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锥形光纤的形状
摘要 - 提出了一种通过在不同长度的火焰中拉伸光纤形成的锥形光纤的模型。简单的假设避免了流体力学技术的任何需要。发现可以产生任何逐渐减小形状的锥形。描述了如何计算生产给定形状锥度所需的热区长度变化的过程，并用于指示如何制造最佳的绝热锥形。熔融拉锥系统能够实现模型的预测，因此提出了一个完整的实用程序，用于形成任何合理形状的锥形光纤。
1.介绍
许多重要的光纤部件，如定向耦合器和扩束器，都是基于单模锥形光纤。如图1所示：
图1 锥形光纤的结构，显示文中使用的术语。
通过加热拉伸光纤制成锥形光纤，形成包括中间窄，两边拉伸（“双锥光纤”）的结构，其每个末端通过锥形部分（“锥形过渡”）与未拉伸光纤连接在一起。从光学角度来看，锥形转换将原来的基本模式从非锥形光纤中的基模转变为锥形束腰中的包层模式，这是其许多应用的基础。然而，如果这种转换是伴随着来自基模的少量光损失，锥形转变的形状必须足够渐进以满足每个点处绝热的标准。另一方面，希望过渡越短越好，从而使所得到的部件紧凑且对环境变化不敏感。爱和亨利已经描述了满足特定光纤的绝热标准的最短锥度的理论形状，并且这显示出比等效的正弦锥度要短得多。但是，没有迹象表明如何在实践中制造出如此优化的锥度。
锥形的形状在锥形可控变形的情况下也很重要; 例如通过弯曲生产微型器件或传感器，或者通过扭曲来调谐耦合器。对于低损耗，这些变形需要尽可能完整地采用锥形光纤的最窄部分，其中光线被最强烈地引导。因此，优选具有狭长腰部但具有短过渡的锥形。如果要将锥形光纤用作传感器，则需要考虑不同的形状。锥形形状也与锥形扩束器的行为有关。锥形光纤特定形状的锥形因此非常重要。
然而，就作者的知识而言，尚未公布关于如何控制锥形形状的完整描述。通过假设抛物线，正弦，多项式或其他锥形轮廓来模拟锥形部件的光学性能。这些锥形形状已经通过近似测量的实际锥形形状而不是通过分析形成锥形的过程来推导出来。通过在特定的热源中拉伸光纤以及其自身的温度分布来找到特定锥形轮廓的问题在流体力学中是或多或少复杂的问题。 Dewynne等人解决了这个问题，他们更关心光纤扰动对合成锥度的影响。然而，他们确实描述了一种简单的锥形模型，其中将固定长度的圆柱形部分的纤维加热到均匀的温度并拉伸。 Eisenmann和Weidel也描述了类似的模型，并且在这两种情况下都预测了指数锥形轮廓，其尺寸仅取决于热区长度和锥形延伸。重要的是，除了基本质量守恒之外，还不需要关于流体力学的知识来获得这个结果。
这里简单分析扩展到包括加热区域的长度随着锥度的增加而变化的情况。这首次形成了一个详细的程序，通过该程序，可以形成任何形状的具有任意长度腰部的锥形。光纤部分被加热的想法始终是圆柱形的并且总是被加热到均匀的温度（并因此被赋予均匀的粘度），因此流体力学技术仍然不是必需的。由热区长度的任何给定变化导致的锥形形状的表达式被推导出来，如同给出锥形形状的逆问题的解决方案一样，并且将找到将产生这种形状的热区变化。这产生了用于制造任何合理形状的锥形的通用方法，并且通过示例描述了在标准单模光纤中制造最佳绝热锥形所需的条件。最后，考虑模型在预测实际制造系统中锥体形状方面的适用性，并描述符合模型假设的实际制造程序。因此可以生产具有任何所需形状的锥形光纤。
这篇论文主要是理论性的，并且只涉及对锥形机械变化过程的简化分析，这个过程迄今为止还不甚了解。借助这种分析产生的真实锥形的光学特性的实验研究是有意义的，但是只有在首先证实用于控制锥形的过程时才能进行。因此这里不考虑锥度的光学特性。
2. 模型说明
A.术语
图1显示了用于描述形状的量一个完整的光纤锥度。假定形成了锥形是对称的。（锥体的端部被拉开相对于热量中心相等且相反的速度源）以便这两个渐变过渡是相同的，虽然分析可以很容易地扩展到拉动的情况速度不同。非锥形光纤的半径是，并且均匀的锥形腰部长度为，（可以是零）和半径。每个相同的渐变过渡都有一个长度.以及局部半径减小所描述的形状函r（z）其中z是一个纵坐标。该每个渐变过渡开始时z的起点（点P代表图1中代表性的左手过渡）。于是r（0）=r0，r（）= 。锥形延伸是锥度被拉伸的距离 - 它是等于当前距离PQ减去之前刚开始的PQ距离。通常x的变化随着时间t的推移,由两者的相对速度直接确定平移阶段将拉锥的末端拉开确定。假定x是一个递增函数吨;不考虑锥度压缩。所有这些数量可以适用于完成的锥度，也适用于瞬时当它被拉长时，锥度的状态。最后的延伸表示锥度完成并且延长停止时由。
