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微纳光锥的形状
摘要:提出了一种在不同长度热源作用下拉伸成形的光锥模型。简单假设忽略对流体力学技术的若干需要。结果表明，任何形状的锥体都可以制造。提出计算加热场长度变化来制造一个给定形状的光锥的步骤，并用它来指出如何制造一个理想绝热的锥体。提出了一种能实现模型预测的移动加热锥系统，并给出了一种适用于任意形状光锥的完整实用程序。
Ⅰ.前言
耦合器[1]和扩束器[2]等许多重要的光纤元器件都是基于单模光锥的。光锥是由光纤受热拉伸而成，两端通过锥形截面(“过渡区”)连接到未拉伸的光纤上，形成一个由窄的拉伸细丝(“锥腰”)组成的结构，如图1所示。从光学角度讲，锥度的变换改变了基谐模。从非锥形光纤的纤芯模到锥腰型光纤的包层模,这不过是光纤光锥许多应用程序的基础。然而，如果这种转变是伴随着基谐模中小的光损失,锥形过渡必须足够的平缓来满足每个点的绝热性标准[3],[4]。另一方面，最好过渡的时间尽可能短，使所产生的组成部分紧凑，不受环境退化的影响。满足某一特定绝热标准的光纤的最短光锥的理论上的形状已经被Love和Henry描述过了，这个长度比等效的正弦圆锥[4]要短得多。然而，目前还没有迹象表明如何在实践中制造出这种最佳的锥度
在可控的形状变换范围内光锥的形状也很重要;例如，通过弯折来生产微型设备(5)或传感器[6]，或通过缠绕来调整耦合器[7]。为了降低损耗，这些变形需要被锥形光纤的最窄部分尽可能完全吸收，而光在最窄部分被导引作用最强。因此，锥腰长而过渡短的锥形是首选。如果将光锥用作传感器，则需要考虑不同的形状。光锥形状也与光锥扩束器[2]的性能有关。因此，光锥的特殊形状非常重要。
未拉伸光纤 锥状过渡区 锥腰 锥状过渡区 未拉伸光纤
图1.图示指出光锥的结构
然而，据作者所知，还没有发表过如何控制锥体形状的完全描述。采用假设抛物线、正弦曲线、多项式或其它锥度剖面[3]、[4]、[8]、[9]的方法对光锥元件的光学性能进行了建模。这些圆锥形状是通过近似实测圆锥形状推导出来的，而不是通过分析圆锥形成的过程推导出来的。光纤在具有自身温度分布的热源中拉伸，得到什么样的锥度分布结果，这是流体力学中一个或多或少比较复杂的问题。Dewynne等人已经解决了这个问题，他们更感兴趣的是光纤扰动对最终锥体[10]的影响。然而，他们描述了一个简单的锥形模型，其中一个固定长度的圆柱形截面的光纤部分被加热到一个均匀的温度然后被拉伸。Eisenmann和Weidel[111]也描述了一个类似的模型，在这两种情况下都预测了指数锥形剖面，其尺寸仅取决于热区长度和锥形扩展。值得注意的是，除了基本的质量守恒，不需要任何关于流体力学的知识就能得到这个结果。
在这里，简单的分析扩展到包括加热区域的长度允许随着逐渐变细而变化的情况。这第一次导出了一个详细的步骤，通过这个步骤可以形成任何形状的锥体和任何长度的腰部。被加热的纤维截面总是圆柱形的，并且总是被加热到一个均匀的温度(因此给定一个均匀的粘度)，这一观点被保留了下来，因此仍然不需要流体力学技术。推导了任意给定的热区长度变化引起的锥体形状的表达式，给出了锥体形状反问题的解，并求出了产生该形状的热区变化量。通过实例说明了在标准单模光纤中制造最优绝热锥体所需的条件。最后，考虑了该模型在实际加工系统中对锥体形状预测的适用性，并给出了符合该模型假设的实际加工过程。这样就可以生产出任何形状的锥体。
本文主要是理论性的，只对锥体成形的力学过程进行了简化分析，而对锥体成形的力学过程至今了解甚少。利用这种分析方法对实际锥体的光学性能进行实验研究是有意义的，但只有先证明锥体形状的控制方法，才能进行实验研究。
Ⅱ.模型描述
专业术语
图1说明了用于描述全纤维锥度形状的量。假设圆锥是对称形成的(即，相对于热源的中心，锥体两端以相等和相反的速度被拉开)，因此这两个锥体转变是相同的，尽管分析可以很容易地扩展到拉拔速度不同的情况。非锥形光纤的半径为，且均匀的锥形腰围长度为（也可能为0）半径为。每个相同的锥度过渡都有一个长度和一个形状，该形状由一个逐渐减小的局部半径函数描述，其中z是纵坐标。z的原点在每个光纤光锥转变的开始处（P点代表图一中左侧的转变处）；因此r(0) =且r() = 。光纤的拉伸距离x是光纤被拉伸之后的净距离，等于当前距离PQ减去开始变细之前的距离PQ。通常情况下x随时间t变化取决于在制造过程中把锥体的两端分开的两个平移平台的相对速度。假设x是t的增函数；不考虑锥度压缩。所有这些量都适用于已完成的锥体，也适用于被拉长时锥体的瞬时状态。当拉锥完成并停止伸长时，最后的伸长量用表示。
