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具有平衡负载密度的多人装配线平衡问题
Hamid Yilmaz，Mustafa Yilmaz
土耳其埃尔祖鲁姆阿塔图尔克大学工业工程系
摘要
研究目的——本文的目的是在传统的装配线的基础上，使具有负载平衡约束的多人装配线达到平衡。关于多人装配线平衡问题的大多数研究工作都集中在改善传统的工业措施上，这些措施可以最大限度地减少工人总数，多人工作站数量或同时具备以上两项优点。
研究方法——本文为数学模型提供了补救约束，从而平衡工作站中的每个工作人员的任务负载密度。
研究结果——通过对提出的数学模型与现有的多人装配数学模型的比较发现，所提出的方法具有更好的任务负载密度性能。
研究价值——本文提出了一种新的数学模型，这种数学模型首次结合了多人工作站的最小化、工人数量最小化和工人任务负荷密度的差异。
关键词：装配线设计；多人工作站
论文类型：研究论文
1 绪论
装配线生产是在工业中生产大批量产品的最常用方法。装配线平衡（ALB）问题是在线路上存在一定条件约束的情况下，在优化一个或者多个目标的同时将任务分配给工作站（Gouml;kccedil;en等，2006）。在装配线平衡问题中，根据优先级关系将任务按指令顺序分配给工作站。在将任务分配给工作站时，必须针对特定目标进行优化，例如数量确定的工作站的最小化的循环时间或给定循环时间（Ct）的最小化工作站的数量。关于解决传统装配线平衡问题的研究，有大量的文献（Baykasog˘lu和Dereli，2008）。此外，传统的装配线平衡问题被称为NP难问题（Ege等，2009；Yeh和Kao，2009）。Scholl和Becker（2006）以及Becker和Scholl（2006）给出了这些研究的详细评论。
近年来，随着科学技术的飞速发展，人们可以生产更复杂的商品。如果这些产品是用传统的简单装配线生产的，就像汽车行业的情况一样，那么工厂就需要数百个工作站（Kellegouml;z和Toklu,2012）。
生产线设计人员允许工作站在同一工位中安排多个工作人员并且平衡生产线，以避免传统装配线的缺点。多人装配线平衡问题（MALBP）是一种新型的装配线平衡问题，根据产品特征，可以为每个工作站分配多个工人或操作员，如图1所示（Fattahi等，2011）。
图1 团队导向的装配线
许多研究都解决了文献中多人装配线平衡的优势，因为每个站由不止一个工人组成，并且线路长度较短。此外，它的吞吐量的持续时间更短，并且使用更少的材料来处理。同时它还使工作流程保持在较简便的水平（Cevikcan等，2009；Bukchin和Masin，2004）。尽管多人工作站装配线平衡已经在工程行业中广泛地纳入应用了，但是关于这种方法的研究却并不是很多。首先将团队合作方法应用于装配线设计并对其进行深入研究的是Johnson（1991），他提供了一种新的分支定界算法。Bartholdi（1993）提出了一个装配线配置，它由两条并行的串行线组成，只有两个操作工人可以在同一个多人工作站中。McMullen和Tarasewich（2006）以及McMullen和Frazier（1998）同样对装配线平衡问题进行了研究，该研究中不止一个工作人员对不同单个产品执行相同的任务，这一点在工作站中是允许的。Bukchin等人（1997）为基于团队的装配系统设计了一种新方法。问题解决方法基于将物料清单元素分配给团队，并提出了分层设计方法。Bukchin和Masin（2004）设计了一个面向团队的装配线流程，根据物料结构的清单，为团队分配任务，同时确定每个团队所需的团队数量和工人数量。此外，他们引入了分支定界算法来解决多目标设计问题，并开发了一种启发式算法来解决大规模问题。Dimitriadis（2006）修改了一种启发式算法来解决包括多人工作站在内的装配线问题。所提出的启发式算法应用于人们熟知的标记问题和现实生活中的汽车装配线问题。Cevikcan等人（2009）设计了混合模型装配线中多人装配工作站的数学模型，并开发了一种基于调度的启发式算法，包括模型排序和工人转移系统。