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从概率性到量子和经典力学
摘要
讨论了测量结果的概率描述及其对理解量子力学的影响。结果表明，量子力学的基本数学结构，如概率振幅，玻尔定律，不确定度关系，动量算符，概率密度，以及标量、矢势和反粒子可以从定义了的幂的均值的定义得到。量子力学的运动方程描述了粒子的空间位置和时间的关系，量子力学的运动方程有克莱因-戈登方程、薛定谔方程以及狄拉克方程，这些方程都是在相对论的基础上的。局部概率密度的极限情况得到经典力学的哈密顿-雅可比方程，本文还讨论了许多其他的粒子系统。
关键词:概率论;量子力学;经典力学
介绍
量子力学是最完整的物理理论之一。与此同时，介绍量子力学的标准方法。有时反直觉的假定有一个相当精确的数学，而不是物理性质，而假定的确切物理意义和他们的解释是继续研究的主题。在这种方法中，量子力学以一种不容易理解的奇特的悖论和现象出现，这并不令人满意，在我们看来，是时间(在制定量子力学基本原理的80年之后)，以更直接的测量方法来取代这种方法。只有这样的方法可以阐明物理意义。量子力学中的假设。我们可以说:量子理论不需要。“解释”——需要从测量的结果中推导出来。从这个意义上说，我们的方法可以被理解为量子力学标准解释的延伸和证明。
我们注意到，我们的方法与通常在物理中使用的方法不同:为了解释实验结果，我们引入了一些物理量和这些物理量的演化方程。然后，对这些方程的结果进行了研究，并与实验进行了比较。在我们的方法中，我们用概率的方式描述测量结果，并询问能够描述这种情况的数学仪器是什么。在此基础上，得到了除运动方程外的量子力学的基本数学结构。从概率描述的相对论不变性的要求中可以找到运动方程。
在本文中，我们不详细讨论测量过程，假设测量仪器测量的空间坐标和时间存在的。
也许最好的方法是从测量空间坐标和时间开始。本文给出了基本的数学模型。
量子力学的结构，如概率振幅、玻尔定律、不确定度关系、动量算符、概率密度，包括标量和矢量势和反粒子的规则，可以从空间坐标和时间的幂的平均值的定义推导出来，量子力学的运动方程,克莱因-戈登方程,Schrouml;谔方程和狄拉克方程得到从相对论不变性理论的要求。局部概率密度的极限情况得到经典力学的哈密顿-雅可比方程。多粒子系统在第15节讨论。
2、玻尔定律
物理测量是不完美的，在相同的实验条件下重复测量相同的数量会产生不同的结果。这种测量最简单的特征就是重复测量结果的平均值。这是下面讨论的出发点
对坐标x的重复测量结果可以用xn平均值来表示：
（2.1）
在整个空间中进行积分，是归一化的，即：
（2.2）
首先，我们对(1)式中的变量x进行分部积分，可得：
（2.3）
假设这个方程的第一项等于零，我们可以得到：
（2.4）
我们将证明这个简单的等式有显著的后果。这个方程可以用内积的形式重写。得到以下式子：
（2.5）
用通常的方式定义 ：
（2.6）
在这里，星号表示复杂的共轭，函数u和v可以用一般形式表示
（2.7）
（2.8）
其中是任意复杂的函数,将在下面讨论。根据（5）式，可以得到下面这种形式的方程：
（2.9）
此时
（2.10）
并且
（2.11）
现在，可以是任意的复杂的函数，将与积分，得到的结果和无关。现在，我们要求不等式(9)不包含一些抽象的量，但与的平均值有关。假设：
（2.12）
这些条件并不决定和之间的不确定关系。基于这种情况，我们也假设和也归一化。
（2.13）
也就是x的奇次幂的均值
（2.14）
然后，我们得到了概率密度和概率振幅之间的关系。
（2.15）
或者
（2.16）
任意实函数，s1的物理意义将稍后讨论
我们注意到=的积分;称之为费舍尔信息，玻尔定律=是和唯一的联系，=体现了玻尔定律的意义，和之间的其他关系，在这里，我们是忽略的。
