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A2RC：一种用于波束赋形的精确阵列响应控制算法
摘要
本文提出了一种新颖的精确控制阵列响应的算法（英文缩写为A2RC）及其在波束赋形中的应用。所提出的A2RC算法主要应用于如何在给定方向上精确地控制阵列响应的问题上。从自适应阵列理论形成开始，对最优权向量进行了深入的分析。通过对初始权重向量进行一些简单的修改，发现在给定方向上的归一化响应可以精确地调整到任意水平。在此基础上，首先找出所有可能的权重向量，这些权重向量具有特定的形式，并且可以使给定方向上的归一化响应等于预期值，然后，设计出一种有效的方法来寻找使方向图失真最少的权重向量。借助A2RC算法，开发了一种用于任意阵列的新的波束赋形的方法。在这种方法中，通过连续修改权重矢量，以逐点方式调整方向图。与以特定方式分配人为干扰的传统方法相反，我们的方法能够获得最优权重向量而不需迭代地确定人造干扰的功率。本文提供了大量的仿真结果展示了A2RC算法在阵列响应控制中的性能，验证了该算法在各种波束赋形问题中的有效性。
关键字：阵列响应控制，波束赋形，自适应阵列理论，阵列信号处理
第一章 绪论
波束赋形是阵列信号处理中的基本问题之一，由于其广泛的应用，如雷达，遥感和无线通信[1-4]等领域，在过去的几十年里它已被广泛研究。概括地说，波束赋形是指通过设计合适的阵列的权重来实现预期的方向图的要求的过程。例如，在雷达系统中，希望设计具有低旁瓣电平的方向图来抑制噪声和干扰。在通信系统中，控制方向图在干扰方向形成零点已经成为常见的抗干扰措施。另外，在遥感应用中，需要产生具有宽主瓣的方向图来实现广泛的区域覆盖。
对波束赋形方法进行研究的相关文献有很多。例如，在文献[5]中，Dolph设计了一种波束赋形方法，在规定了主瓣宽度条件下，获得了副瓣电平相同的方向图，也称Chebyshev方向图，应该注意的是，这种方法通常限于统一的线性阵列（ULA）。文献[6-8]主要针对的是阵元不是等间距或阵元具有非各向异性的阵列方向图的研究，其中，遗传算法是最典型的，也是最流行的一种全局搜索方法，它执行一系列的遗传操作以获得最优解[6]。其他常见的应用于波束赋形问题的全局搜索算法还有粒子群算法[7]和模拟退火算法[8]，这些方法有一个普遍的缺点就是计算时间过长，大大限制了实际应用。
对于任意阵列，利用自适应阵列理论[9-11]，已经提出了许多应用于波束赋形问题的算法。例如，解决一系列线性约束最小二乘问题的算法[12]。Olen和Compton通过在旁瓣区域分配人工干扰源开发了一种系统方法[13]，根据当前方向图与预期方向图的偏差，迭代地调整不同旁瓣处的干扰的功率水平。该算法能够有效控制旁瓣电平水平，但缺乏控制主瓣区响应的能力，而且，这种方法需要在每次迭代时必须确定主瓣区域，计算复杂度高。因此，为了克服以上算法的一些缺点。根据文献[13]，文献[14]设计了一种迭代方法进行波束赋形，有效的减少了算法的计算复杂度和提高了算法的灵活性，并且能够有效地控制旁瓣区域和主瓣区域的响应。文献[15-16]根据文献[13]作了算法修改和补充，主要是为了提高算法收敛速度和计算效率。值得注意的是，在上述方法中，某些参数如人为干扰的功率水平，是以临时方式选择的。
由于优化技术的发展，波束赋形在过去几年里引起了广泛地研究。在文献[17]中，波束赋形被定义为一个凸点优化问题，可以借助内点法有效的解决。对于稳健的阵列波束赋形，在文献[18]中已经使用了二阶锥形编程和半定规划。在文献[19]中，半定规划被用于设计各种形式阵列的方向图问题中。为了更全面地了解阵列综合，感兴趣的读者可以参考文献[20]最近的工作。
