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采用约束凸集法的超宽带脉冲设计
作者：Sanjeev Sharma,Vimal Bhatia
概 要
在本文中，我们设计了一种基于约束凸集的超宽带（超宽带）脉冲设计方法。较早设计的方法设计出来的超宽带脉冲存在缺陷，一些脉冲信号不适合超宽带频谱掩模，还有一些脉冲信号需要额外的处理电路来适应超宽带频谱掩模中的脉冲。本文设计的基于约束集的脉冲设计方法在超宽带掩模上比较灵活且性能相对最优。这种方法设计的脉冲符合美国联邦通信委员会（FCC）的要求，并且具有与高斯脉冲类似的自相关函数。本文分析了该方法在加性高斯白噪声和Saleh-Valenzuela信道下的时跳二进制相移键控的误码率性能以及Norman和Lee脉冲与六阶导数高斯脉冲等现有方法的误码率性能。从结果来看，使用本文设计的脉冲设计方法优于现有的脉冲设计方法，并且通过仿真进行了验证。本文设计的算法使用比较灵活，可以通过修改所设计的约束集的参数来缓解窄带干扰，产生多频带超宽带脉冲和应用于其他的联邦通信委员会兼容的频谱掩模方式。
关键词：自相关函数，误码率性能分析，凸集，联邦通信委员频谱掩模，高斯和厄米特脉冲，希尔伯特空间，脉冲无线电，凸集上的投影，脉冲整形，超宽带，60GHz
简介
IEEE 802.15.4任务组中采用脉冲无线电超宽带技术中进行未被规范的短距离高数据速率无线传输，并且即将被应用其他通信系统中，例如毫米波通信。这种通信技术具有低功耗和低成本的特点，因此可以用于如传感器网络，高数据速率无线局域网，个人局域网通信，各种成像和雷达系统以及物联网等低功率无线设备。然而，超宽带通信脉冲设计是一项关键且具有挑战性的任务。由于脉冲信号在频率上应该达到最大限度的平坦，在时域上尽可能狭窄，因此，正弦脉冲不适用于超宽带通信。基于凸面优化的技术已被用于超宽带脉冲设计。文献中提到了各种超宽带脉冲，例如高斯脉冲，埃尔米特脉冲，扩展球形脉冲，以及使用正交多项式组合的脉冲信号。超宽带通信中使用的脉冲应满足FCC规定的频谱模板，超宽带脉冲具有最小的窄带干扰时可以与FCC掩模理想兼容。产生兼容掩模脉冲的原理是先基于给定的关于超宽带脉冲的先验信息来制定所需的凸集，在通过投影到凸集（POCS）的方式就可以获得兼容FCC掩模的脉冲。本文设计的用于脉冲设计的方法具有通用性和灵活性，可以很容易地应用于FCC和FCC超宽带标准以外的其他方面，也可以用于单用户和多用户环境。
大量文献详细介绍了使用各种方法进行超宽带脉冲，因此，在本节中，我们回顾一些常用的超宽带脉冲设计。在Parr等人的文献中，才用对应于最大特征值的特征向量设计的超宽带脉冲去适应FCC频谱掩模，无需任何额外的电路。但是，Parr等人设计的脉冲没有与频谱模板达到最佳兼容性。由于除了理想采样点之外部分的相关值很高，设计的脉冲在接收端也需要精确的时钟同步，并且需要高采样率才能在实际系统中实现。Parr等人设计的脉冲具有高旁瓣，因此，如果脉冲持续时间减少，则系统的误码率性能在多用户环境中会严重降级。
