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基于LMS算法的自适应滤波器分析
摘要
本文主要讨论基于LMS算法的自适应滤波器的应用。首先介绍了闭环系统的自适应滤波器，包括干扰信号的消除、有用信号的预测和期望信号的逼近。采用LMS(最小均方)算法来满足输出信号与期望信号之间的最佳误差准则。而后提出了LMS算法的结构，并对LMS算法进行了仿真。仿真结果表明，LMS算法的收敛性能较好，输入信号可以收敛于预期的期望响应信号，从而达到良好的滤波效果。自适应滤波技术的应用，包括自适应线性滤波器对信道失配的修正、自适应均衡器对系统性能的改进，以及自适应陷波滤波器对频率信号的滤波。对自适应线性滤波器的分析表明，修正算法可以很好地修正信道不匹配问题。对自适应均衡器的分析表明，具有自适应均衡器的系统的错误率在没有自适应均衡器的情况下有显著的改善。错误率越小，信噪比越大，而错误率与多径损失的关系表明，当损失系数为0.5时，错误率最大。对自适应陷波滤波器的分析表明，自适应陷波滤波器可以有效地消除两种已知频率的干扰信号，滤波后的信号与相应的有用信号一致。
关键词：自适应滤波器；LMS算法；自适应线性滤波器；自适应均衡器；自适应陷波滤波器
1 滤波器基本原理介绍
滤波器是一种对输入的信号进行处理从中提取有用的输出信号的器件。常用的滤波器可分为三种：有限记忆的非递归型横向滤波器FIR(有限脉冲响应)滤波器、无限记忆的递归型滤波器IIR(无限脉冲响应)滤波器以及自适应滤波器。FIR滤波器可以设计为具有任意幅频特性和线性相位特性的系统，其设计目标是满足性能指标的滤波器系数要求，节省系统硬件资源。与FIR滤波器相比，在相同的幅频响应条件下，IIR滤波器具有更高的效率和较低的阶数。然而，IIR滤波器的缺点是非线性相位特性，这很大的限制了滤波器的应用范围。本文提出的FIR滤波器和IIR滤波器的理论基础是线性定常系统，这意味着FIR滤波器与IIR滤波器的结构设计和分析方法是相似的。总之，IIR滤波器适用于不考虑幅频特性和相位特性的条件；FIR滤波器适用于幅频特性不同于典型滤波器特性或线性相位特性的条件。
FIR滤波器和IIR滤波器的应用前提条件是输入信号和噪声的统计特性、系统的参数是已知的。也就是说，滤波器的通带，阻带，通带容差和阻带等性能指标是确定的。滤波器的设计目标是应该满足与时间无关的滤波器的性能指标。而在实际应用中，输入信号和噪声的统计特性等这些先验知识是难以预先知晓的，在这种未知的工作环境下，自适应滤波器可以大展身手，滤波器的性能指标可以用未知信号的估计值代替。为了分析基于LMS（最小均方）算法的自适应滤波器，应该引入自适应滤波器的原理和应用，并根据LMS算法的原理和结构给出基于统计实验方法的仿真结果。自适应滤波技术的应用通过引入三部分来展示：用于校正信道失配的自适应线性滤波器，用于改善系统性能的自适应均衡器，以及用于消除已知频率的干扰信号的自适应陷波滤波器。
2 自适应滤波器和LMS算法的基本原理
2.1 自适应滤波器的基本原理
2.1.1 闭环系统的自适应滤波器
自适应滤波器是一类可以通过自动跟踪外界环境的变化实时改变自身参数，以使自身的信号处理性能保持优异，最终实现最佳滤波的滤波器。自适应滤波器由根据不同应用环境而有不同结构形式的滤波器，及用来调整系统结构参数的自适应算法两部分组成。本文所研究的自适应滤波器的结构参数可根据输入信号的统计特性，通过LMS算法自动调整。本文主要研究闭环系统的FIR自适应滤波器，如图1所示。
n时刻的输出信号y(n)是经由FIR数字滤波器所生成的，与输入信号x(n)有关。在输出信号y(n)和期望响应信号t(n)的比较下，产生误差信号e(n)。根据FIR自适应滤波器和误差信号的最优准则，可以对滤波器参数进行自动修正。在测试输入信号的统计特性时，将FIR自适应滤波器的参数跟随外部环境的变化而自我调整的过程称为“学习过程”；当输入信号的统计特性未知时，对FIR自适应滤波器参数进行估计判定自我调整的过程称为“跟踪过程”。
2.1.2 自适应滤波器的应用
随着信号处理理论的发展，FIR自适应滤波器作为一种有价值的信号处理装置被广泛应用于消除干扰信号、预测有用信号和近似期望响应信号。
2.1.2.1 消除干扰信号
干扰信号消除原理图如图2所示，期望信号t(n)是有用信号s(n)和噪声信号N1(n)之和。N2(n)是与N1(n)相关的另一个噪声信号。自适应滤波器的参数通过输入信号的具体情况按照一定准则进行自动调整，以达到消除干扰信号的目的。即输出信号y(n)近似N1(n)的最优估计，误差信号e(n)近似于有用信号s(n)。
