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Leggett-Garg不等式
1.简介
将量子力学推广到我们日常生活中的物品的尺度，一个不可避免的结果就是得到我们所期待的宏观相干性，大量原子组成的物体在宏观的量子叠加中存在着迥然不同的状态。薛定谔的猫，同时处于死和活的状态，是宏观相干的具象表现。毋庸置疑，这种情况与我们每天用直觉感知到的宏观世界的运作规律完全相反。
Leggett和Garg在1985年发表的文章里提到他们研究的兴趣在于，是否能够在实验中实现宏观相干态，如果可以，怎么证明它的存在。他们研究这个课题通过首次提出我们的直觉关于宏观世界的两个原则：A1宏观现实主义（MR）和A2非破坏性测量（NIM）。宏观现实主义表明了对一个宏观系统的测量揭示了一个定义明确的已存在的值（在他们的文章里给出了肯定的答案）；非破坏性测量表明，原则上我们可以测量这个值而不影响到系统。同时经典力学理论完全符合这些假设，而量子力学显然不符合，宏观叠加的存在违背了第一条，量子力学里测量的塌缩违背了第二条。
基于这些假设，Leggett和Garg接着又导出了一系列不等式，是所有系统表现和宏观直觉应该遵循的。这些就是Leggett-Garg不等式，即这篇文章的主题。可以表明的是一系列对系统的测量违背了LG不等式，那么以上的假设中的一个就是无效的而且对系统的宏观直觉理解应该被抛弃。这样的话，LG不懂呢过是提供了一个证明宏观相干性存在的方法，并且测试当我们从微观向宏观扩大时量子力学的适用范围。
最简单的LG不等式介绍如下。我们假定可以用两个宏观值来定义一个系统，并且可以得到在两个不同时间下测量时的相关函数。然后我们在不同的时间对下进行三种实验测量三种不同的相关函数。假设A1和A2表明了存在一个联合概率分布来描述这三个实验。于是有
（1）
考虑两级系统在的两个态下相关振荡的这样一个量子模型，很容易知道量子力学违背了这一不等式因为在两级系统下其最大值为3/2。LG不等式与贝尔不等式有着亲密的联系，它们有着一样的结构。但是贝尔不等式考虑的是不同空间系统的测量之间的相关性，而在LG不等式里，区分不同的测量的是不同的时间。因此LG不等式也经常被称为时间域上的贝尔不等式。这两个不等式都在宏观现实中被证明，但是为了获得能检测到在量子力学领域中产生违背的不等式，宏观现实在贝尔不等式中与局域性相结合，在LG不等式中与非破坏性测量相结合。形式上，非破坏性测量和局域性在各自的不等式中起着相似的作用。
Leggett和Garg最初提出一个射频超导量子干涉仪量子比特作为检验他们不等式的最有前景的系统，这个提议随后被Tesche进一步提炼。25年之后，Palacious-Laloy和他的同事们宣称他们第一次测量到了LG不等式的违背。他们的实验和Leggett-Garg所提出的方案有几点不同，例如实验中的超导量子比特处于传输类型，测量方法是连续的弱性测量而不是间断的投影测量。但是，虽然如此，他们实验的精髓还是和Leggett-Garg所提出的一样。Palacious-Laloy等人发现他们的量子比特违背了LG不等式，虽然对于一个单数据点来说，结论显示他们的系统不满足现实主义和非侵袭性测量的描述。宏观现实主义消亡的信号始于一个评论者提出“月亮不存在”来反驳宏观现实主义，通常也和爱因斯坦的说法“就算我不看它，月亮还是会在那”相联系起来。
他们的实验依据大量的关于LG不等式检验的文献，在几年之内，LG不等式的违背在大量的不同物理系统中实现并报导出来，例如在光子系统中，中央缺陷的金刚石中，核磁共振系统中，掺磷硅片中，以及毫米尺度的掺钕钒酸钇晶体中。在超导设备中的LG不等式检验近期又被重新提出。图表1概括地给出了已经实现了LG不等式检验的不同的实验系统。
现在我们还是很难把这些研究称为宏观上的。确实，就算是文献11里宏观尺度上的量子比特，随后也被证明实际上违背了LG不等式的态并不是宏观可分辨的。不过，微观系统（事实上应该说是微观实在或仅仅是实在测试）中LG不等式的违背是有很多看点的。如果我们跟随Leggett和Garg去追寻真正的宏观纠缠，那么如今的实验便可以视作推广至宏观物体的至关重要的一步。我们可以知道，LG不等式有很多至关重要的方面，同时也有很多的困难使他们的实验一点都不直白，即使是在微观系统中。例如，除了文献30、31之外，所有的LG不等式检验数据目前为止都有一个粗略的漏洞，就是LG不等式的违背可以归结于测量时产生的未知的影响，而不是系统的非破坏性测量的描述。如果不去找出这个漏洞，那么一个热诚的宏观现实主义者可以忽视这些实验对他的世界观的挑战。解决这些微观系统中的问题将会提高我们达到真实的宏观水平的机会。
