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光学系统中的电磁衍射
- 图像场的积分表示
由E.WOLF曼彻斯特大学理论物理系
(D. Gabor, F.R.S.通讯——1959年2月19日至今,1959年6月4日修订)
给出了一个光学系统像空间中电磁场的积分表达式。这种表示并不局限于低角孔径系统，而是以平面波角谱的形式表示，这与伦-伯格(1944)对Debye (1909)和Picht(1925)的著名公式进行向量推广时引入的方法密切相关。结果表明，用修正后的惠更斯-菲涅耳原理对二次平面波而不是二次球面波进行处理，得到了一种简单的物理关系。
- 介绍
几乎所有的研究都与光学像场的结构有关，到目前为止，几乎完全是基于几何光学或者基于标量衍射理论。由于这些方法与光学系统的设计和性能密切相关，它们有两个限制，即: (1)不显示场的矢量特征，即衍射场区域内光的偏振状态和能量流方向(坡印亭矢量); (2)在大角孔径系统中，如某些摄影镜头和一些现代天文相机，它们不容易应用于确定图像结构的问题。所以需要更精确的方法来处理这类问题。由于微波光学相关领域中出现的问题，研究出更精确地方法是非常有必要的。微波系统通常具有大数值孔径，这比在传输光的系统中遇到的孔径要大得多，通常的方法在多大程度上可以放心使用并不总是很清楚(参见Bachynski和Bekefi I956)。此外，在微波光学中，与衍射场的极化状态知识是直接相关的。
本文给出了光学系统衍射场空间中电磁场的一个积分表达式，使确定低角和高角系统中像场的完整结构成为可能。由于像场所满足的精确边界条件的确定存在着巨大的困难，假设出瞳的距离及其线性尺寸与波长相比较大，这种表示是近似的，但可以期望它在离出瞳不太近的所有点上都能预测出高精度的场。这是此次工作的主要目的所在。我们的表示法与伦-伯格(1944)的表示法有着内在的联系，可以看作是Debye (1909)为标量情况引入的著名表示法的推广，Picht(1925)对其进行了扩展。目前的推导似乎比伦-伯格的更简单，并清楚地显示了在解决实际问题时所涉及的近似问题。结果还表明，用修正的惠更斯-菲涅耳原理对该表达式进行了简单的物理解释。
在本研究的第二部分(Richards amp; Wolf I959)中，研究结果用于确定消球差系统焦区像场的结构，特别关注高角孔径系统。
- 图像场的积分表示
设为单色点光源的角频率，位于旋转系统的目标空间中，表示像空间中点P在t时刻的电矢量和磁矢量。待确定的向量和表示像空间中P点处的电场和磁场，其一般为复数，符号s表示其实部。
设x、y、z为P的坐标，P点位于直角坐标系，为点光源的位置，为像场中焦点的位置, 取z方向为正，与系统光轴方向一致，指向出瞳。由于整个像空间中的电场都满足与时间无关的波动方程，因此可以假设它具有光学系统中电磁衍射的形式(参考Wolf 1959，附录)，当然，像空间中的磁场也有类似的表达式。式（2.1）是利用平面波角谱展开的方法得到的像空间中任一点P电场的数学表达式，
其中n为像空间的折射率，和分别表示像空间和真空中的波长，为像空间中光的波数，c为真空中的光速，
上式中k为光在真空中的波数。此外
式(2.2)中用平面波的两个角谱(以U和V两个函数为特征)表示电场。当时，为普通(均匀)平面波;时，它们是非均匀波平面波（振幅沿z方向指数衰减的倏逝波）。
为了确定U和V，我们必须要做一些近似。第一个近似是忽略所有的非均匀波，也即忽略倏逝波的贡献，也就是说，当时，我们用有限域替换式(2.2)中的无穷积分域。第一个假设显然是非常有必要的，它能大量减小计算量。首先，每个非均匀（V波）的振幅发散为kz—。此外，由于瞳孔平面和像场区域之间的距离假定远远大于入射光的波长，所以非均匀波（U波）即倏逝波的影响可以忽略不计。
第二个近似是：对其施加基尔霍夫边界条件，它代替了在出瞳面上的精确边界条件。如果出瞳的线性尺寸远大于入射光的波长，并且如已假设的那样，考虑离出瞳面很远距离上的场，则这种近似是合理的。因此，如果（代表从出瞳面向像空间传播的一列波）表示无扰动的入射场，则是出瞳面上的一个典型点。表示孔径开度，我们需要写出下式
式(2.5)可以看作是函数U和V的一个积分方程(还没有被充分限制为唯一解),上式的积分范围是。为了解决这个问题，我们需要用到。在这种情况下，用渐近近似代替积分值可以得到很好的积分估计值。有如下两个例子：
