEG）或者最近的脑磁图（MEG）和神经磁图（MNG），它们记录了与不同生理活动有关的多个时间序列，然而，这些测量结果通常会受到与眨眼，眼动，肌肉运动，心脏噪声和一些其他非源自脑中的电波相关的不希望有的干扰。
因此，避免这些能改变实验结果的干扰是很重要的。在文献中，经常使用整体平均值，但是由于平均信号的模糊，可能会改变最终的结果[13]。其它技术已经被提出，如对事件相关的周期性信号进行滤波[12]，但是这种技术在非周期信号的情况下可能不起作用。
最近，独立成分分析（ICA）作为能在生物医学信号处理中分离独立信号源的有前途的技术出现[3],[13],[15]。ICA基于以下原则：假如原始信号（或源信号）已经被线性混合，并且这些信号是可以使用的，则ICA以盲估计的方法找到恢复原始源信号的混合信号的线性组合，其可以被重新调节并随机排列输出。
但是，无论是在几分钟还是几小时的基础上，从可输出数百个记录的测量中提取所有独立信号可能需要很长时间，例如脑磁图测量。因此，只提取所需的成分是非常重要的。为了执行这一任务，我们在这里提出与感兴趣的信号的有用的先验信息一起使用压缩算法。压缩方法很重要，因为我们只能从测量的信号中提取一个独立的分量，而不是一次提取所有的分量。但是，正如我们上面所说的那样，独立的组成部分是随机出现的，因此任何一个信号都可以作为第一个信号出现。为了解决这个问题，我们使用可用的先验信息，通过维纳滤波器来初始化算法。
此稿件分布如下：首先，我们在第2章中回顾一下维纳滤波的一些重要方面；其次，在第3章中我们介绍了独立成分分析理论和分离准周期源的算法；在第四章中我们展示了使用的方法，以及在下面的方法中，用于通过仿真或在现实应用中测试算法的实验设置；在第6章中，我们展示结果，并在第7章中，我们提出结论。
第2章 维纳滤波的重要方面
我们首先在整个稿件中使用的框架中定义问题。考虑n个相互独立的信号到达n个电极（或其他类型的接收器），每个电极获得信号的线性组合。为了简单起见，我们将放弃迭代指数k，只在必要时使用，那么我们就得到。混合信号V为因此由下式给出：
(1)其中A是一个n x n的可逆矩阵（该模型可能会根据源信号传感器数量的不同和噪音而变得更加复杂）。
我们假定我们只能观察混合物v而不失一般性，令
(2)
所以。在实践中，这种操作能加速算法的收敛性，这将在下一节中介绍，除此之外会简单一些。
我们的目的是从混合向量x中找出源信号s的一个给定分量，使用包含在与相关的信号d中的一些先验信息，即。
为了实现这一点，我们将输入向量x的所有组成部分用一个线性组合来表示，如图1所示。因此，我们有，其中w是由算法估计的权向量，d是参考信号，误差由给出，权值由给出的均方误差(mse)的最小化来进行更新。有许多算法使用均方误差作为代价函数,最简单的方法之一是LMS，它可以即时估计权值，由(3)给出。
(3)
其中是步长，它控制速度，而且收敛误差。
图1 用于估计输入的权值的一种线性组合器
然而，我们在这里感兴趣的是用一种独立于用户选择的参数的方式来估计权向量，比如(3)中的。因此，让我们最小化由(4)给出的均方误差。
(4)
其中，，得到梯度
(5)
因此，从（5）中，我们看到最小化均方误差的最优权数是，由（2）可知，最优权数（也称维纳权数）由下式给出
(6)
A.定理1
令，其中是费罗贝尼乌斯范数，且。如果给定，且，，于是，其中，是一个标准基向量，即，且，。
证明：从（6）我们可以得到
(7)
使正规化，引出。
根据这个定理，我们可以看到，在存在参考的情况下，二阶统计量足以分离信号。我们将在第三章进一步讨论这个定理的含义。
第3章 独立成分分析
ICA的最终目标也是单独的信号，假设它们是相互独立的，换句话说，源信号的联合概率密度是各个源的边际密度的乘积。
(8)