3概率密度流
我们注意到，要描述物理系统，我们不仅要指明时空概率分布，还要说明时空的演化。这些信息可以被编码到概率振幅c的复数部分。在这里，我们可以像连续介质力学一样进行，不仅是密度，也包括密度流。
（1.17）
Vk代表速度分量，可以写成如下形式：
（1.18）
当S1=S1(r,t)时，我们可以得到的一个实函数
(1.19)
带入复杂的概率振幅（16）式时，我们有：
(1.20)
然而，概率密度流必须是实数。计算jk的实部，得到最终的表达式。
(1.21)
除了一个乘法因子，这个公式与量子力学已知的概率密度流的表达式相一致。复杂的概率振幅c是获得非零jk的必要条件。概率密度流依赖于算子。除了因子，这个算子与从量子力学中得到的动量算符是一致的。在与量子力学的规则一致的情况下，其中是一个真实的常数，产生相同的概率密度和概率密度电流。
4对易关系
现在我们返回到式子（4）对于n =0。使用玻尔定律(15)式，我们用包含概率振幅的形式重写式子(4)。
（1.22）
把这个方程乘以i得到方程。
（1.23）
或者是算子形式
（1.24）
这对易关系是式子（4）的一个直接后果。对于n =0和玻尔定律(15)式不需要假定。除了因子决定单位的选择，此交换关系与量子力学已知的坐标和动量算符的交换关系一致。
不确定相关关系
粒子的位置坐标x和动量的不确定关系可以以标准方式的对易关系式子(24)
或者,同样的,通过一个简单的计算
（25）
用表达式(10)和(25)带入不等式(9)得到不含的式子，形成了量子力学中的不确定关系
（26）
这个结果可以进一步推广。使用分部积分，并且使趋近于0，,同时满足条件x趋近于正无穷，式子(22)可以改写为下式
（27）
a和b是实数。从这个方程可以得到一个更一般的不确定关系形式
（28）
左手边的最小值为
（29）
并且
（30）
除了因子之外，最后两个方程给出的a和b的不确定关系与著名的海森堡 不确定性关系是一致的。同样，当n =0时，依据玻尔定律式子（15）它也可以从式子(4)
不确定关系是式子(1)的一般结果，并且必须出现在这类的任何概率理论中，包括量子力学。在不确定关系中出现了两个重要的量:坐标x和算子。类似的量，坐标x和动量算符也出现在量子力学中。
6 矢势
值得注意的是在式子(27)中，在b是一个实函数的情况下也是有效的;tTHORN;。这意味着可以来替换，表示对易关系的式子(24)和表示不确定关系的式子(28)可以有进一步的推广。因此，概率理论的一般结构仍然保留在任何实数函数f x中，在物理中，函数f x, f y和f z都可以。例如，对应于电磁矢势的不同分量A，有 Ax;Ay;Az乘以x的电荷q的粒子。除了和q，将矢量势A包含进量子理论中。我们还注意到，量子力学中的动能是分散的。
7 时间
时间可以像空间坐标一样被讨论；然而，也有一些重要的差异需要考虑。
假设对于波函数，有已知的初始条件，然后给出了测量结果的概率描述。因此，时间进化从给定的初始条件到后来(但未执行的)测量结果的相对概率是单向的。如果实际执行了这个测量，则必须用执行测量后的具体结果替换概率描述。它是量子力学中两种不同演化模式的基础:由演化方程描述的时间演化，如薛定谔方程和波函数的还原或坍缩。在本文中，我们对前一种情况感兴趣。关于后一种情况的讨论可以在参考文献中找到。
在标准量子力学中，概率振幅服从正态条件，在任何时间和积分上都是有效的。这种情况可以与自由粒子相比。对于一个自由粒子，将它的波函数进行平方后积分，得到的值是1，也就是说波函数是归一化的，对于时间来说，类似的方法不能用于两个原因。首先，这里我们不做对时间的积分，而是从t的初始条件到无穷大。第二，如果将波函数对空间进行积分，得到的结果趋于无穷，我们不能用式子（1）来定义平均时间，并与前面部分类似。由于这些原因，我们假设不仅是对空间坐标进行积分，还有对时间也要积分。