应该注意的是，通常上述方法不能灵活地控制阵列响应，即使对方向图做一些小的改动，权重矢量也必须完全重新设计。这激励我们设计一种新颖的精确阵列响应控制（A2RC）算法，该算法针对的是如何在给定方向上精确控制阵列响应这一问题，为此，对最优权重向量进行了深入分析，大量的实验仿真结果表明，通过对初始权重向量进行一些简单的修改，可以将固定方向上的归一化响应精确地调整到任意水平。接一下需要考虑的是如何将指定方向的归一化水平调整到预期值，并且，使方向图的失真程度达到最小。根据A2RC算法，我们可以将任意方向的归一化响应逐点调整到预期值，并成功地应用于任意形式阵列的波束赋形问题中，包括非各向同性的阵列和二维阵列。与基于自适应阵列理论的传统方法[12-16]相比，所提出的A2RC波束赋形方法能够准确和灵活地控制阵列响应水平，由于其简单和有效的价值，该算法具有很好的应用前景。
全文的结构如下：
第二章，介绍了波束赋形的基本问题和初步的自适应阵列理论。
第三章，对所提出的A2RC算法进行了分析。
第四章，讨论了A2RC算法在波束赋形中的应用。
第五章，进行了大量的仿真实验来证明A2RC算法的优良性能。
- 全文工作总结。
第二章 波束赋形与自适应阵列理论
2.1 波束赋形
假设有一个N元的任意形式阵列。在不失一般性的情况下，为了清楚起见，我们将重点放在一维阵列的波束赋形的问题上。方向上的导向矢量可写为，
其中表示转置，是虚数单位，表示第n个阵元的激励幅度大小，表示第n个阵元与参考点间的传播延时，表示频率，则阵列响应可以写成，
其中，表示共轭转置，是权向量，波束赋形的问题可以被描述为：找到一个合适的权重矢量使满足特定要求。
2.2自适应阵列理论
可以看出，上述波束赋形公式与数据无关。根据自适应阵列理论，方向图可以自适应地用接收到的入射信号的数据进行合成。在这种情况下，权重向量被称为自适应波束形成器，其可以通过最大信干噪声比SINR来获得。更确切地说，波束形成器的输出被描述为，其中是由信号、干扰信号以及噪声组成的向量。已知SINR条件下，最优权重向量可以用下式表示为，
其中，是不影响SINR的归一化因子，为信号导向矢量，是Ntimes;N的信号和干扰信号的协方差矩阵，当只考虑一个干扰信号，则我们可将描述为
假设噪声是白噪声，并且与干扰信号无关，在公式（4）中，是单位矩阵，和分别代表噪声和干扰的功率。最优权向量可以使合成的方向图在干扰方向形成零陷，根据这个性质，设计出下面的A2RC算法。
第三章 A2RC算法
尽管依赖于数据的自适应波束形成方法能够在干扰方向上合成具有深度零点的方向图，但是从数据无关的波束赋形的角度来看，如何在特定方向或区域上根据需要精确控制阵列响应尚未得到充分解决。这激励我们在本章中将要介绍一种新颖的A2RC算法。首先分析了最优权向量，提出了一种调整响应水平的新策略。然后，制定求解确定矢量的公式，然后分析和推导。最后，设计一种简单而有效的方法来实现所需的方向图。
3.1权重矢量分析
应用矩阵求逆引理，最优权向量（3）可以写成，
其中，表示欧几里得范数，是不会影响最终性能的因子，为了计算方便，将其省略不写，因此可以将最优权向量写成
其中，定义为
可以看作问静态权重或初始权重，是一个复数，即
其中，INR为
INR表示干噪比。
从（6）可以看出，最优权重向量可以解释为两项之和。第一项是静态权重，它无法消除干扰。为了与以下分析保持一致，我们倾向于命名为初始权重，是由调整得到的。第二项为为干扰导向矢量乘以复数因子，是INR的函数，因此功率响应可以写成，
其中，表示共轭算子，是和的內积，表示为
表示了了关于初始权重的功率响应，是非负项，是交叉项，可正可负。
接下来，定义关于给定的下的功率归一化响应，即
同时，我们命名为归一化功率响应的归一化因子，以便于说明。
因此对于初始权重，归一化功率响应可表示为
对于最优化权重，可以得到
很明显。
很明显，可以看出，通过添加项，可以将向调整，并且在特定方向的上的归一化阵列响应也可以进行调整，这说明可以比较和的相对大小，很可能找到修改权重矢量的因子，通过调整权重向量，精确地控制阵列响应。接下来，我们首先根据本页底部的公式，将展开，根据（13）式和（15）式，根据（15）如果，那么，并且，根据C-S不等式，我们有，因此，如果我们将INR看作一个可正可负的实数变量，可以得到以下重要结论：
