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摘要
提出利用Tiemey、Rader、Gold architecture[1] 等技术，对直接数字频率合成器（DDFS）的性能进行优化。这些技术允许DDFS硬件的最优分割来减少有限的相位分辨率和有限输出字长的影响。根据上述结论，给定相位分辨率和有限输出字长的约束条件，可以在最大乱真信号响应准则和总信噪比准则下对DDFS的性能进行优化。这些优化技术也用于分析需要的查找表存储大小的压缩所引入的误差。研究了两种表压缩技术：Sunderland技术[3][4]和对Sunderland技术的修改。结果表明，采用不同的优化技术来选择查找表采样点，可以使Sunderland体系结构产生的算法误差提高约12dB。此外，基于Sunderland技术的扩展，提出了一种新的压缩技术，该技术为查找表存储压缩提供了额外的改进。最后给出了一个90.2dB的仿真数字杂散辐射抑制，一个14位数字输出，以及一个频率分辨率为0.023Hz的100MHz最大仿真时钟频率。该设计将在抗辐射的1.25mu;M CMOS工艺中制造，目前处于设计的布局阶段，将于11月8日进入制造阶段。
介绍
直接数字频率合成技术是一项不可缺少的技术，它可以在要求极精确的频率分辨率和快速的切换速度时产生基准频率。最常见的DDFS架构是Tiemey、Rader、Gold架构[11]。在文献[5][6][7]中详细介绍了该体系架构，它通过使用一个周期性溢出的补码相位累加器来生成和存储相位信息，并使用一个基于只读存储器（ROM）的查找表来计算正弦函数，从而合成了一个正弦波。除了在D/A转换过程中产生的噪声外，所以DDFS实现都有三个噪声源。第一个噪声的来源是P(n)，由于在正弦函数计算的硬件电路输入中的相位截断产生失真，通常为ROM。第二个是g(*)，这是一个非线性失真，通常是在压缩查找表存储大小需求的时候出现，第三是A(n)，噪声是由于存储在查找表的正弦采样点的有限精度引入的。这些噪声源如图1所示。本文将对这些噪声源的特征及其硬件需求的关系进行分析。
图1 DDFS有限字长影响
有限相位字长的影响
有两个相位累加器的有限字长影响DDFS的性能：用于指数正弦函数的查表索引的相位累加器存起的字长，在图1中用L表示，相位累加器输出的截断，用B表示，对这两个有限字长影响的理解是极其重要的，因为它们对索引其他系统非线性的频谱特性有深刻的影响。在[2]中提出了一种精确的DDFS杂散效应分析方法，该算法可用于确定相位累加器截断产生的所有激励的大小和位置。该算法在图2中重新描述，以强调相位累加器操作的一些微妙之处，从而影响到整个DDFS杂散信号的频谱。
图2 相位截断激励的额外杂散
该算法提供了一个生成激励数量的表达式，它们的振幅和它们在频谱中的位置作为相位累加器截断的位数B、相位累加器字长L、频率控制字Fr的函数。这些结果说明相位累加器操作的一些重要性质影响DDFS整体的频谱误差。要注意的最重要的特性是，激励的数量和激励的大小取决于Fr和2B的最大公约数，由(Fr, 2B)表示。因此，对于输入的Fr值来说，具有相同(Fr, 2B)值的激励的数量和它们各自的振幅保持不变。只有频谱中没一个激励的位置改变。这种现象是相位累加器的若干理论性质的结果。如果我们把一个数值形成的数字序列看成一个单时间序列向量X，这些属性容易得到证明。在这个表述中，相位累加器的一个数值周期的长度被定义为在第一个数字重复之前可能由相位累加器输出的数字序列的长度。如图2所示，这个序列的长度是2L/(Fr, 2L)。然后我们将1 X定义为长度2L/(Fr, 2L)的向量，当输入Fr = 1时，由相位累加器的连续输出采样点组成。这个向量的元素表示为：
1X = [1X0, 1 X 1, 1 X 2, 1 X 3, hellip;, 1 X n ]T （1）
为了印刷方便，这个向量被写成行向量的转置。根据上式，向量FrX可以用：
1X = lt;Frngt;2L （2）
表示向量从n = 0到2L/(Fr, 2L) – 1的每个元素的值。用图3所示一个3位累加器的例子来说明。以此例来说，如果Fr是奇数，那么(Fr, 2L)将是1，从而产生一个长度为8的时间向量。左边的列向量表示Fr = 1时的时间向量。对于这个简单的示例，初始相位累加寄存器值为0的3位累加器，只需要将“1”添加到寄存器中的每个时钟周期，知道寄存器溢出，然后返回到0。这个结果与式（2）中元素1X0 = 0，1X1 = 1，1X2 = 2等一致。图3右边的列向量表示Fr = 3时的时间向量。注意，虽然相位累加器的累积和溢出比Fr = 1快3倍，但两个输出序列的数值周期是相同的。
具有相同数值周期的一个极其重要的“副作用”是，Fr = 3的列向量可以由Fr = 1向量的值排列组合而成。这个排列由图3中的箭头表示。它从式（2）中的时间向量的定义可知，如果（a, 2L）=（b, 2L），任何相位累加器的输出向量aX，都可以由另一个输出向量bX排列组合而成。将这些输出向量联系起来的排列组合属于一类非常特殊的数论关系，称为仿射排列。式（2）因此定义了当Fr = 1时，所有时间输出向量与基本输出向量1X相关的仿射排列集合。
图3 Fr = 1和Fr = 3时3位累加器的时间序列向量
图4 Fr = 2和Fr = 6时3位累加器的时间序列向量
