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基于Thue-Morse序列的准周期光子晶体的双稳态和固定隙孤子
摘要：
本文研究基于Thue-Morse序列的准周期光子晶体的非线性性质。这些奇数维的一维结构的内在不对称性导致对传播方向敏感的双稳态阈值。随着完美传播的共振，该特性允许获得强烈不可逆的传播并创建一个全光二极管。比较两种方案的效率：当向系统施加额外的短泵浦信号时，被动和有效。准周期光子晶体中的固定间隙孤子的存在以数值方式显示，并且与Bragg情况的差异被强调。
关键词：准晶体、多层、双稳态、间隙孤子
- 引言
准周期光子晶体（QPCs）是确定性的产生具有折射率非周期调制的介电结构，它们代表随机介质和传统周期性光子晶体之间的中间阶段，由于短程无序和因长程相关性而导致的带隙的存在，有效地结合了定位特性。
在一维情况下，准周期光子晶体可以根据替代序列（Fibonacci、Thue-Morse、Rudin-Shapiro、Cantor等）通过堆叠集中不同类型的介电层而形成。Fibonacci序列是特别重要的，因为它导致在结构的空间谱中存在两个不可比较的周期。这种性质对于满足非线性光学匹配条件，特别是三次谐波生成过程非常有价值。然而，还有许多其他类的准晶体，这可以证明其对潜在的应用是有用的。在这项工作中，考虑了Thue-Morse(ThM)序列的非线性特性，重点是双稳态和全光开关。我们展示了如何应用他们来实现强非线性传播，并创建一个非线性二极管。
- Thue-Morse序列
需要两种类型的任意介电层来制造ThM准晶体。用字母A和B表示，它们应当按照与以下膨胀规则相一致的ThM序列相同的方式排列：AAB,BBA.因此，从被定义为第0代的ThM准晶体的单层S0=A开始，得到S1=AB,S2=ABBA,S3=ABBABAAB等，每个步骤给出代数序列增加1（图1）。从这个定义可以看出一个附加的重复关系，它将ThM序列看作单个块：。在这个符号中，表示与共轭的序列，其中所有的字母都如规则AB一样互换。
这种光子结构的线性透射光谱显示具有许多显著的特性。首先，它展示了传播的分形性质，随着代数的增加，谐振的自相似性和特征三叉变得明显。其次，对于切换应用也是更重要的，几乎所有这些谐振都是完美的（100%）传输，而不管它的代数（图2）。有趣的是，就膨胀规则而言，ThM和Bragg序列之间只有轻微的差异。也就是说，对于后面一种情况，它们采取的形式是AAB,BAB，或被写成递归关系：。然而，这种微小的差异导致了完全不同的透射和定位性质。
图1
图1（a）对于ThM序列来说，其膨胀规则为AAB,BBA.凹口附近的数字表示具有相应代数的序列的正确边界。（b）在ThM7准晶体的谐振频率（）之一处的场分布，证明了ThM3序列的自相似图案。频率对应于在0.7m处获得的四分之一波长条件。所用材料的线性折射率为（聚二乙炔9-BCMU）和（金红石）。背景显示出结构内部的层的交替。
图2
图2（a）对于具有与图1中相同参数集合的ThM7准晶体，线性透射光谱作为归一化频率的函数。重叠图显示了当代数从3增加到7（见右侧的垂直轴）时谐振的三次谐波。（b）以对数刻度绘制的相同光谱，其强调带隙区域的位置及其相对强度。
- 谐振双稳态和折叠
应用传输矩阵法计算共振频率下的透射光谱和场分布。场分布概况中的自相似度取决于特定共振首次出现时的代数，并且对于属于以下系列的归一化频率而言是最大的：对于图1中使用的具体参数，这里=0.512082.然而，这些频率的定位强度相对较小，这意味着非线性响应不能显著提高。为此，位于伪带隙边缘附近的谐振更为合适。
考虑了克尔（立方）非线性的情况，因此对于每种类型的层需要额外考虑非线性折射率。这就导致强度依赖的自相位调制，其能够使谐振频率移动。该偏移的方向由克尔系数的符号决定，并且可以在弯曲成带隙区域的频谱中找到这样的共振。（图3）