消除干扰信号有两种特殊的条件:
第一，当N2(n)与N1(n)相关时，系统可以实现干扰信号的消除。然而，很难消除与N2(n)无关的干扰信号，或对s(n)的叠加。
第二，当s(n)泄漏到自适应滤波器的输入端时，将消除有用信号的一部分，避免这种情况。
2.1.2.2 预测有用信号
有用信号预测的原理图如图3所示。自适应滤波器的输入信号是具有时滞的有用信号，预测滤波器的输出信号是具有时滞的有用信号的预测。
自适应预测的应用之一是窄带和宽带信号的分离。在预测滤波器的输入端加一个混合信号，可以表示为:
窄带的自相关系数比宽频带的自相关系数小。当延迟时间被设为kB lt; △lt; kN时，与是不相关的，与相关，因此可以得到以下方程：
和是最好的估计价值的和，分别。因此，可以将和分开来完成对有用信号的预测。
2.1.2.3 期望信号的近似值
期望信号近似的原理图如图4所示。自适应滤波器通过算法根据外部环境的变化来改变系统参数，自动调整权值以满足要求。即当激励源的频率分量不变时，系统噪声很小，自适应滤波器将成为未知系统的近似模型。
2.1.3 自适应算法
自适应滤波器由根据不同应用环境而有不同结构形式的滤波器，及用来调整系统结构参数的自适应算法两部分组成。自适应算法是一类可以根据输入、输出和原系统参数，按照一定的规则修改滤波参量，建立关于输入、输出和期望信号之间关系的函数关系。它的最终目的是满足估计信号与期望信号之间误差的最优准则，最优算法是适应准则的性能和结构的决定性因素。本文采用LMS（最小均方）算法作为求解最优问题的最优准则。
2.2 LMS算法
2.2.1 LMS算法基本原理
LMS算法是以最小均方为准则，维纳滤波为基准，在最速下降法的指引下，利用误差信号平方无偏估计均方误差的方法。LMS算法是由Widrow和Hoff在1960年提出的一种通过使用迭代运算，最终使滤波系数可以收敛到最优值得算法。LMS算法可以用下面的递归方程表示：
而对于步长因子为固定取值的LMS算法而言，步长因子和收敛速度存在着不可调和矛盾，步长因子mu;越大，收敛速度越快，代价是牺牲较大的稳态误差。因此，可以通过控制步长因子选取合适的值来调整LMS算法的性能。比如大mu;用于自适应初期加速收敛，在自适应后期用较小的mu;于算法收敛阶段来提高稳定性。
2.2.2 LMS算法结构
根据递归公式(4)，可以由循环迭代法通过由n 时刻的期望信号、输入信号计算滤波器的权值系数矢量估值，计算实际输出信号与误差信号，最终实现误差信号的最小均方值。
W(n 1)= W(n) 2mu;x(n)[t(n)minus;WH(n)X(n))* （5）
LMS算法结构流程图如图5所示。
整个权重值的更新算法包括2N个乘法运算、2N个加法运算、一个减法运算和N个移位操作。LMS算法是一个闭环系统，因此每个权重值的更新算法应该在相应的数据周期中完成。
2.2.3 基于统计实验方法的LMS算法仿真
统计实验方法是一种随机分析方法，对系统的动态特性进行测试，并通过计算机模拟的海量数据得出统计结果。问题解决的基本思路是建立一个相似的概率模型，然后进行统计抽样，最后将样本的估计值作为原始问题的近似解。统计实验法的理论基础是大数定律，其主要方法是随机变量的抽样分析。
通过仿真分析，可以直观地显示LMS算法。输入信号是合成信号，由正弦信号和白噪声信号合成。
其中s(n)为正弦信号，j(n)为高斯白噪声信号(平均值为零，功率为1)。高斯白噪声信号可以形成干扰消除系统。值得注意的是，LMS算法中没有任何时滞，因为高斯白噪声信号的相关函数是脉冲函数，当期望信号和输入信号存在时滞时，相关性就会消失。
仿真条件如表1所示。
仿真结果如图6所示。结果表明，LMS算法的收敛性能较好，输入信号可以收敛于期望信号(正弦信号或噪声信号)。此外，LMS算法的收敛速度和性能与滤波器的长度和阶跃因子的长度有很大关系。
3 自适应滤波技术的应用
本文中的自适应滤波技术的应用包括自适应线性滤波器对通道失配的校正，自适应均衡器对系统性能的改善以及自适应陷波滤波器对频率信号的滤波。
3.1 用于校正信道不匹配自适应线性滤波器
FIR滤波器是一种具有严格线性相位特性的自适应线性滤波器。我们在第2.2.3节给出了LMS算法的仿真分析，本节将对基于LMS算法的自适应线性滤波器进行信道失配校正。