与前一节的方法不同的是，文献中提出的大多数算法分离信号都是以盲目的方式（关于术语blind的含义有一些讨论，但是超出了本文的范围）。在这个框架内，ICA算法找到了X的元素的线性组合，它给出了最独立的组件作为输出。通常这个输出是使用矩阵找到的，所以的元素是相互独立的。
为了找到矩阵，文献中使用了不同的代价函数，通常涉及形成源信号的概率密度函数的非线性特征，但是高阶统计量，例如峰度也被广泛使用。零均值随机变量的峰度定义为：
(9)
但是，我们在这里希望从一些测量信号中提取或去除某些给定的信号，因此，不是找到一个n x n的矩阵，而是从输出中选取所需信号（如[14]中所示），我们对只发现z的一个分量很感兴趣。因此，这个部分是由给出，其中是的一行。用图形来说，这可以理解为图1中虚线的左侧。
这个领域的大多数工作被称为源信号的顺序盲提取，是基于代价函数最小化或最大化，最大化和最小化是峰度的函数（参见例如[8]，[6]和[9]）。
在这里，我们还可以使用四阶矩，或者使用非周期信号的峰度，或者使用周期性或准周期性信号的新代价函数。之后，我们的目标是获得信号z的第一个输出，以便它符合准周期信号的特性。因此，我们建议将以下函数最大化（我们将从现在开始删除索引，并且以避免混淆，仅在必要时才使用它们）：
(10)
其中是离散时间指数（迭代次数），是常量，是一个周期延迟。
因此，我们不使用方差作为四阶矩的标准化器，而是使用输出信号在延迟处的自相关数。这样做的原因是对于一个周期为的信号，自相关数应该具有高位值，而对于周期不是的其他信号，该值应该较小。另一方面，用于加权这个四阶矩的标准化。
第4章 措施
我们在的约束下最大化（10），因此，我们将找到一个使拉格朗日函数最大化的。
(11)
所以，我们可以得到
(12)
其中
(13)
同样，我们可以对（9）进行操作，得到Hyvarinen和Oja算法[9]
(14)
A.关于第一个提取成分
现在我们已经分别获得了由（13）和（14）给出的周期信号和高峰信号情况下的算法，我们建议由下式初始化权值：
(15)
这是（6）中给出的维纳权值。
然而，在大多数情况下，定理1并不成立。换言之，存在与期望解强相关的参考信号，但也与其他一些参考信号弱相关。因此，我们可以假设（15）给出的初始化在空间上靠近解，这取决于参考输入。所以，我们建议在n维超平面中搜索解，以便
(16)
其中是以为中心的超球面的半径。
B.提议的算法
从以上的推理，我们提出了以下定点算法。
在矢量v中执行主成分分析（PCA）以得到，其中。
采取初始向量，让迭代数。
如果信号是周期性的，得到，其中是要提取的信号的基频。
对于周期性信号，令
(17)
除此以外
(18)
按其规范划分并更新。
测试是否,否则，将当前权值更改为维纳权值，并加入一个小的随机偏差。这一步对于确保解在空间上接近维纳权值非常重要。
重复上述三个步骤，直到接近1（相当于一个小错误）。
图2 基于维纳滤波的信号增强/消除框图。
C.算法收敛
已经表明（9）具有对应于独立分量的最大值和最小值的数量，因此（14）是全局一致的[9]，[8]。在这里，我们显示算法（13）是局部一致的。让我们研究一下它在点的特性。为了达到这个目的，我们进行坐标的改变并且用（10）给出的来定义函数。
在解中添加一个微扰，我们有以下近似值：
(19)
导数如下：
(20)
其中我们定义了和。
- 代入（19）得到
(21)
因此，对于给定的源信号,我们可以看到是满足以下条件的最小/最大值：
(22)
D.信号增强/消除
在使用上述算法获得输出之后，可能有兴趣保持该信号用于后处理或分析，或者将其从传感器中移除。为了完成这个最后的选择，我们可以简单地使用上面提出的维纳滤波器。这可以通过使用先前的ICA方法估计信号并估计其对每个元素的贡献来执行，如图2所示。因此，我们可以将每个传感器的贡献向量表示为，或者由给出的消除的传感器。从（6）中，我们发现，元素是由下式估计的