在Gao等人的文献中，使用了一种以高斯波形的一阶导数的线性组合作为基础函数设计超宽带脉冲的方式。Gao等人设计的这种设计脉冲方式在时跳二相相移键控（TH-BPSK）超宽带系统中有更好的误码率性能；然而，在最大脉冲功率进行传输时，FCC频谱掩模的频谱利用率不佳。Bai等人的文献中使用了调制（移位）高斯波形生成FCC掩膜适应脉冲的方式，与高斯或高斯导数脉冲方式相比，具有更好的与FCC掩模的频谱兼容性。Bai等人设计的脉冲方式需要更仔细地选择调制高斯脉冲并优化这些加性调制的高斯脉冲。Bai等人进一步设计的设计脉冲方式需要在硬件和软件上分别实现一组调制高斯脉冲及其有效组合，以获得适应FCC频谱的超宽带脉冲。
在Silva和De Campos的观点中，设计了一组使用Hermite函数作为基础正交脉冲的方式。席尔瓦和德坎波斯设计的正交脉冲适用于脉冲形状调制方式，与原始Hermite函数波形相比具有更好的频谱兼容性，但是，为了与FCC掩模兼容，还需要对这些脉冲进行改进。Kim等人在一项使用根升余弦脉冲和Gram-Schmidt多项式的研究中也设计了一种用于超宽带通信的正交脉冲，为了实现这种正交脉冲方式，Kim等人将第一根升余弦脉冲乘以正交的Gram-Schmidt多项式，然后通过QR分解完成正交化。
Yang等人设计了另一种通过使用可重构脉冲发生器的替代脉冲设计方法，用于光学超宽带通信。可重构脉冲是使用基本高斯导数和可编程光学滤波器生成的，Yang等人提出的脉冲具有更好的光谱兼容性并且鼓励使用可编程器件在光学领域中产生超宽带脉冲。在超宽带相关的文献中，还提到了通过chirp修正的chirp函数进行脉冲设计。但使用chirp功能设计脉冲的方式复杂，实现起来比较困难。Walsh和Zinc的基本函数也被用于超宽带脉冲设计；然而，这些函数在硬件系统中实现没有封闭的数学形式；因此，这种方式只能使用软件生成。Safatly等人讨论了使用Parks-McClellan算法，神经网络和用于超宽带认知无线电的可重构带阻滤波器的方式来进行脉冲设计。Parks-McClellan和神经网络脉冲成形技术基于合成和使用高阶滤波。在Safatly等人的文献中，可重构带阻技术需要高阶带阻滤波器；因此，Safatly中的脉冲整形方法实际上很复杂。
在先前的研究中，Norman等人讨论了用于超宽带通信的各种脉冲形状，并且在多用户环境中使用TH-BPSK和TH-PPM（时跳脉冲位置调制）调制信号评估了它们的性能。Beaulieu和Hu文献中推荐的设计脉冲是使用加窗余弦波形生成的。窗口函数是使用几个矩形窗口的卷积生成的。Beaulieu和Hu中设计的脉冲方式具有与高斯脉冲的六阶导数相同的性能（高斯脉冲的六阶导数满足FCC光谱掩模而没有任何修改）；然而，这种脉冲在频谱上效率很低。在进一步的研究中，Norman等人通过考虑FCC掩模的最宽平坦区域（3.1到10.6GHz频带）提出了余弦调制sinc脉冲方式，我们（作者）认为，与开窗余弦波形（Beaulieu和Hu）和高斯脉冲在多用户环境中的六阶导数相比，提出的余弦调制sinc脉冲（在Beaulieu和Hu中）具有更好的性能。在Chen等人的文章中，在多用户环境下完成了直接序列码分多址超宽带系统的脉冲波形相关的误码率分析，这表明归一化自相关平方函数应该尽量取最小值以获得更好的系统性能。在之前的研究中，提到过一种脉冲设计的凸优化方法，该方法使用有限脉冲响应滤波器来合成FCC兼容脉冲。Wu等人提出了一种方法可以用于单个或多个正交脉冲的设计；然而，对于高数据速率超宽带系统，这种方式对FCC频谱的利用效率和脉冲持续时间需要改进。