B.模型
图2.（a）时间t处的圆柱形锥腰部分的示意图，其中AB被均匀加热，和（b）略微相同的玻璃元件以后的时间t t。AB已经拉伸距离x形成一个较窄的圆柱形锥形腰部，其A#39;B#39;部分仍然被加热。
参照图2，在锥度伸长期间的任何时刻t，锥形腰部的对称放置长度L（“热区”AB）被均匀加热并且是一个可变形的圆柱体低粘度玻璃。特定的温度和粘度值是不重要的，虽然热玻璃总是假设要柔软到可以伸展，而不是柔软到锥形光纤足以在自身重量下垂。在热区之外玻璃冷而坚固。锥形的末端被稳定地拉动。这样在时间t t时圆柱热玻璃伸展到形成长度为L x的较窄圆柱玻璃AB,其中x是在时间间隔t期间的延伸增量。热区L可以在同一时间将长度改变为L L可以是是负面的。随着锥体拉长，末端AA#39;、B#39;B拉伸区的圆柱玻璃离开加热区并凝固，形成渐变过渡的新部分。锥形腰部的部分A#39;B#39;仍然在热区内保持可变形并将被进一步拉伸收窄.
L通过对热源宽度的适当控制而改变，并且可以任意改变。 然而，对于模型的上述描述是有效的，L的变化受到双重约束：
第一个约束条件是显而易见的。 第二个约束条件是确保玻璃的加热部分总是圆柱形的，即热区没有超过退回的锥形过渡。显然，锥形腰部时间t的瞬时长度等于热区长度在此时
因此最终的腰区长度等于最终的热区长度（即在延长停止时）。 除了这个简单的等式以及给定不等式的L变化条件之外，从模型得出的分析基于两个基本方程。 第一个来源于拉伸锥形腰部的质量守恒（因此也是玻璃体积）。因此，在时间t t拉伸的玻璃缸AB的容积必须等于容器的容积。在时间t加热玻璃柱AB
其中是圆柱半径的变化并且是负的。 在极限趋近于0的过程中，这可以被设置为给出微分方程 ，根据“体积法则” – 使用x控制腰部半径的变化。
L可以变化，并且通常可以认为是x的函数，因为x是时间t的递增函数。
图3 图（a）在开始渐变时t = 0时的光纤。 长度为的部分PQ被加热。 图（b）是在渐缩期间t时刻的光纤。 P和Q进一步分开距离x。 距离PQ也等于2 L
第二个基本方程将瞬时锥形过渡长度与锥形延伸x相关联。 从图3可以看出，比较锥形光纤的总长度PQ在t = 0时的初始距离PQ，我们得到了“距离公式”。
其中L可以是x的函数，其中是在x = 0处的初始值。现在，根据该模型，沿着锥形过渡的一般点z处的局部半径r（z）等于腰部半径 r（z），因为该点被拉出热区。扩展x（z）或对此事件的响应由距离定律给出， = z。
其中在该表达式中的x特别是点z从热区中拉出的延伸。 这是广义距离法则。该方程的解x（z）取决于L如何随x变化。因此，通过将此x（z）代入从体积定律中找到的z（w），可以确定锥形剖面r（z）。
体积法的有效性并不取决于是否锥度对称地形成。 另一方面，距离法的上述表述特定于锥形对称形成的情况。 其他锥度形成模式需要它们自己的距离法则，左右z坐标区分开来。 请注意，时间t没有明确出现在任何公式中。 因此，无论伸长率或其变化率如何，和L等相关量都可以表示为x的函数，并且该模型预测的锥形模型不会取决于伸长率。
在数学上，锥形光纤的形状（由, ，，和r（z）表示）和产生它的伸长条件之间的关系（由和L（x）表示） 完全由（2），（4）和（6）决定，受制于（1）关于L的变化的约束。这些等式的应用取决于当前的问题。现在考虑两种特殊情况。 这些是“正面问题”，其中规定了伸长条件并且要找到所得到的锥形形状，并且“逆向问题”，其中规定了特定的锥形形状并且要找到产生它的条件。
3正面问题
L(x)和x已经给出，, ，，和r（z）就可以求得到，L（x）必须满足条件公式（1）。从公式（2）直接给出锥腰的长度
腰围半径与x的变化是通过体积法公式（4）与初始条件得到的
给出一般的表达：
由于L（x）是已知的，因此可以求出，并且最终的腰围半径只是。 距离公式（6）给出锥度过渡长度z作为x的函数
