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数字巴特沃斯滤波器混合的设计方法
摘要
本文提出了一种数字巴特沃斯滤波器的设计方法。该过程分别基于s面极点和z面零点的位置确定滤波器传递函数的分母和分子，并计算增益因子使用最大点归一化方法。相较于一些传统算法，通过直接获得滤波器更加简单且具有3 dB的频率。 这使得所提出的算法成为确定电子或通信系统频率响应的界限。而且该算法适用于高阶变换，这是一般极点配置技术的局限性。如下为所提出的方法用低通、高通、带通、带阻滤波器的设计实例。
1．介绍
有几种设计数字滤波器的方法，例如脉冲不变性和双线性变换[1]。的双线性变换已成为将滤波器从s平面转换为z平面的最有效方法之一。如今，已经针对特定的应用需求开发了各种设计程序。Pascal矩阵已在[2,3]中使用，以简化双线性变换。 Tseng [4]和Waterschoot [5]都使用零极点放置能够在z平面中设计双二阶滤波器的技术。在本文中，我们提出了一种混合方法，该方法结合了使用双线性变换和零极点放置技术，并采用最大点归一化（MPN）方法，以开发适用于巴特沃斯滤波器的简单设计程序。滤波器传递系数该方法设计的函数与通过双线性变换获得的函数相同。然而，所提出的基于3dB频率设计的算法比基于传统3dB频率设计方法的传统算法更简单。[1]中的阻带和通带频率。与[4,5]中的零极点放置技术不同，建议的过程是与高阶数字滤波器设计兼容。至于准确性，严格遵循最终滤波器的带宽所需的规格。
1.1. 滤波器的发展过程
有能对信号进行处理的装置我们都可以称之为滤波器。即可以对波进行过滤的器件就是滤波器。滤波器的应用非常的广泛在现代电子信息设备和各种类别的控制系统中，对于滤波器有极为广泛的用应；在现代几乎所有的电子设备中，应用的最多，技术最为繁杂的要数滤波器。滤波器的质量好坏直接影响了产品的功能，因此，世界各个国家对滤波器技术的研究和滤波器的生产都很重视。1917年德国和美国科学家都发明了LC滤波器，这使美国出现了世界上第一个多路复用系统[4]。20世纪50年代各种无源滤波器的技术越来越先进和成熟。从60年代开始由于科学技术的不断进步使计算机、集成开发工艺和材料的工业生产技术得到了长足的发展，从而使滤波器的技术发展迎来了新的局面，而且滤波器朝着小体积、低功率损耗、高精度、多样化功能、稳定可靠和超低价格的方向努力，其中小体积、多样化功能、高精度测量、质量可靠成为70年代以后的主要研究方向。随着科技的进步，有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种相关滤波器都得到了快速的发展，到70年代后期，前面几种滤波器已被科研人员研制出来并得到了广泛的应用。80年代，人们开始着手对各种新类型的滤波器进行研究和开发，致力于提高滤波器的性能并扩大其应用范围。90年代到现在人们的研究方向是对于滤波器的应用和开发研制等。但是，对于滤波器自身的研究仍在不间断的进行，努力提高其性能。50年代后期滤波器才开始在我国得到广泛使用，当时仅仅用于话路滤波与报路滤波方面。经过半个多世纪的进步发展，我国滤波器在开发、生产和使用等方面已接近国际发展水平，但是由于没有专门研制机构，集成工艺和材料生产工业就得不到很好的发展，因此，我们国家多种新型滤波器的研制与应用与国际技术水平相比还是有一段不小的差距。
1.2.滤波器的分类
从大的方面分，滤波器可以分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器由电阻，电容，电感，及由原器件构成；在实际生活中数字滤波器的使用的比较广泛。从实现方法上分，数字滤波器分为IIR和FIR，即无限冲激响应滤波器和有限冲激响应滤波器；其中IIR网络中有反馈回路，FIR网络中没有反馈回路[5]。
从小的方面分：
a. 按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。
b. 按所通过信号的频滤的范围可以分为高通滤波器、低通滤波器、带阻滤波器和带通滤波器四种。