在图4中，我们看到了由Fr = 2和Fr = 6组成的时间向量。从图中可以看出，相位累加器现在的特征是有两组不同的可能的输出向量集合，这取决于相位累加器的初始内容。图中最上面的向量集合表示初始累加器的内容为0的数字输出序列。最下面的向量集合表示初始累加器的内容为1的数字输出序列。一般情况下，相位累加器的特征是由(Fr, 2L)不同的输出序列的“家族”来描述其响应特性。其中属于同一“家族”的输出序列定义为具有相同出是相位累加器内容的输出序列。如图4所示，属于同一家族的时间向量与式（2）中定义的一组相同形式的仿射排列相关。
相位累加器的这些数论性质有几个基本的影响。首先，由于所有无记忆系统误差的影响，DDFS的最坏情况是杂散相应(Fr, 2L)的值恰好不同，每个初始相位累加器的内容从0到(Fr, 2L) - 1。这意味着对DDFS非线性频谱的仿真只适用于属于同一时间序列向量的初始相位累加器的存储值。
另一个重要的含义是与连接同一家族的时间输出向量的仿射排列关系有关。在式（3）中，我们可以看到，对于任意输入值Fr 的时间输出向量可以由Fr = 1时向量的个别元素通过改变向量的指数来构成：
1X = [1X0, 1 X 1, 1 X 2, 1 X 3, hellip;, 1 X n ]T 向量Fr = 1
FrX = [1 , 1, 1, 1,hellip;, 1] T
向量Fr为任意值 （3）
结果表明，离散傅里叶变换算子在时域和频域的排列下都是不变的。如果我们假设一般情况下DDFS通过应用一些无记忆非线性函数S{*}相位累加器的输出产生正弦函数，然后DDFS的输出每个瞬间对于一个给定的Fr可以表示为FrX，S{ FrXn}函数的参数之一。因此，DDFS输出的频谱可以表示为：
N = ，S{K} = （4）
如式（3）所示，所有输入时间向量都可能由另一个时间向量的排列组合而成。如果将其应用于（4）的DDFS输出谱的定义，则可以证明一下的恒等式适用于一类的仿射序列：
S{} = （5）
因此，在时域内的采样点的排列结果与频率在DFT采样点具有相同的排列。在实际应用中，这意味着所以系统非线性的频谱可以由同一数论类的另一个谱的排列产生。因此，如果我们限制Fr的允许值，(Fr, 2L)总是相同的（例如只允许Fr为奇数），那么所有的杂散频谱都可以由单个基本频谱的排列产生。如果想要优化最坏情况下的乱真信号响应（当带外干扰信号与本机振荡信号或其谐波，在接收机前级非线性器件上混频而产生的频率接近接收机中频时，产生乱真响应在接收机的每个调谐频率上都存在一定的乱真响应频率），那么只需要计算一个频谱，就可以计算出(Fr, 2L)的所有值，因为每个频谱只会在激励的位置而不是在大小上有所不同。
在[2]中引入了一个简单的对基本香味累加器结构的修正，不管Fr的值是多少，使所有相位累加器的输出序列都属于数论类(Fr, 2L 1) = 1。在图5所示的这个相位累加器的修改，只需要进行一个仿真，以确定最坏情况下乱真信号相应的值，或由于无记忆系统非线性引起的总信噪比。此外，该修正具有一个额外的优点，即能消除对初始相位累加器的输出频谱的所有依赖，并减少3.92dB最坏情况下的乱真信号响应。
图5 修改相位累加器为(Fr, 2L 1) = 1
有限幅值字长的影响
将相位累加器有限字长相应的数论的行为与DDFS输出频谱相关联的结果现在可以应用于优化计算正弦采样点的硬件电路。从相位参数计算正弦采样点时引入两个误差效应。包括存储压缩非线性的误差，以及正弦采样点幅值量化的误差，如图1所示。在过去，这些误差效应被视为随机现象。然而，使用前一节的结论，现在可以将其作为一个确切地可计算过程。
查询表存储压缩
利用正弦函数的对称性
正弦存储压缩最基本的方法是利用正弦函数的对称性，比如pi;和pi;/2。通过适当地反转正向函数的相位和幅值，查找表采样点只需要存储在0到pi;/2之间的相位值。这个方法的细节如图6所示。如图所示，0到pi;/2之间的正弦函数可以由0和pi;/2之间的采样点进行合成，取相位模pi;/2，然后取相位的绝对值。这很容易在硬件上实现，通过截断相位的最高有效位，然后使用第二个最高位来进行全波段的相位大小校正。如图6所示，通过查表法输出的采样波形是所需正弦波的全波段校正版本。最后的输出正弦波是在相位为pi;和pi;/2时，由全波校正乘以-1产生的。这是简单地通过乘以相位累加器最高有效位的负数来完成的。
在大多数实际的DDFS数字实现中，数字以补码形式表示。因此，补码必须被用于取相的绝对值，并将查找表的输出乘以-1。然而，可以看出，如果将1/2最低有效位的偏移量引入到要补充的数字中，那么一补数可以用来代替补码，同时不引入误差。这大大节省了硬件电路部分，因为一补数可以用一个简单的异或门实现。这个1/2的最低有效位偏移是通过选择查找表采样点来提供的，这样就可以在采样点的相位和幅度上有1/2的LSB偏移量。
在0lt;theta;lt;pi;/2区间压缩正弦函数
本文的发表之前，Sunderland等人介绍了压缩查表存储大小需求的最有效方法是在0lt;theta;lt;pi;/2区间压缩[3][4]。如图7所示，在这个体系结构中提供了一个减少查表存储大小需求的方法，即通过两个大小为2A B字和2A C字的小ROM代替一个大小为2A B C字的大ROM，两个小ROM的输出加在一起重构
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