在数字信号处理系统中，各信道的模拟处理单元的组成并不完全相同，这就导致了信道中频率响应的幅度和相位不一致。因此，有必要修正通道失配以获得后续处理的更高性能。
第k个通道的通道失配特性可以定义如下：
频率响应为H（jw）的频道可以表示如下：
H(jw)和是常数，因为通道失配与频率无关。输入信号可以看作是一般信号系统的平稳信号，而信道失配校正的主要问题归结于校正因子的确定，如式(9)所示。
本文分析了独立于频率响应的恒定信道不匹配问题，信道失配的修正模型如图7所示。
输入信号传输到参考信道和预测校正通道。参考信号与修正通道之间的均方差应趋向于最小值，而D(jw)C(jw)的值近似为1。
参考通道的延时Delta;应该弥补时间差异,这是由D(jw)C(jw)。为了同时校正振幅和相位因子，LMS算法的运算是一个复杂的运算，滤波器的长度为1。也就是说，一个复杂的权重可以实现振幅和相位的校正。
仿真结果如图8所示。
校正结果完美,当振幅范围是0~1.5，和相位范围是-75sim;75 度。也就是说，通过修正算法可以很好地纠正恒信道不匹配问题。
3.2 改进系统性能的自适应均衡器
由于通信信道的多径效应、信道带宽的限制以及无线数据通信系统信道特性的不完善，当数据通过信道时，不可避免地会出现符号间的干扰。自适应均衡器可以自动调整参数，适应信道特性的变化，消除干扰，提高通信质量[26-29]。
理论分析和实验结果表明，在数字通信系统中可调谐滤波器能够补偿系统特性，消除码间干扰。可调滤波器称为均衡器，自适应滤波器的主要实现方式为横向滤波器。采用自适应均衡器的系统模型如图9所示。
信号系统的传递函数可以表示如下：
传输滤波器和接收滤波器相互匹配，采用均衡器补偿信道失真。均衡器的传递函数应满足式(11)。
该滤波器用于补偿频率特性的畸变。抽样决策装置得到的解调输出样本是经过修改的样本。自适应滤波器根据一些算法不断调整输入信号的增益，以适应信道的随机变化，保持均衡器的最佳运行状态。从参数调整到收敛形成，系统的整个工作过程是均衡器算法和通信变化率的函数。均衡器应定期进行训练，消除符号间的干扰，并在均衡器接收新数据时根据相同的训练序列进行修改。训练序列是一些算法的期望信号。
自适应均衡器的LMS算法仿真条件如表2所示，系统与自适应均衡器的错误率对比图以及无自适应均衡器的系统如图10所示。
仿真结果表明，采用自适应均衡器的系统的错误率明显优于无自适应均衡器表1-3的系统。其错误率越小，信噪比越大。错误率与多径损失的关系表明，当损耗因子为0.5时，错误率最大，这意味着两个信号的传输路径处于最干扰的状态。仿真结果与理论分析结果吻合较好。
3.3 用于消除已知频率的干扰信号的自适应陷波滤波器
自适应陷波滤波器是另一种滤波器，它可以用于消除已知频率、未知相位和振幅的干扰信号。基于LMS算法的自适应陷波滤波器能够有效地消除已知频率的干扰信号。图11给出了自适应陷波滤波器的原理图。自适应陷波滤波器可以同时消除具有两种不同已知频率的信号。
x（t）是干扰信号的输入信号，自适应陷波滤波器用于消除两个不同已知频率（omega;1，omega;2）的干扰信号，s（t）是有用信号。 应用自适应LMS算法估计干扰信号（A1，A2）的幅度和（theta;1，theta;2）干扰信号的相位。 为了估计A1cos（omega;1t theta;1）的幅度和相位，使用两个正交单频信号（sin（omega;1t），sin（omega;2t））和对应的加权值（W1，W2）来合成估计的信号A1cosomega;1t theta;1）。 因此，具有两个不同已知频率的干扰信号可以通过四个通道参考信号有效地消除，这可以在图11中示出。具有两个不同已知频率的干扰信号可以通过估计的信号y = A1cos（omega;1t theta;1） A2cos（omega;2t theta;2），基于LMS算法的误差信号是没有干扰信号的有用信号。
自适应陷波滤波器的LMS算法仿真条件如表3所示。
自适应陷波滤波器的信号频率信号仿真曲线如图12 (a)所示;自适应陷波滤波器的随机信号仿真曲线如图12 (b)所示。
仿真结果表明，自适应陷波滤波器可以有效地消除两种已知频率的干扰信号。滤波后的信号与相应的有用信号一致。
4 结论
（1）引入了闭环系统的自适应滤波器，包括干扰信号的消除，有用信号的预测以及期望信
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