高通滤波器：允许信号中的高频率信号分量通过，抑制低频率信号或直流分量。
低通滤波器：允许信号中的低频率信号或直流分量通过，抑制高频率信号分量。
带阻滤波器：抑制一定频率范围内的信号，允许该频率范围以外的信号通过。
带通滤波器：允许一定频率范围的信号通过，抑制低于或高于该频率范围的信号。
c. 按照使用的元器件可以分为无源滤波器和有源滤波器两种:
无源滤波器：由无源元件电阻、电感以及电容组成的滤波器是无源滤波器，其构成原理主要是利用电容和电感的电抗随着频率的变动而发生变化[6]。无源滤波器的特点主要是：有比较简单的电路，不需要直流电源，高性能；其主要缺点是：通带频率范围内的信号有能量损失，有很明显的负载效应，在使用过程中容易引起电磁感应现象，当电感比较大的情况下滤波器的体积和重量相应比较大，在低频率范围内不可以应用。
有源滤波器：使用无源器件(一般用R和C)和有源器件(如集成运算放大器）构成。有源滤波器主要特点是：通带频率范围内的信号没有能量损失，而且还可以进行放大，没有明显的负载效应，对于多级相联时之间的影响比较小，可以用级联方法组成高阶滤波器，而且滤波器的重量轻、体积小、不需要磁场进行屏蔽；其主要缺点是：有源器件的带宽在通带频率范围内受限制，要用直流电源进行供电，其在可靠性能方面比不上无源滤波器，在高电压、高频率、大功率的场合不建议使用。
2．设计方法
假设模拟低通巴特沃斯原型的N阶传递函数为
(1)
通过模拟域和数字域之间的映射，其相应的数字低通和高通滤波器形式
(2)
当N是偶整数的时候，。K不大于N/2.
在设计数字带通和带阻滤波器时，s在z中是二次方的，因此映射导致了2阶传输z中的函数由
（3）
当N是偶整数的时候，。
数字滤波器的传递函数可以分为增益因子和滤波器传递函数本身像是
（4）
则
（5）
设计过程可分为三个步骤：（i）利用双线性变换计算D（z）；（ii）在z平面上放置零点以确定N（z）；（iii）使用MPN方法计算增益G。
2.1分母的确定
图1示出了n阶巴特沃斯滤波器在s平面中的极点位置。用于低通、高通、带通和带阻滤波器，奥凡尼迪总结了基于极点{，，hellip;hellip;,,}在用s面计算各种数字滤波器的系数。在本节中，我们只考虑如何获得所需数字滤波器的分母。为了减少设计过程的复杂性，只需设置低通和带通滤波器，并对其进行了改进，使之适合带宽设计。在巴特沃斯滤波器中，高通和带阻滤波器可以与低通和带阻滤波器共享相同的分母-分别通过过滤器。
对于在采样率为Hz，工作的截止频率为3db的低通数字滤波器，其系数为双线性变换下的分母可以表示为
（6）
（7）
和
（8）
其中
（9）
图1 N阶巴特沃斯滤波器的s平面根位置
K的物理含义是s平面左半部分中的共轭极对数。 因此
（10）
如果N是偶数，则K=N/2; 如果N是奇数，则有K=(N-1)/2为共轭对和另外一个实值极点。
对于左右3dB拐角频率分别由和表示的带通滤波器，系数为双线性变换下的分母可以表示为
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
和
（16）
的计算与（10）式相同。 从（9）变为（17），该公式是对原始公式的修改。而不使用阻带和通带频率，，和以及所需的阻带和通带，如图2所示，我们只应用了具有3-dB衰减的转折频率来确定。 这样，= ， = ，并且 ，这导致将的计算从（9）修改为式
（17）
图2 通带范围为的带通数字滤波器的示例。 左阻带和右阻带。和是所需的通带和阻带衰减。
当、时，可以使用给定值和根据（17）计算参数c。 也可以用中心频率表示为
（18）
2.2分子的确定
0是分子多项式的根，可以使H（z）等于0（数字滤波器的最小幅度）的零值可以由它们在z平面中的位置决定，因此我们将展示如何放置四种滤波器的零点在其部分的适当位置。
由于连续时间低通巴特沃斯滤波器在处具有N阶零，因此映射后，上相应的数字滤波器在处具有N阶零。因此，数字低通滤波器的分子应为。
另一方面，数字高通滤波器的分子的形式为，因为N阶零
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