最终的过渡长度是。为了得到r（z），有必要对公式（10）进行反函数处理来找到x（z）。这可以通过分析或数字来实现，具体取决于L（x）的特定功能形式。 然后通过将这个x（r）代入公式（9）得到
因此找到了完整的锥形。
1例子：
恒定热区：说明上述过程的最简单的例子是恒定的L（x）
因此，从公式（7）开始，。 然后由 等式（9）给出
最终腰围半径为。 距离公式（10）给出
所以作为z的函数的和x简单地是x = 2z。到公式（13）中的替代给出锥形轮廓函数
最后结果是衰减指数曲线。
2 例子
线性热区变化：作为进一步的例子，考虑长度随着锥度延伸线性变化的热区
其中是决定热区变化和锥度伸长的相对比率的常数。 条件（1）要求，并且还要求，如果是负数，则满足（7）给出
等式（9）变成
再次以最终腰围半径。 距离公式（10）给出
所以，并且x可以容易地表示为z的函数。 因此锥形轮廓功能是
一些具有线性变化热区的具体情况值得进一步考虑。 如果= -0.5，热区以锥形伸长率的一半收缩，则所得到的锥形轮廓是线性的
这是一种由于其简单性而受到很多理论注意的形状。如果= 0.5，则锥形过渡具有倒数曲线的形状。 在极限中作为趋近于0，公式（20）根据需要变成指数曲线（15）。 对于= 1，满足（1b）的极限情况，锥形过渡长度为零，非锥形纤维和锥形腰部之间存在突变连接。 在图4中绘出了一系列值的完整锥形形状，但是对应于相同的值和值，以及相同的最终腰半径。 给定和的值，特定的腰围长度由公式（17）规定。 请注意，值越大，腰围区域越长。 为了获得具有不同腰围的相同锥形轮廓，需要更复杂的L（x），其确定是相反问题的示例。
图4.对于相同的光纤半径,腰半径，和初始热区长度Lo，由热变换线性变化产生的计算锥形形状，但是对于一系列值。 =1腰围长度16，当= 0腰围长度为。
4.反向问题
在这种情况下，给出了所需的锥形（由, ，，和r（z）定义，其中，），L（x）和是必需的。 这个问题的解决方案比正向问题的解决方案简单。体积的规律可以给予解释
是未知的，但通过区分距离公式（6）可以写成
代入公式（22）给出L的一阶线性微分方程作为r的函数，其中是已知函数，因为r（z）是给定的
对于z=0，初始条件r=，L=，这个方程可以积分
其中L（z）是z点从热区拉出的热区长度。还未知，但可以通过在处估计式（25）来确定，因为给出。 因此式（25）变成
L（z）现在完全已知，所以距离公式（6）给出x作为z的已知函数
这个函数反过来给出z（x），再一次，这可以通过分析或数值来完成，这取决于r（z）的函数形式。 L（x）再跟着距离法公式
最后，根据的距离定律求出
使用（27）中的z（x）和（26）中的L（z）求解的方程（28）和（29）构成了相反问题的完全解。
A.对L的约束
应该考虑对L的限制。 使用（26），条件（1a）要求
由于右边是z的递增函数，并且在处具有最大值零，所以条件变为
因此（1a）总是满足的，因为寻求制造具有负腰长度的锥形是无意义的。
条件（1b）也必须考虑。 距离法可以区分出
使用衍生物的链式规则。 因此，体积法提供了
由于r和L总是正数量，所以（1b）变为
也就是说，转变中的局部锥形半径随z减小。 这是任何“合理的”所需渐变过渡都能满足的条件。 因此，如果预先指定的锥形形状合理，则条件（1）自动地得到满足，并且任何这种锥形可以通过适当地改变热区长度来产生。
B. 最佳绝热锥度
作为相反问题的一个例子，考虑了满足绝热准则的最短锥度的制造。在执行上述程序之前，最佳锥度的形状r（z）首先由绝热准则计算
其中和分别是基波（）模式和功率最有可能丢失的模式（模式）的转换中的局部传播常数。 通过引入因子f，将不等式（35）转换为微分方程，该因子指定公式（35）的左边应该比右边少多少，并且通过写，因为r（z）是递减函数。这就有：
其中和是作为r的函数计算（数值）的，因为z处的局部波导由局部包层半径r确定。 在z = 0时的初始条件r =时，该方程的解是
由此可以数值计算所需的反函数r（z）。 对于标准光纤（纤芯直径为10mu;m，包层直径为125mu;m，截止波长为1200n
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