在Lee等人的论文中，超宽带脉冲是利用Lee等人提出的仅有2个约束集的POCS方法实现的，并且所设计的脉冲对FCC掩模的频谱利用率非常低。在另一项研究中，Lee使用了POCS方法产生超宽带脉冲，这在理论上与Lee等人提出的用约束集产生脉冲类似。然而，在Lee和Lee的论文中，为了使脉冲零的直流（DC）值，POCS算法中没有包含约束集。而脉冲的直流分量不能从天线中辐射出去，超宽带收发天线具有脉冲差分效应，脉冲如果具有直流分量，会完全改变脉冲形状，而具有直流分量的脉冲也可以在自相关函数（ACF）中产生偏置，这在多用户环境中的相关器（匹配）接收器中是不希望看到的。文献如下：（1）使用Gaussian，Hermite和Prolate的脉冲设计方法球形函数需要与FCC频谱模板达到最佳兼容性；（2）基于有限脉冲响应的脉冲设计方法修改基本脉冲形状的频谱以适合FCC掩模；然而，需要进行多项试验，因为没有封闭的形式限制可用；（3）整个FCC频谱掩模在脉冲设计中很少被利用；（4）现有的方法很少能够产生FCC兼容脉冲，但由于其刚性，对于任何改进的掩模的脉冲设计也难以直接实施；（5）基于POCS的脉冲设计方法需要更多的约束集和更好的脉冲形状设计的独特框架；（6）少部分方法需要高采样率，增加了实施成本。
因此，在Lee和Lee设计的脉冲方式中需要对超宽带通信系统进行改进和分析，因为在约束集公式中没有充分使用先验信息。因此，本文利用POCS方法为脉冲设计制定了更多的约束集，并对所提出的设计脉冲进行了现状分析。为了得出这些结果，我们考虑了自相关函数性质和设计脉冲的误码率性能。通过修改约束集，脉冲设计方法也可以用于减轻窄带通信设备的干扰。因此，所提出的脉冲设计技术对于当前的FCC标准以及超宽带通信的未来规定是有效的。我们在本文中还表明，提出的这种脉冲设计方法可用于生成60GHz的超宽带脉冲形状，而无需修改算法的基本步骤。提出的这种POCS算法仅需要几次迭代来设计超宽带脉冲；因此复杂度低，易于在实际系统上实现。本文设计的脉冲充分利用基于超宽带特性的POCS算法的先验信息，需要较低的采样速率，并且对于FCC标准以外的其他标准具有最佳的FCC掩模兼容性和灵活性。本文的重点贡献如下：（1）提出的脉冲设计为超宽带系统生成高效的FCC兼容脉冲形状；（2）提出的脉冲设计方法灵活，可以根据任何现有的或未来的FCC掩模（如60-GHz通信）进行修改；（3）针对单一和多路径通信中的单用户和多用户环境的超宽带系统，执行所提出的设计脉冲的误码率性能分析并与文献中的其他现有脉冲进行比较。
本文的其余部分安排如下。第2节介绍常见的超宽带脉冲设计。第3节描述使用POCS算法的FCC兼容脉冲设计。第4节描述用于脉冲性能分析的TH-BPSK-超宽带信号模型，第5节讨论模拟结果。第6节提供结论性意见。
超宽带脉冲
对于超宽带通信，在文献中提出了各种脉冲形状，例如高斯，埃尔米特以及高斯和厄米特脉冲的线性组合。然而，高斯和厄米特脉冲不满足超宽带通信的FCC谱掩模。因此，为了将它们用于超宽带系统中的信息交换，在一项研究中描述了一种合适的基于过滤的方法。为了获得更好的系统性能，传输脉冲功率与FCC频谱掩模区域之间的比率接近于1。在Ghavami等人的文章中显示，与FCC频谱掩模的面积相比，高斯或厄米特脉冲的功率谱密度（PSD）的面积非常小。因此，这些脉冲不能充分利用功率约束通信的超宽带频谱。如果我们增加高斯脉冲的导数阶数，那么脉冲的频谱向更高的频率增加。高斯脉冲的高阶导数与调制高斯脉冲非常相似；因此，较高的衍生物（尤其是大于5）更适合于在没有任何滤波的情况下适合FCC频谱掩模。然而，它们的频谱利用率在超宽带通信中对于最大传输信号功率仍然很差。