另外，LG不等式在微观系统中的看点是由自身因素引起的。其中一个原因是LG不等式的违背与系统在测量下的运行有密切的关系。因此，对测量方法的探究是如今实验的主题。此外，如今实验研究的对象都是好量子比特，然而很多情况下我们不能明确的给出一个系统遵循量子力学规律的范围。如果你认为古典概率的可选择性是量子力学的，那么LG不等式提供了一个辨明非量子的指标。LG不等式作为这样一个指标如今已经扩展到很多领域的研究中，例在量子基态附近的量子运输，光电子器件，纳米器件的研发，甚至在生物学上的应用。其中也有很多科学家在研究LG不等式违背与量子计算的执行能力之间的联系。
LG不等式的价值在于它提供了一个定量标准去划定经典与量子物理之间的那条界限。特别的，Kofler和Brukner利用LG不等式去研究对量子的粗略测量时导致经典世界的出现这个问题。LG不等式，独立于宏观实在性问题，量子力学中空间和时间相关之间的联系与区别仍然是讨论的中心。
这篇综述的目的在于简要介绍一下LG不等式同时讨论一下LG不等式最近的研究进展。在第2章我们会讨论一些不同表现形式的LG不等式，包括它们的来历，它们背后的假设以及它们的扩展。我们将在第3章讨论LG不等式的违背以量子比特为例，以此来理解很多的实验结果。第4章考虑了弱测量下的LG不等式。第5至8章讨论许多不同的LG不等式实验，包括在超导量子比特，核自旋，光与物质交流以及纯光学领域。第9到11章我们讨论在量子运输，量子效率和纳米尺度系统中理论上的提案。在第12章我们介绍LG不等式的相关贡献，然后第13章来总结。
2.形式体系
我们从讨论LG不等式背后的假设及其它们的含义来开始这一章节。然后我们给出公式1的明确的证据并且把此不等式划分到一系列LG不等式里。最后我们讨论稳定性，“时间上的纠缠”和LG不等式的熵。
2.1 假设
Leggett和Garg工作的关键部分在于编纂了法则，关于大部分物理学家如何直观的期望宏观物体遵循小部分原则或假设。从文献2中直接引用这些原则为：
（A1）宏观实在性：一个宏观系统有两个或者更多宏观可分辨的状态，则在任意的时间上这个系统会处于这些状态中的其中某一个确定的状态。
（A2）宏观水平上的非破坏测量：原则上，我们可以测量确定一个系统的状态而对其随后的动力学演化产生无限小的扰动。
在最近越来越多的关于LG不等式的报告中，经常会详细描述第三个假设：
（A3）感应：对一个系统状态的测量不会对之后的测量结果造成影响。
这些原则结合到一起被称为经典性，或者更令人迷惑的说法，假设1的更广义的宏观实在性特别地表示每时每刻的宏观实在。我们应该避免这些方面明确地查阅到上述假设而避免困惑。在这些理论下，薛定谔的猫在任意时刻的状态不是死就是活，而且这些可能性可以被明确探测到，而这个测量不会影响未来的测量，也不会受原来的测量影响。假设A1到A3与我们对经典物体的直观感觉是一致的，但是和量子力学是冲突的。
LG不等式的引出依靠的是假设A3，是我们对所处自然世界最直观的认识。这个假设反应了最基础的因果和时间流动观念，但是它仍然不是我们探索LG不等式违背的来源的最重要的挑战（但是文献53对这个观点提出了反对意见）。
考虑假设A1，Peres说，有多少人就有多少对实在性的定义，所以我们不打算在这讨论这个主题。上面关于宏观实在性的定义依赖于“宏观可分辨状态”这个概念。我们稍后再来讨论这个问题，等我们遇到特殊的例子的时候。Maroney提出的一个非常重要的观点，宏观实在性对引出LG不等式没有必要的作用——结合假设A2和A3，这个理论还是有效的。
同时我们可以依靠我们对这两个假设的直观理解，假设A2，非侵袭性测量，参与了并且是很多讨论的来源。为了澄清，我们先提出A1是A2的先决条件，测量显示了一个宏观实在系统的本身固有的参数。因此假设A2定义了一个非侵袭性的测量，即测量不会改变宏观实在系统的状态。这个澄清非常重要，因为假设A2的意思是在量子系统里测量也可以是非侵袭性的。一个宏观实在论者可能会承认测量不会扰乱系统，但是实际上仍然是侵袭性的，因为测量造成了系统波函数的塌缩。对量子系统的非破坏性测量声明是非现实的，因为它要求系统是宏观实在的，量子系统明显不是。