- 在一个非常典型的光学系统中，，10cm，则= ;因此，当从出瞳到焦点处时，每个非均匀U波的振幅都减小了因子。
- 可以通过这样的规定，例如，在半空间z gt; 0中，应满足索末菲边界条件，可以得到U和V的唯一解。这样就可以立即得出。但是，没有必要强加这个条件。我们将在后面看到，可容许入射场的性质(通过出瞳传播到像空间的波)自动确保了其独特性。
为此目的，我们给出下式
接着，如果式(2.4)也能被使用，那么(2.6)的左边就变成了形式的两个积分之和
上式的积分范围是的积分区域，其中
注意到，当大时，利用稳定相法，可以很容易计算这种二重积分积分的解（参见，例如，Born amp; Wolf 1959，第750页，751页），则式（2.5）可写成如下形式
用渐进值代替精确值所引起的误差为。
接下来，我们给出像空间入射场点的电场的具体形式。除了紧靠孔边的点，出瞳面上的入射场可以很好地近似用式（2.10）表示(参看Born amp; Wolf I959，第三章)。
其中k是像场中的波数，和为经过点的几何波阵面的主曲率半径，对于球面波为光程函数（表示从点源S0传播到Prsquo;点的光程），光程函数和光学系统的像差有关。此外，a是一个(一般为复数)向量，垂直于从点出发，经过点的几何射线; 在几何光学近似中，矢量a与点出发，经过点的几何射线的确切位置无关，称为入射光线的强度因子。
式(2.10)的右边可以用一种更方便的形式表示，这种形式涉及到系统的像差函数，像差函数的定义可采用图1所示。
图1 像差函数的定义
图中W代表经过出瞳中心E的几何波前，代表以为球心、过出瞳中心E点的球面，其半径为R。理想的情况是，经过出瞳的波阵面应该是向汇聚的球面波，即W和重合，但由于W和的不重合引起像差，像点此时畸变为弥散的光斑。接下来考虑从发出的一条光线，经历光学系统、出瞳面点，然后到达。令射线与W和依次相交于点F和G。则该光线到达出瞳点上点时对应的光程为
式中[]表示光程。由于点G和E位于同一波阵面，所以,而且根据图1不难看出，,其中，n是像空间折射率，所以上式可以写成
式中,显然是个常数，是像差函数，定义为
它反映了出瞳面上的几何波前与理想的球面波前的差异程度。
由于几何波阵面的曲率中心在像空间，所以式（2.10）中的两个主曲率半径和与离原点的距离相差很小，可以得到。此式成立的前提条件是点源的像足够远离出瞳，应比波长大得多，将以上结果代入（2.10）式，得到出瞳面上的入射场的最终表示
其中，是光在真空中的波数。这里已经将像差函数和强度因子写成了过点的光线方向s的前两个方向余弦sx、sy的函数形式。从出瞳面点出射，到达像点的光线方向单位矢量s的三个方向余弦（i.e.直角分量）为
将（2.14）与（2.15）两公式代入公式（2.9），得到函数U和V的结果
其中是由从出瞳出射到像空间的所有光线的方向矢量构成的空间立体角。将(2.16)式代入(2.5)式，最终得到像空间中任意点P的电场
上式中的积分范围是，由于初始位相是任意的，所以上式中忽略了常数相位因子。其中k是像空间的波数，表示场点P的直角坐标。式中的二重积分表示对所有从出瞳出射光线的方向矢量求和。用完全相似的方法，可以得到与时间无关的像空间中磁场的类似表达式
(1)这里所作的近似通常用于像差理论(参考Wolf 1952)。它是测量由沿径向GP和的波前W和点之间的光学距离产生的，而不是沿射线通过。
(2)由于相位的原点是任意的，(2.17)右边的常数因子在这里被抑制了。
式中，矢量是磁场的强度因子，它表示为 ，公式（2.17）与公式（2.18）不同于基尔霍夫的标量衍射公式，它们给出了衍射场的偏振特性，能够反映场的矢量性质，因此称为矢量衍射积分。根据麦克斯韦方程，不难得到电磁场的强度因子和之间的关系
其中和表示像空间的介电常数和磁导率，且介电常数和磁导率满足。在我们的高斯系统中，的单位没有什么明显的区别，但为了对称，这里保留了 它。
式（2.17）、（2.18）是电场和磁场的表达式，代表问题的解。它们将像空间的场表示为沿不同方向传播的均匀平面波的叠加。组成均匀平面波的振幅矢量
和都可以用光线的传播方向的单位矢量以及像空间的介电常数以及磁导率来表示，并且必须考虑到场沿每条射线的偏振状态。像差函数是对系统产生的像差大小的一种描述，同样可以通过光线传播方向的单位矢量确定。因此，利用式