例如，我们考虑Benedetto等人和Ghavami等人给出的高斯脉冲
， (1)
其中gamma;是时间缩放参数，A是幅度调整参数。我们已经使用仿真显示了六阶导数高斯脉冲的PSD下面的面积，(t)小于所提出的设计脉冲的面积，这表明设计的脉冲与FCC掩模在光谱上更加兼容。在超宽带文献中显示了在满足FCC频谱掩模的同时，六阶导数高斯脉冲比其他高斯脉冲导数表现更好。因此，我们选择了六阶导数高斯脉冲(t)与我们提出的设计脉冲进行比较。
在Beaulieu和Hu的观点中，提出将超宽带脉冲与高斯脉冲的六阶导数进行比较。Beaulieu和Hu提出的脉冲与高斯，埃尔米特和普拉特球形脉冲的衍生物相比具有更好的性能，并且在Beaulieu和Hu提出的具有FCC和噪声约束的多用户环境中提供脉冲。在Beaulieu和Hu中提出的Norman脉冲(t)可写为
(2)
其中B = 3.75GHz，fc = 6.85GHz是调制频率，并且sinc(·)函数给出为
(3)
在这次研究中，我们考虑了六阶导数高斯脉冲(t)，Norman脉冲(t)（在Beaulieu和Hu的论文中提出）和Lee脉冲(t)（在Lee的论文中提出），以便与所提出的POCS算法 FCC掩模的超宽带特性下的脉冲相比较。
使用POCS算法的超宽带脉冲
在本节中，我们引入了POCS算法，并基于关于超宽带特性的先验信息为脉冲设计制定了约束集。 POCS算法定义了一个系统的数值方法，用于找出闭合凸集约束集中的一个点。根据先验信息，很少的约束集，比如，，...，在Hilbert空间。每个集合是封闭的和凸的，它们的交集是非空的。 在集合上的正交投影由希尔伯特空间中的任意任意函数与集合之间的最小距离给出。 集上的投影被定义为
(4)
其中x(t)是希尔伯特空间(R)中的任意函数。集合在Hilbert空间中是封闭的和凸的; 因此，对每个集合存在唯一投影。迭代生成
, (5)
在Hilbert空间中的任意起点将弱地收敛到的点，并且方程5被称为POCS算法。对于超宽带脉冲设计，FCC掩模和超宽带脉冲的性质提供先验信息来制定约束集。 所提出的基于POCS的方法对于超宽带脉冲设计来说是灵活且最优的，因为可以根据新的FCC掩模重新设置集合。
在所提出的用于超宽带脉冲设计的POCS算法中，考虑了4个约束集。 还讨论了闭合和凸度的条件以及相应的约束集。 第一个约束集基于超宽带脉冲的PSD制定。 任意脉冲x(t)isin;(R)的自相关函数，被定义为
, (6)
其中是时滞。 脉冲的PSD，Sx()是的正向傅立叶变换。 集合被定义为
, (7)
其中D()是FCC频谱掩模。 集合是封闭的并且如Hu和Beaulieu中给出的那样是凸的，并且任何任意信号isin;(R)到集合上的投影被给定为
(8)
投影点PC1是和集合中的傅立叶逆变换。 通过的平方根的傅里叶逆变换获得集合中的时域脉冲。
第二个约束集用于限制脉冲的持续时间。 掩模D()具有尖角; 因此脉冲不受时间限制。 因此，我们制定了另一组
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