Fattahi等人（2011）基于蚁群优化方法，提出了一种混合整数规划模型和一种启发式算法，用于解决多人装配线的中大规模平衡问题。该模型旨在最大限度地减少生产线上的工人总数同时减少开启的多人工作站的数量。Kellegouml;z和Toklu（2012）提出了一种有效的Branchand绑定算法，用于并行多人工作站的装配线平衡问题。将VWSolver算法与所提出的算法进行了比较，结果表明，该算法在可行解的质量和CPU运行时间等多方面均优于VWSolver。Roshani等人（2013）提出了一种模拟退火启发式算法来解决多人工作站的装配线平衡问题，并将装配线长、效率和平滑度指标作为性能指标。在文献中，Roshani等人对该模型的性能等问题进行了测试。
在对大量文献进行考察研究时，我们很明显能够发现已经有一些关于装配线平衡和多人方法问题的研究。在这些研究中，我们提到了多人装配线研究的意义和优势。虽然人们越来越关注多人装配线平衡问题，但许多研究表明，只有极少数公司使用生产线平衡技术来平衡其装配线。其主要原因是装配线平衡问题更复杂，需要同时考虑许多方面的条件和问题。然而，学术研究中忽视了其中的一些方面（Boysen等,2008）。在多人装配线平衡问题中经常被忽略的一个重要方面是每个工作站的工人的总任务负载平衡问题。为此，我们为多人装配线平衡问题开发了一个数学模型来填补这一空白。
本文的结构如下：在第2节中，提供了所研究问题的概述。在第3节中，提出了问题的数学模型。在第4节中，给出了计算结果。最后，在第5节中，提供了结论。
2 研究问题
具有多人工作站的装配线是用于生产大尺寸和大批量产品的工业中的典型装配线。在这种类型的装配线中，每个工作站中的产品在节拍时间内停止，其中有几个工人同时对同一产品执行不同的操作（Dimitriadis，2006）。除了这些目标之外，多人装配线还需要新的限制，并且其限制都旨在更贴近现实操作以应用于现实生活中的行业。其中一个目标是减少工人任务负担的差异。任务负载是多人工作站中每个工作人员的总任务时间。此外，通过使任务负载的差异最小化，可以在多人工作站中平衡每个工作人员的工作时间。图2显示了Fattahi等人（2011年）提出的装配线平衡问题的一个例子。设每个工作站的周期时间为11，并且允许最大的工人数量为2。
图2 任务优先顺序图
该示例通过现有（Fattahi等人，2011）和我们提出的模型来解决。如该图所示，必须在装配线中执行如图中七个不同的装配任务。每个操作任务都由节点说明。操作号包含在节点中，它们的处理时间显示在节点上方。这个问题通过两种多人装配线平衡方法解决。
图3 多人工作站没有平衡的负载密度
图4 具有平衡负载密度的多人工作站
图3显示了没有平衡负载密度的多人装配线平衡方法获得的最优解。图4显示了通过具有平衡负载密度的多人装配线方法获得的最优解决方案。对于每个操作，其开始时间和结束时间显示在其条形图旁边。灰色矩形表示两次连续操作之间不可避免的延迟，或循环时间结束时的空闲时间。如图3所示，需要三个工作人员（工作站1中的W1和W2以及工作站2中的W3）和两个工作站来执行多人装配线平衡方法中的操作。如图4所示，除了工作人员和工作站以外还需要相同的工作站和工作人员编号。
但是，如图3所示，每个工作人员的空闲时间不平衡。W1的总空闲时间为0个单位，W2在工作站1中为3个单位，W3在工作站2中为1个单位。工作站1中W1和W2的空闲时间差为，工作站1和W3中的W1在工作站2中为，最后，工作站1中的W2和工作站2中的W3为。空闲时间的总差异为。同时，同一问题的任务分配为MALBP具有平衡的负载密度，如图4所示，并最小化了工人之间的负载密度差异。W1的总空闲时间为2个单位，W2在工作站1中为2个单位，W3在工作站2中为0个单位。工作站1中W1和W2的空闲时间差为，工作站1和W3中的W1工作站2中的W2为，最后，工作站1中的W2和工作站2中的W3为。空闲时间的总差异为。为此，为MALBP中建立了一个数学模型来平衡负载密度。
3 数学模型