模型
由图2可知，在光纤光锥伸长过程中的任意时刻t，对称放置的光锥腰长L(加热区AB)被均匀加热，为低粘度玻璃的可变形圆柱体。特定的温度和粘度值并不重要，尽管热玻璃被认为总是足够软，可以拉伸，而不是软到锥体在自己的重量下下垂。在热区外，玻璃是冷而坚固的。锥的两端被稳定地拉开，使热玻璃圆柱体在t 时刻拉伸，形成长度为L 的较窄的圆柱体AB。是在时间内拉伸扩展量的增加。热区的长度变为L 其中L 可能为负。当锥体被拉长时，被拉伸加热两端AA#39;和B#39;B离开热区而凝固，形成锥体过渡的新元素。仍在热区内的锥腰A#39;B#39;部分仍可变形，将进一步拉伸变窄。
L通过热源的适当控制而改变，可以任意改变。然而，为了使上述模型描述有效，L的变化受到两个约束：
第一个约束是显而易见的。第二种确保加热的玻璃总是圆柱形的，即加热区的长度不超过锥形过渡区。
可以看出，t时刻锥腰的瞬时长度为，等于当时的热区长度：
图2. (a) t时刻圆形锥体腰部示意图，其中AB部分受热均匀，（b）是相同的玻璃在稍晚时间t 的状态。AB被拉伸了一段距离形成较窄的圆柱形锥形腰，A#39;B#39;部分仍在加热。
因此，最终的腰部长度等于最终的热区长度(即，当伸长停止时)。除了这个相当简单的方程和不等式(1)中给出的L变化的条件外，模型的分析还基于两个基本方程。第一个来自于拉伸后的锥形腰部的质量守恒(以及由此产生的玻璃体积守恒)。因此t 时刻被拉伸的圆柱体AB的体积必须等于t时刻被加热过的玻璃圆柱体AB的体积
delta;是圆柱体半径的变化量且是负数。在极限状态delta;→0下，可视为常微分方程shy;体积定律shy;随着x的扩大腰区半径的改变。
L可以变化，一般可以看作是x的函数，因为x是时间t的增函数。
第二个基本方程将瞬时锥度过渡长度与锥度扩展量x联系起来。由图3可知，将锥形光纤的总长度PQ与初始长度PQ在t = 0时进行比较，得到“距离定律”
”
L可以是x的函数，而是它在x=0时的初值。现在，根据模型，在锥度过渡的一般点z局部半径r (z)等于该点被拉出加热区后的腰半径(x)。相应的伸长x(z)由 = z 时的距离定律给出
在这个表达式中，x具体是指z点被拉出热区时的伸展。这就是广义距离定律。这个方程的解x (z)取决于L随x的变化。因此可以通过体积定律将x(z)代入(x)来确定锥体r (z)。
图3.（a）光纤在t=0时刻开始变细。一段长度为的PQ被加热。（b）t时刻光纤逐渐变细。P和Q之间隔离一段距离x。PQ这段距离依然等于2 L。
体积定律的有效性不取决于锥体是否对称形成。另一方面，上述距离定律的表述是针对圆锥对称形成的情况而提出的。其他的锥度形成模式需要他们自己版本的距离定律，与左右z坐标的区别。注意，时间t在这两个定律中都没有显式地出现。因此，和L等相关量可以表示为x的函数，而不考虑延伸率或其任何变化，并且该模型预测锥体形状不依赖于延伸率。
在数学上，锥形光纤的形状（用，，和r(z)表示）之间的关系以及产生它的延伸条件（用和L(x)表示）完全由（2），（4），（6）决定，受（1）关于L变化的约束。这些方程的应用取决于手头的问题。现在考虑两种特殊情况。在正向问题中指定了伸长条件，得到的锥度形状是已知的;反向问题中，指定了特定的锥度形状，得到了产生锥度形状的条件。
Ⅲ.正向问题
L(x)和已经给出，，，和r(z)可以计算出来。L(x)必须满足条件(1)。锥形腰部的长度由(2)直接给出
腰锥半径随x的变化是由初始条件 = 下的体积定律得到的。
给出一般表达式
L(x)是已知的，能被找到，最终的腰锥半径是，距离定律(6)给出了将腰锥过度长度z作为x的函数
最终过渡区的长度就是。为了得到需要对(10)求倒数来得到。在函数L(x)特殊形式的基础上前者可以通过分析或者数值计算来实现。将带入(9)中的可以得到锥形函数
这样就得到了完整的锥度形状。
实例：恒热区：演示上述过程最简单的例子是L(x)是恒定常数
由(7)得 = ，由(9)得
最终的腰锥半径为由(10)给出
所以 = /2，x就只是z的函数x = 2z，代入(13)得到锥型剖面函数
一个指数衰减型函数。这是在其他地方(10)(11)发现的结果。
2）实例：线性变化热区：作为进一步的例子，考虑一个长度随锥度扩展线性变化的热区
其中a为常数，决定了热区变化和锥度伸长的相对速率。条件(1)需要ale;1，同时如果a是负数则需要le;/|a|满足这些要
资料编号：[3640]
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