（31）
上式结果等于1，然后用空间坐标进行类比。用这种方法，我们就得到相应的对易和不确定关系并且引入标量。在讨论结束时，我们将假设概率密度随时间的变化而变化，通常情况概率密度在全空间的积分为1，并向标准量子力学过渡，使概率振幅正常化。
8概率密度流的时间分量
首先，我们用类似于（17）、（18）的方程来定义概率密度流的时间分量。
（32）
并得到类似于(21)的表达式
（33）
除了一个因子，这个量等于概率密度在时间上的分量。由已知的相对论量子力学，其中m0是静止质量。然后，通过与式子(23)的类比推导出方程。
（34）
你也可以在这个方程中引入一个真正的常数d。
（35）
时间的不确定关系可以写成类似于式(28)的形式。
ge;1/4 （36）
左边的最小值为。
（37）
d取而代之的是一个真正的函数，式(36)也是有效的
为了说明式(36)的物理意义，我们假设一个衰减的概率振幅与寿命
（38）
空间的概率振幅的一部分由概率密度的归一化。在本例中，由式子(36)-(37)我们可以得到
（39）
（40）
因此,不确定关系(36)式之间的关系，时间的平方和虚部的复杂频率的平方对不确定性关系有意义。
反粒子
与我们对时间方向的理解一致，我们假设直接的物理意义只有与整个空间的概率密度流的时间分量的非负值相对应的概率振幅。
(41)
如果这个量是负的，它的符号可以进行转换，由变为，改变相位s的符号和概率密度电流jk和jt。从式子(35)到d=的转换，是一个实函数，我们得到:
(42)
可以看出这个变换改变了的符号。
也可以对空间坐标进行类似的讨论。因此，转换为导致函数符号的变化。K=1,2,3时，可以求解和， U和作为标量和矢量的电磁势。因此，概率振幅和描述的粒子的电荷的符号不同，粒子和反粒子的存在符合概率理论的一般结构和时间的单向特征。
除了，这些结果与和一致，包括量子力学中的电磁势。这些代表不同物理场景的电势不会出现在概率振幅的变量中，并描述非量子化的经典场。
标准量子力学
现在，我们向标准量子力学过渡。在极限的情况下，将概率密度在全空间内积分，不考虑时间，可知概率密度是归一化的。与此同时，不确定性关系失去了其原有的意义，时间成为一个参数，而不是一个动态变量。这是时间和空间坐标在量子力学中的不同作用的第一个原因，第二个原因是算符出现在运动方程如薛定谔方程而且不代表一个独立的物理量。
值得注意的是，为了获得第2-9节的结果，不需要演化方程。因此，量子力学的数学形式主义的这一部分直接来自于测量结果的概率描述。同样有趣的是，普朗克常数没有出现在我们的讨论中，可以通过乘以（23）（24）式来得到，因此，普朗克常数决定了在测量和尺度上使用的单位，在这些单位中，测量的概率特征是重要的。
11运动方程
为了找到运动方程，我们需要相对论的相对论不变性。我们的方法类似于Frieden使用的basic语言。从极端物理信息原理出发的物理方程。
首先，我们注意到上面讨论的所有物理量都依赖于或它的第一个关于空间坐标和时间的导数。返回到第7-9节中使用的方案，我们可以使用c的第一个导数，并创建相对论不变量；
（43）
其中c为光速，而const是关于t，，的常数，是与时间有关的，并且是非负的。同样的结论也适用于，k =1;2;3然而，由于由于式子(43)必须对所有可能的情况都成立，我们可以得出这样的结论:constge;0。
12克莱因戈登方程
在式子(43)中，我们可以对所有变量进行分部积分
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