图3
图3（a和b）是具有与图1相同参数集合的线性ThM7结构的几个共振频率（分别为）的电场分布。背景示出了结构内部的层的交替。（c）是在归一化频率（）下的传输迟滞。所使用的非线性克尔系数为,.前向（蓝色固体）和后向（红点）入射的切换阈值不同。垂直栅格线对应于向前入射的情况下向上跃迁的强度（）和向下跃迁（）的强度。（d和e）是固定输入强度分别为时的非线性透射光谱。除了前向（蓝色固体）和向后（红色点）入射的非线性透射光谱之外，还显示了线性透射光谱（灰色固体）。（为了解释这个图例中的颜色参考，读者参考本文的网页版本。）
ThM序列给出的优点是对于奇数代数，相应的光子结构本质上是不对称的，并且非线性能够使传输对传播方向敏感。在非线性Bragg结构中完全不存在该特征，其中向左和向右入射的滞后曲线相同。虽然在线性光学的框架中可以实现类似的不可逆行为，但它需要利用具有外部施加的静态磁场的磁光介质或注入胆甾型液晶的手性介质。
场剖面中的自相似性水平也与在特定共振附近观察到的滞后类型有关。如果结构内存在几个独立的本地化中心，它们之间的相互作用就会产生多重性。这主要与以下事实有关：更高代数的ThM结构可以分解成较低代数的结构。因此，为了以纯粹的形式列出特定的滞后，必须检查前几代不会发生相应的共振。图3（a和b）显示了两个特征实例。第一种情况（图3a）对应于场分布中没有自相似性的共振，而在第二种情况中（图3b），可以区分两个独立的定位中心。请注意，与Bragg结构类似，两种情况下的电场最大值主要位于一种类型的层中，因此只能使用一种非线性材料。
由于折射率的典型非线性变化非常小，可以应用扰动理论来导出公式：，其将围绕一些谐振频率的透射率T定义为输出强度以及与频率失谐的函数。指定谐振所需的参数是其频率，光谱宽度和特征强度。
在系统中单个狄拉克三角形非线性层的情况下，该公式与先前研究的精确解析解一致。然而，考虑到分布非线性引起了一个新的特征：如果结构在空间上不对称，则特征强度可以取决于入射方向。由于该公式等效于第三功率的多项式，因此通过定义不能描述具有多重性的谐振，但是它给出了具有严格双稳态响应（图3c）和小输入强度的谐振的良好近似（图3d）。随着强度的增加，协议变得更差，谐振不仅发生频率便宜，而且他们的最大传输降低（图3e）。
- 光二极管的作用
双稳态阈值的差异可能很小，但它为单向传播创造了有利的条件，此案次这种结构可以用作全光二极管。与电子电路蕾西，当需要抑制一个方向的光流或避免由不想要的反射引起的问题时，这些装置是必不可少的。已经提出并实现了各种类型的光二极管，其可以在线性和非线性系统中工作。确定该装置的效率的主要品质因素是沿着前向和后向方向的传输之间的对比度.由于该期间可以根据传播方向在两个不同的滞后分支上工作，因此在ThM准晶体中可能非常大。
可以使用向上跃迁（）和向下跃迁的强度来实现强烈的非互易传输。在前一种情况下，该方案工作在被动模式，但传输的最大值有限；在后一种情况下，传输可能几乎完美，但是该方案需要额外的短泵浦信号，以便切换到更高的稳定的滞后分支。
应用FDTD方法来证明时域的切换动力学（图4）。为了在多层结构的情况下保持Yee方案的二阶准确性，使用与层之间的边界对其的电场节点的不均匀的空间网格。由于结构可以积累和释放能量，反射和透射强度的总和不一定会给出时间。改约束仅在顺泰动力学结束后才有效。
图4
图4.对于无源（a和b）和有源（c和d）方案，以归一化频率作为光二极管的非线性ThM7结构的数值模拟。在后一种情况下，应用附加的短泵浦信号以便于切换。作为时间的函数给出入射强度（灰色固体），反射（红点）和透射（蓝色虚线）信号。图的上半部分是指前向入射（a和c），下一个对应于向后的入射（b和d）。（为了解释这个图例中的颜色参考，读者参考本文的网页版本。）