其中，。
值得注意的是，从现在开始，INR代表一个实数，而在数据相关处理算法中，它必须是非负的，因此，接下来，我们将描述为，很明显
当INR取或者0时，，为了使上述观点更清晰，假设有一个阵元间距为二分之一入射波长的16元的均匀线阵，图1表示了与关于INR的曲线，其中=0°，=20°。
图1
由图可以看出，只要INRgt;0，就小于。实际中，这说明这种情况与数据相关的波束形成是一致的，在干扰方向形成零陷，对于可以调整的波束形成则不是。另一个重要的观察结果是对于给定一个，存在一个或多个，有，可以得到以下引理
引理1：对于给定的和，满足，那么。
证明：给定的和，如果对于所有的，，根据C-S不等式，我们有，而且可以看出，当INR趋近无穷大时，趋于0时，并且当INR等于时，趋于正无穷大，由于的连续性，我们可以得到，对于所有的，非负，一定存在，使成立。
而且，由（8）式可以将看作是INR的函数，因此，可以直接得到以下结论：
引理2：:对于任何给定的和，满足，对于和，使得成立。
证明：引理2是由引理1和公式（8）得出的结果，详细证明省略。
从引理2可以看出，可以通过调整来控制的归一化响应，为了说明结论的合理性，如图2和图3展示了在给定方向上，不同的值可以产生不同的结果，这个例子中，均匀线阵的阵元数为16，=20°，=0°。在图2和图3展示了不同的的方向图，更具体的我们设分别为和，可以发现在20°处的归一化响应分别调整到-30dB和-10dB。
图2
图3
现在，人们可能提出的一个很自然的问题是如何确定的值，以使特定方向的响应满足预期值获，在接下来一节中，将详细讨论这个问题。
3.2 权重向量的求解
在上一节中，我们已经知道，如果将作为初始权向量，则可以通过调整复数mu;的值来获得给定方向的特定响应，这为我们提供了有用的思路来控制给定方向的功率响应，具体而言，如果我们需要使处的归一化功率响应等于特定值，则根据引理2，必须存在和相应的权重向量满足
因为和已知，则接下来的任务是找到一个合适的来满足响应要求。假设已经获得，如果我们需要控制另一方向到的响应，找到一个合适的使成立。以这种方式，在第k步，我们需要找到一个适当的，使得处的归一化功率响应满足，鉴于在第k-1步中获得的权重向量，则可以表示为，
由（18）可以看出，可以通过修改可用的权向量来控制给定方向上的阵列响应，而不是完全重新设计权向量。
现在我们讨论在每一步中确定参数mu;\的方法。 从（18）可以看出，处的归一化功率响应可以表示为
因为的归一化响应为，即
根据以上两个公式，得到一个求解的方程
其中,
是2times;2 Hermitian矩阵，可以用本页底部的公式（23）描述，其中和分别代表着第k-1步中和的功率响应，和，在（23）式中，是一个复实数
由，，和决定。
很明显，另为（21）的一个解，，则很容易得到下式，
（25）
其中，是的第i个元素，已知如果，那么为任意矢量，那么在这种情况下，我们有，换句话说，我们有 ，这就意味着满足了的响应要求，所以是满足条件的，因此，我们仅考虑当的情况，则可以判断至少有一个非零特征值。
是由本页底部的（26）式决定，我们已经展示了的数学表达形式，因此可以由的特征值确定，将的特征值分解为
是酉矩阵，，，和是的特征值，代表着由和组成的对角线矩阵，根据（26）式，我们可以得到
，将（27）式代入（21）式中，可以得到，
其中，
为了不是一般性，假设非零，因此我们有，可以改写成，
其中是一个复实数，，因此（21）式可以写成
则可以写成
则用下面的式子表示
假设，定义F为的集合，
然后
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