Leggett和Garg讨论了“理想的负测量”是如何提供了一种系统中的非破坏性测量方法的。考虑到我们对宏观值感兴趣，所以我们可以使探测器在对系统状态为时与系统交流。这种情况下，没有探测器响应，和宏观实在性结合起来，我们可以知道此时系统的状态为即使探测器没有和系统交流。我们只考虑了这样的负值结果，我们的测量是非破坏性的符合假设A2，但是结果成立的前提是系统与我们的探测工具没有交流。尽管如此，一个量子系统仍然会受到这些测量的影响，理想的负测量仍然会导致系统波函数的塌缩。
对于非破坏性测量假设有两个截然不同的问题。首先，假设我们可以构建出一个测量方案满足系统的非破坏性测量假设，那么不考虑假设A3时，测量检验到的LG不等式的违背表明了要么是系统不满足宏观实在性，要么就是本质上测量一个系统是不可能不干扰其行为的（或者对于量子力学来说，两者都是成立的）。Leggett写道非破坏性测量对宏观实在性系统来说是自然的结果，即很难看到非破坏性测量不成立而宏观实在性成立的。然而，非破坏性测量的无效表明了系统的行为超出了我们对宏观物体的认识，那到底是宏观实在性的违背还是非破坏性测量的违背还是一个争论不休的问题。另外，我们注意到不能只测量宏观实在性，因为实在性本身是与量子理论的预测是一致的。在LG不等式中，实在性是和非破坏性测量结合起来测试的，就像贝尔不等式里实在性是和局域性结合在一起检测的。
关于假设A2还有一个更严重的问题，当我们面对一个LG不等式的违背，一个现实主义者可以声称不管一个研究者进行如何精密的实验，他的测量总是会对系统的某方面造成不可预知的影响。这就是所谓的“笨拙的漏洞”。一个虔诚的现实主义者总是利用这个来反驳LG不等式违背测量的意义，因为他们说不可能证明出一个物理测量是真正的非破坏的。有些人提出解决这个可以通过在时间t测量系统，然后在时间测量，取极限时比较这两个值。如果这两个结果始终一致，就可以尝试说这个测量是非破坏的了。但是这个问题是，尽管这个方法可以排除测量直接影响宏观值Q，但是它不能排除测量对一些不为人知的隐藏变量造成的影响，从而继续影响以后的系统演化。通过引出这样的隐藏变量，现实主义者总是可以避开LG不等式的违背[31]。
在Bell不等式里，有个类似的漏洞叫做通信漏洞[66]。这个漏洞可以很容易被关闭，只要确保两个测量是空间分离的，那么在实验过程中一个探测器的行为不会影响到另一个探测器。这一个安全的物理原理（狭义相对论）用来关闭贝尔不等式的漏洞，但是LG不等式没有这样一个用来辩护的理论。我们可以期待的只有一些策略了，例如理想的负性测量，使LG不等式违背的解释是笨拙的也是不可接受的。这样的话，文献[35]制定了一个改进的LG不等式方案，可以使笨拙的漏洞缩小。引入一个“熟练的测量”概念，当制定LG不等式的测量时间之间时，就其本身而言，并不影响LG相关函数的测量值，作者表明他们更新的提议违背时，意味着要么系统不是宏观实在的，要么就是两个或者更多的熟练的测量各自都是非破坏的，但是不知怎么的结合到一起就干扰了系统。这种结合作用比独立的非破坏性测量更不合理，漏洞的大小也就相应的减小了。我们注意到，很多无漏洞的贝尔不等式检验实验被提出（参见[72]-[74]），而能否提出一个无漏洞的LG不等式检验方案仍然是一个开放性的问题。
2.2 LG不等式的证明
相关函数是由在时刻、测量出的结果、以及出现概率得到的，即
（2）
P的下标提醒我们测量的时间点。假设A1意味着，因为观测量Q有一个在任意时刻都确定的值，即使不测量，两时间概率可以由三时间概率分布的边缘得到：
（3）
在宏观实在论下，三个公式1里要求的概率值,和是独立的，因为在不同时刻的测量对系统演化的影响不同。考虑非破坏性测量假设A2，抛弃这些可能性，这三个概率分布函数是一样的，即。
这意味着不仅宏观值Q不会被测量改变，同时任何有关的微观隐变量影响了时间演化。这个简单的概率可以用来计算这三个相关函数：
（4）
（5）
（6）
我们用简化代替。简单加和，有
（7）
令则得到，即公式1的上限。令则得到下限。值得注意的是公式7表明了LG不等式违背的解释是负数的可能性，进一步的讨论在文献76里，文献25里给出了实验探究。
另一种证明LG不等式的方法由隐变量理论给出。我们描述这个证据为“本征模型”框架，跟随它的术语而不是隐变量。我们会说是系统的本征态，是系统的一个实在的状态，可以推出任何的物理
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