（2.19），得到的解在整个像空间始终满足齐次麦克斯韦方程。此方程的解由于使用的是近似的基尔霍夫边界条件，在离出瞳较近的区域内，它并不是适用的，在远离出瞳的位置，完全可以精确描述电磁场。然而，当孔径远远大于波长时，并且当观察点和高斯像点两者距离出瞳的距离远远大于波长时，式（2.17）、（2.18）可以很好的代表像场处任一点的电场和磁场。
3. 衍射积分的物理解释
利用数学方法，将积分表达式（2.17）、（2.18）改写成更简单的形式计算起来比较方便。令
并设表示一个典型场点的位置向量。是所有出射光线构成的立体角的一个元素，可写成如下形式
则式（2.17）、（2.18）可写成如下形式
其积分范围为。
式中表示场点P处的位置矢量，根据惠更斯-菲涅尔原理，将以上两个简单的积分表达式与相应的积分表达式进行比较，可以得到比较简单的物理解释。根据惠更斯-菲涅尔原理，波前W上的每一点G都可以看做是球面子波的波源，球面子波的振幅正比于。像空间任意点P的场视为从出瞳出发到达像空间额所有球面子波的的叠加
式中“HF”表示惠更斯-菲涅尔近似，d是GP的距离，K(G)是倾斜因子，一般而言对于小的倾斜角，。将矢量衍射积分公式与惠更斯-菲涅尔原理的数学表示式对比容易看出来：矢量衍射积分将像空间的场看成是从出瞳发出的所有平面波的叠加，平面波的振幅是，传播方向是，每个平面波与出瞳上的波前W相切，如图2所示，因此填充出瞳的波前W上的每个点都可看做是发射平面子波的波源，像空间任意点P额场由所有这些平面子波叠加得到，这就是矢量衍射积分的物理解释。既然式（2.10）的表达式对与波前W上的每一点都
图2 衍射积分公式得物理解释。（a）惠更斯的球面子波：
（b）平面子波
是适用的，因此，式（2.12）中的可以近似表达出来，其中r是之间的距离，当用r代替场点到高斯像点的距离时，公式（2.14）仍然有效。因此，利用式（3.1），可以得到两个幅值的关系表达式，其表达式如下
如前一样，恒定的抑制相位因子为kc。
我们得到的对像场的积分表示与伦-伯格（1944）对像场的积分表示的公式密切相关，可以看做是非常著名的Debye（1909）对标量波的衍射场的积分表示的推广。Picht（1925）推广了对非球面（标量）波的表示，最近，Focke（1956）也对这个问题进行了研究，他使用了与本文基本相同的方法。
伦-伯格的积分表达式可以从我们的解中得到，我们利用前面的式（2.13），加入C，得到一个新的表达式
N是过点与射线G的垂点，如图4所示。在渐进近似中，很明显，
可以被沿光传播方向测量的光长[GN]所替代。由于，点G和E位于同一个波前上，所以，我们可以用式（3.7）重写式（3.6），如下
接下来我们引进单位矢量来代替射线矢量
并且令p、q、m为矢量沿x，y，z轴的单位矢量。
然后将表达成关于p和q的函数，并且点表示入射场源点的位置，则表示汉密尔顿的混合特征函数。电场和磁场的振幅因子和，可以表达成p和q的函数而不是和的函数，其可以分别用和表示，以及相应的积分区域可以用来表示。如果在衍射积分式的右边重新引入被抑制的常数因子，则衍射积分公式（2.17）、（2.18）可写成
式（2.19）的关系可用下式代替
公式（3.10）与（3.11）与伦-伯格的衍射积分公式形式是一致的。它们并不是伦-伯格由真实物理问题的近似解而得到的，而是一个理想化问题的精确解，即：为求其次麦克斯韦方程组的解，它们在整个空间都是有效的，在无穷远处有其特定的特征。尽管伦-伯格的公式在数学上很优雅，但我们倾向于把积分表达式看做是真实物理问题的近似解，这种近似的前提是高斯像点到出瞳处的距离要远远大于波长。通过我们的分析表明，积分式（2.17）和（2.18）[或式(3.10)、（3.11）]有效的等价于直接应用矢量惠更斯-菲涅尔-基尔霍夫衍射理论的解。然而，由于我们得到的公式不考虑倾角因素，所以它们更适合于处理大角度的问题，例如：在高角孔径系统中确定光学系统像场结构的问题。这个问题将在本研究的第二个部分讨论（Richards amp; Wo
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资料编号：[2505]
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