首先调查无源方案。在这种情况下，输入强度应该被设置为对于向前方向的向上切换足够大的值，但是同时小于相反的反向值（图3c）。然而，这些阈值对于强度在时间上绝对变化的信号是有意义的。信号的陡度可以使决定是否发生切换的第二个因素。事实上，在无源方案中使用陡峭的信号是有利的，不仅因为它增加了器件的工作速度，而且因为它迫使二极管在更有利的滞后曲线上工作。我们发现即使在的情况下也可观察到切换，只要入射信号的切换持续时间（当它从零变化到恒定的强度）被缩短到0.5ps。所获得的最大透射率为，对比度为C=8.8，这与假设的无源方案的公式（1）中的的理论极限相当接近。
为了演示二极管在有源方案中的工作，输入强度设置在向上的下切换阈值，确保在该方向上几乎100%的传播，而在相反方向由于伪带隙，传输将被强烈抑制。实现的对比度为C=23.7，但原则上没有限制。该方案的主要缺点是需要通过添加辅助泵浦信号或暂时增加输入强度来迫使系统切换到之后的上部分支。
- 固定间隙孤子
除了谐振的折叠之外，克尔非线性也可能导致孤子的存在。即使由无色介质组成的多层结构的大群体速度色散也可能通过克尔非线性来补偿，从而防止信号的扩展。已经对Bragg结构的情况详细研究了这些物体的性质，并且表明它们不仅可以存在于通带（布拉格孤子）中，而且可以存在于带隙（间隙孤子）中。耦合到间隙孤子的入射辐射可以通过结构传送，即使在带隙的正中心也没有强度变化。
已经进行了许多尝试以在准周期晶格中找到类似的间隙孤子。已经证实准周期孤子确实存在于具有折射率分布的光学晶格中，该折射率分布由不可比期间的两个余弦函数描述。另一个特殊情况是考虑准周期性结构，其中非线性由增量函数或所谓的非线性狄拉克梳状晶格建模，对于非线性层（纵向）宽度有限的结构，只有斐波那契序列才发现间隙孤子。然而，在这项工作中使用了一个显著的简化，因为仅考虑了几个主要的空间傅里叶频谱峰。特别地，这一假设不能应用于奇异连续空间谱为特征的ThM序列。
在对ThM结构的伪带隙进行扫描时，确定了几个固定间隙孤子系列（图5）。它们在轮廓图上看起来像L形曲线，并且在所有点具有相似的电场分布。与布拉格情况相反，这些固定间隙孤子与任何线性共振无关，尽管它们存在于整个带隙区域，从而形成一个通带到另一个通带的一种桥梁。此外，它们的场分布在一定程度上继承了底层结构的准周期性。这些孤子的存在的最佳条件是当非线性有效地平坦化层之间的折射率的对比度。换句话说，具有较低（较高）线性折射率的材料应具有正（负）克尔系数。
图5
图5.作为Bragg7（a）和ThM8结构（c）的归一化频率和发射波的振幅的函数的非线性传输。固定间隙孤子倾向于组合成具有相似场分布的集合，并且对应于带隙区域的L形曲线。这些固定孤子的场分布继承了基础结构的周期性（b）或准周期性（d）。
从数字的角度来看，应该注意的是，非线性传递矩阵法对于处理间隙孤子典型的折射率的陡峭调制是无效的。最好通过将它们重写为普通微分方程的系统并应用自适应Runge-Kutta方法或类似的方法来求解初始值问题来直接求解每个非线性层内的麦克斯韦方程。
- 总结
本文研究了基于ThM序列的准周期光子晶体（QPCs）的非线性特性。结果显示这些奇数代数结构的空间不对称性与克尔非线性之间的相互作用可以使切换阈值对传播方向敏感。强调自相似性的作用来解释在特定谐振附近观察到的滞后曲线的形状，并且制定了实现高度非互逆传播所必需的条件。FDTD模拟用于确认非线性转移方法获得的结果，并显示了ThM结构如何在无源和有源模式下作为光二极管工作。对于各层宽度有限的ThM结构，以数值的形式来显示其固定间隙的孤子的确存在。
- 致谢
这项工作得到了得过马克斯·普朗克科学促进会（MPG）的支持。
- 参考文献
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