(23)
第5章 实验装置
作为本文提出的算法的第一个测试，我们分离了人工生成的混合信号。一共使用七个信号，其中三个取自MIT-BIH噪声压力测试数据库，这是测试心电图（ECG）分析仪的标准，它们由一个ECG信号和两个在测量ECG时经常观察到的常见伪影组成：呼吸和电极伪影。我们随后添加了一个随机的高峰度信号（模拟瞬态干扰）和两个不同频率的正弦波。它们可以在图3中观察到。作为参考信号，我们使用了一系列与我们想要检测的信号峰值同步的脉冲。有了这个，我们想要模拟外部触发器，例如，通常在诱发电位实验中可用。初始维纳猜测值附近的半径为。
在第二个模拟实验中，我们比较了更新规则的（17）和（18）中总结的周期性和非周期性算法的性能。为简化讨论，我们将分别称它们为周期性算法（PA）和Kurtotic算法（KA），目标是看到当初始权值设置为一个随机向量，这些算法如何隔离期望的信号。为此，我们将五个信号线性混合：一个正弦波，一个高峰度仿真信号，之前实验的电极伪影，一个低峰度仿真信号和一个白高斯信号。混合物的长度为10000点，两种算法以随机的初始重量和混合矩阵被运行100次。
图3、模拟中使用的信号：（a）心电图；（b）呼吸伪影；（c）电极伪像。 （d）随机信号；（e）高峰度（瞬态）信号；（f）-（g）频率不同的周期性信号。
最后，我们测试了PA从MEG数据中提取心脏伪影。这些数据包括大约两分钟的122通道的MEG记录，采样频率为297 Hz。图6显示了八个通道的子集。突出显示的信号（与传感器阵列左下侧的传感器相对应）用于识别R波（特别是，我们在0.9Hz处高通滤波信号，并使用阈值来检测每个周期的峰值），就像计算心率变异性一样，使用与R波同步的脉冲串作为参考。
图4、模拟结果：（a）期望的信号；（b）参考输入；（c）维纳滤波器输出；（d）算法输出。
图5、两种提取周期成分算法的比较。 结果以该成分出现的顺序显示：（a）具有随机初始权值的周期性算法（PA）的结果；（b） 具有随机初始权值的kurtotic算法（KA）的结果；（c）将权值初始化为维纳解后的PA结果。
图6、122通道MEG数据的一个说明性子集（可用的），突出显示的信号用于识别心脏峰值。
图7、利用周期性ICA算法在MEG数据上找到独立成分。最上面，传感器平面的三个视图显示相应的场模式，底部的插件放大成分的10秒。
第6章 结果
从第一个实验数据，如图3所示，我们已经观察到PA总是找到所需的正弦分量，即帧（f）中的一个。图4显示了该实验中获得的结果，用作参考的脉冲序列与期望的原始信号，维纳滤波器输出和独立组件一起被呈现，对定理1的条件进行验证的局限性导致维纳滤波器的估计很差，但仍然存在正弦形状，最后一帧显示PA如何精确恢复原始信号。
在第二个仿真数据集中，记录了所需正弦信号的出现顺序，对于这两种算法，随后绘制在图5中。值得注意的是，PA使用周期性的先验信息，一致地识别前两个中的正弦分量以提取[见图5（a）]。另一方面，KA优先考虑所涉及的信号的峰度，通常在第三或第四位分析正弦曲线[见图5（b）]。但是，在将权值初始化为维纳解时，算法完全成功，如图5（c）所示。kurtotic信号也表明，由于混合矩阵条件，所提出的算法并不总是首先提取所需的分量，也就是说，随着第一个传感器的能量增加，所需信号出现的可能性增加。
大脑中事件相关活动的测量可能会被心脏伪影破坏，这通常会超过诱发反应本身的幅度[11]。为了解决这个问题，Jousmaki和Hari [11]建议
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