Fattahi等人（2011）提出了MALBP数学模型，建立出用于配制具有平衡负载密度的MALBP。在这项研究中，多人装配线被认为是一系列多人工作站，必须执行一系列确定的任务，用具有预定的循环时间（Ct）。可分配给每个工作站的最大工作数受Nmax限制。建立模型的主要目标是确定最佳工作站和工人数量，同时使工人之间的任务负载差异最小化。在所提出的模型中，以下假设要纳入考虑范围。
该产品具有K个任务，每个任务都有一个处理时间ti，这是确定性的。任务的优先级图是事先已知的。工作站之间的运输时间被忽略。不允许并行任务和并行工作站。
3.1 表达式
用于建立数学模型的表达符号表述如下。
3.1.1 指标
i,i1：任务及其编号；
j：工作站及其编号；
k,k1：工人及其编号。
3.1.2 集合
J：工作站集合，；
K：每个工作站的工人集合，；
P(i)：任务i的直接前任集合；
P1(i)：任务i的所有前任集合；
R(i)：任务i的所有后继集合；
M：一个很大的正数。
3.1.3 决策变量
，任务是否分配到了工作站j的工人k，若是则为1，否则为0；
，工人k是否在工作站j中工作，若是则为1，否则为0；
，是否有k个工人在工作站j中工作，若是则为1，否则为0；
，任务i是否比同一工人的任务i1执行更早，若是则为1，否则为0；
strti：任务i的进程开始的时间；
dk,k1:被分配到多人工作站的k和k1个工人总工作时间的差异。
3.2 数学模型
建立的模型如下所示:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
提出的的多人装配线配置的目标函数是优化工人数量作为主要目标，然后尽量减少打开的多人工作站的数量，第三个目标是使每个车站的工人总工作时间的差异最小化。目标函数中的第一项（1）对应于生产线上的工人总数。第二和第三项旨在最大限度地减少已开设的多人工作站的总数以及每个工作站的工人总工作时间的差异。权衡因子确保第二项是次要目标，第三项是第三项目，因为第二项和第三项的乘积总是小于1。另外，如果Ctgt;1，由于第二个词的重要性，第二项的加权因子它比第三项更大。约束（2）确保将每个任务只分配给一个工作站的工人。约束（3）是优先约束，并确保满足任务之间的所有优先关系。约束（4），循环时间约束，确保每个任务应在循环时间结束之前完成。约束（5），（6）和（7）控制排序约束。对于每对任务i和i1，如果任务i1是任务i的直接前任，则约束（5）确保在完成任务i1之后启动任务i以验证优先约束。如果两个任务i和i1没有优先关系，则将它们分配给同一个工作者；约束（6）或（7）变为活动状态。如果i早于i1（wi,i1=1）分配，则约束（6）变为活动状态。否则，约束（7）变为活动状态。但是，如果将两个任务分配给不同的工作站，则通过引入足够大的数字M来忽略约束（5），（6）和（7）。约束（8）和（9）是工人的总任务时间差异的绝对值的线性模型。如果工人k的总任务时间大于k1，则约束（8）变为活动状态。否则，约束（9）变为活动状态。约束（10）是直接简单装配线平衡问题的工作者约束。它针对多人装配线平衡问题进行了修改（Fattahi等，2011）。约束（11）验证每个工作站中使用的工作者数量。约束（12）观察多人工作站中工人索引的顺序。约束（13）表示所有任务的开始时间应该大于或等于0。约束（14）确保以增加的方式加载工作者。约束（15），（16），（17）和（18）显示二进制和整数变量。
4 计算结果
所提出的模型与Fattahi等人（2011）模型的比较用大众所熟知的五个小型测试问题进行了分析，这些测试问题由不同的优先网络通过不同的循环时间产生，由Talbot和Patterson（1984年）组装。从Merten（1967），Bowman（1960），Jaeschke（1964），Jackson（1956）和Mansoor（1964）提出的论文中获得了小规模的测试问题。随后根据工人数量，将工作站数量和工人之间的空闲时间差异进行比较。
表1 对于小规模问题提出的模型和Fattah
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