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三通道克尔非线性定向耦合器修正理论
Chula Mapalagama and R. T. Deck
Department of Physics and Astronomy, University of Toledo, Toledo, Ohio 43606
Received January 13, 1992; revised manuscript received March 25, 1992
我们指出，在以前分析基于克尔介质的多通道非线性定向耦合器的矛盾，并给出了一种改进的三通道非线性耦合器的耦合模式方程组, 这指出了两通道间随着输入功率的增加模式的功率的转换情况，与以前的预测结果既有质的变化，也有量的差别。
- 介绍
自从Jensen关于非线性定向耦合器的经典1982论文发表以来，对非线性耦合器进行了广泛的研究。在它们最简单的形式中，这种耦合器包含由两个具有大的非线性极化率的介电材料制作的紧密相邻的波导构成。鉴于这两个波导通道足够紧密，照进其中一个通道的光便可以渗入另一个通道，（在低光强度）结果场重叠会导致双通道间的功率周期性交换。在最大功率沿耦合器从一个通道到另一个通道的最小距离被称为耦合距离。在由克尔型材料构成的非线性耦合器中，折射率n随光强I的变化关系n=给出，其中是低光强的折射率，alpha;是克尔非线性系数。Jensen指出在这个非线性耦合器中变化输入光强会导致低光强从一个通道离开到另一个通道。因此他预见到使用非线性定向耦合器作为光开关的可能性。
近年来，理论研究已经延伸到包含多波导通道的耦合器。这些研究表明，长度等于一个耦合长度的克尔型非线性耦合器能产生一种近似理想开关的剧烈的功率转换曲线。然而，在那些研究中用来描述场的传输的耦合模型方程中一些非线性项被忽略了。这些研究的作者显然是沿着Jensen在他原创论文中的思路，假设被忽略的非线性项比保留项小许多数量级，然而，正如先前指出的那样，一些被忽略项实际上相当于保留项的数量级。
在第二节中，我们开发出一个保留所有非线性项n通道克尔型非线性耦合器的耦合模型方程。在第三节中给出了我们通过数值计算严格条件下得到的三通道耦合微分方程得到转换曲线。这些转换曲线明显不同于参考文献6-8中得到的结果。
- 理论
在这里，我们勾勒出一个由n个相同单模平面波导组成的定向耦合器的耦合模型理论。这种三通道情况下的耦合器的几何图形如图1所示。在耦合器中任何点x,z的电场E（x,z）必须满足麦克斯维尔的波动方程。
(1)
其中是结构的总介电函数，omega;是激光的角频率。在一般情况下，方程（1）的解可以在单独通道的波导模型对应的项之和的形式中找到。
(2)
其中beta;是N个相同通道的导模传输常数，是在模型第n通道的关于z的振幅，对应第n个通道的满足方程的模型轮廓函数。
(3)
是通道n的线性介电函数，这个受边界条件n通道定义的方程的解允许函数确定所有的x。我们假定电场中方程正常，像和使单通道的模型轮廓函数满足正交条件。
图1.对称三通道定向耦合器的坐标系和几何图形
图2.对称三通道定向耦合器的总介电函数的所有贡献
, (4)
假定单通道模型领域的耦合只发生在最相邻通道之间。
给定图2形式中E场的表现形式，振幅决定单通道中作为z的函数领域的大小。为通过图1确定这些振幅，根据单通道介电函数表达出方程中的总介电函数ε是有用的。因此，在线性情况下ε不取决于z，由于其他通道的存在，总介电函数可以表示为在缺少其他加上在给定通道中介电函数出现变化的修改项的情况下任一通道介电函数的和。更特别的是，能被写成（任何n）
(5)
代表性的单项和三通道耦合器的例子Delta;如图2所示。这里我们对包括克尔型场强相关干扰项总体结构的介电常数的特别非线性型感兴趣。这种情况下图1的介电函数可以根据图5中的线性介电函数被写作
(6)
其中ε是克尔非线性系数，假定轮廓函数在通道n和相邻通道n 1是非零的，电场在第n通道可以被表示出来
(7)
通过将（2）式代入（1）式，利用（5）式（6）式和（3）式，和
的近似值，我们消除（1）式
(8)
结果再乘上，通过模型轮廓函数的正交性整合所有x，可以根据、和他们的复合物得到振幅的微分方程。下面我们注重三通道耦合器的特殊情况，其中n的值为1、2、3。在这种情况下，利用（7）式中，忽略弱重叠轮廓函数项的比例项，我们得到三种振幅和一个三耦合非线性微分方程。
,
,
, (9)
其中
,
,
,
,
(10)
这里我们利用标准耦合模型理论，忽略了（9）式成比例求导中的导数项。另一方面，在目前的工作中我们选择保留(9)式中所有非线性项。相比之下，鉴于参考文献（8）的作者仅保留线性项和非线性系数，参考文献（7）的作者保留除了线性系数，只有非线性系数。在第3节中，我们发现被这些作者忽略的项在耦合器的功率转换特性中有显著的作用。这可以预计，能看到通过另一种形式重新表达（9）式，根据方程中单独项的大小，可以直接比较。为了这个目的，引入无量纲的振幅方程是有用的。
(11)
同时定义一个输入参数eta;
, (12)
其中表示耦合器的输入功率，表示耦合器在y方向上的尺寸。参数eta;可以用来定义一个新的非线性系数，
, (13)
相关系数
, (14)
具有相同尺寸的作为系数和。根据无量纲振幅重新表达的（9）式，一个形式上和（9）式相同，但有系数、、、、的方程被（14）式的系数取代。
我们对比较这些转化方程单独项的相对大小感兴趣。然而，因为方程中的比例系数和只影响第n通道场的传播常数，在单通道耦合中没有影响，有必要比较独立于剩余项之外的成正比的和。同时，作为（10）式中定义和的结果，无论什么时候，和被积函数中Delta;（无量纲）量的大小相比较，被积函数中量的大小更重要，相比于正比例，正比例更重要，这是很明显的。同样，因为这是有助于通道之间耦合的在转化方程的比例系数，通过与另一个相关的这些项的量，关于这些耦合器开关特性项的相对意义被严格定义了。同时，在（10）式定义的基础上，在项的系数中，和预计有最大的量。这些系数涉及到对通道坐标上被积函数积分，被积函数包括一个相邻通道的轮廓函数的一个因素，其中可以预计很小，从这些事实可以得出结论。无论什么时候，和被积函数中Delta;的量比较起来，被积函数，，中的量更重要，因此仅把，和比较是很重要的，从比较来看，可以推断（9）式中成比例的系数项，比成比例的系数项重要。但是，比例关系比重要，这情况类似所需情况，因此这显示出不一致，包括比例关系例项在（9）式自相位项，而不包括在同样方程中通道耦合项和。这结论由第3节的数值结果支持。
在给定（10）式中所有系数的值，如从给定耦合器的物理参数计算出来的，单通道模型振幅可以从（9）式的数值结果中提取出来，耦合器任意一点的场强值I（x,z）能从I（x,z）和（2）式中的场强E之间确定。对于y方向上的偏振光，I和E之间的联系减少了。
(15)
利用（2）式和缓慢变化振幅近似值，这关系能根据振幅和轮廓函数的形式被重新表示出来。
(16)
我们对单通道耦合器的z函数中的功率感兴趣。通过整合强度I（x,z）在相当于单通道的x值上，这些能被确定，列举如下：
(17)
特别感兴趣的量是单通道中z的量等于一个线性耦合长度L时的功率。L的值可以通过线性耦合微分方程的解析结果被确定，通过设置（10）式中除了强
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