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基于捕获点理论仿人机器人的步进平衡控制策略
王飞，刘柳，刘建华，赵成英
信息科学与工程学院
东北大学 中国沈阳
摘要
相比其它机器人，双向机器人因其广泛的应用程序具有快速运动能力和良好适应复杂的环境，所以被广泛的研究。在过去，步态规划和平衡控制是两大主要研究领域，但是在本文中，主要研究仅集中在站立机器人和实现Nao机器人的平衡控制策略。首先，当机器人处在刚度控制上时，分析稳定区域，并且计算基于具有支撑计划的倒立摆模型的踏步策略的开始条件。其次，根据轨道能量理论的单倒立摆模型计算捕获点。最后，根据先前的研究工作通过步态规划实现向前步进运动。所提出的方法应用于Nao机器人，用来研究步进平衡控制并且步态成功。
关键字：仿人机器人; 平衡控制; 倒立摆模型; 轨道能量; 捕获点理论
1 引言
随着机器人硬件结构和传感器的发展，近年来已经提出了许多有效的平衡控制方法。机器人干扰控制和平衡恢复主要在生物学和机器人领域研究[1-3]。Kanzaki.S假定当机器人在正常生活空间中工作时，它可能与人或周围的物体碰撞。碰撞后，采用预测控制方法保持平衡[4]。Kentaro Takahashi应用由Kazuya Yoshida提出的RNS理论[5,6]以控制带浮基础的机械臂,实现机器人平衡控制。Kanehiro.Fetal研究了机器人下落过程中的冲击力影响，并提出了一种控制算法来补偿冲击力[7]。Morisawa，M.使用包括倒立摆模型（AMPM）的角动量来分析在行走过程中由外力引起的角动量影响，并提出了一种反馈控制方法来抵抗这种角动量[8]。Baek-Kyu Cho根据外力的大小提出了两种控制策略 [9,10]。来自上海交通大学的王徐扬使用加速度映射方法来保持机器人动态平衡[11]。在[12],提出了一种在连续扰动下机器人的站立平衡控制方法。首先，扰动被认为是恒定的外力，然后通过优化来确定预期的控制状态。结合基于轨迹库的站立平衡控制方法，可以在连续扰动下实现更稳健的站立平衡控制。在[13]和[14]中，Ono，H.，T. Sato和K. Ohnishi根据干扰力的大小提出了两种控制策略。如果外力小，机器人使用踝关节力矩控制策略保持平衡。当外力较大时，应用姿势平衡和定位点调整控制策略以保持机器人平衡。德国学者Christian Ott提出了一种通过调整质量中心位置和躯干方向的平衡控制方法。如果有外力，控制器将计算恢复位置扭矩，然后扭矩影响到预定点。还有其他控制方法如踝关节和髋关节的策略[15]
本文提出了基于捕获点理论和轨道能量的步进平衡策略。 与上述其他平衡策略相比，当机器人暴露于较大的外界在线干扰力时，捕获点理论可以计算作为机器人的立足点的捕获点，其更类似于人类反应。在有限的迈步中，它可以抵抗任何水平的外力，使机器人更好的适应人类环境。若干实验验证了所提出的方法的有效性。本文的组织如下：在第2节中，介绍了捕获点理论。 在第3节中，分析了基于轨道能量和倒立摆模型的阶跃策略的起始条件，并计算了基于具有支撑平面的单个倒立摆模型的捕获点。在第4节中，通过实验验证了所提出的方法，并获得了令人满意的结果。 最后一节给出了结论并讨论了未来的工作。
2 捕获点理论的介绍
Pratt等首先提出了捕获点的理论[16]，详细的相关定义和推导可以在[17]和[18]中找到。捕获点可以被理解为双足机器人可以达到捕获状态的下一个立足点。捕获状态是机器人可以达到的稳定状态。由于复杂的结构，强耦合，多链路和冗余DoFs，双足机器人的运动学和动力学特性非常复杂。
为了研究两足动物机器人的步态规划，我们需要简化模型。 最常用的两足机器人模型是具有点脚的单倒立摆模型，如图1所示。
图1：具有点脚的三维倒立摆模型
具有点足运动方程的三维线性倒立摆可以表示为：
公式（1）
无质量连杆满足瞬时平衡的要求：
公式（2）
在方程中，m是质量。是质心（COM）的位置。是对颗粒的力影响。是踝的位置。假设3D-LIPM的质量集中在其质心，并且它将保持在Z = Zo。因此，和我们记，这可以代入（1）。然后，我们可以得到，
公式（3）
公式中，具有点足的3D-LIPM的运动方程现在可以重写为：
公式（4）
方程中，P = 投影到xy平面上。
注意，运动方程是线性的。这种线性使得该模型作为分析和设计工具具有价值。此外，方程是解耦的,表示在x和y方向上描述具有点足的两个2D-LIPM的相同动力学。
为了简化运动方程，我们定义 ,和如下：
，，
因此，运动方程（4），变为
公式（5）
瞬时捕获点的位置可以从能量考虑来计算。对于给定的不变脚位置，我们可以解释（5）的前两行作为两个去耦质量 - 弹簧系统的描述，每个具有单位质量和负单位刚度。无量纲轨道能量被定义为这些系统的哈密顿量：
公式（6）
因为哈密顿量是保守的量，所以也是轨道能量。方向的轨道能量确定3D-LIPM在该方向上的行为。以x方向为例，，轨道能量足以使x#39;到达，之后，继续加速远离。，在处准确地休息。
时，在到达之前扭转方向。
我们可以解决一个脚的位置，导致期望的轨道能量，或者等效地，在给定的r#39;值处的期望速度矢量。为了确定瞬时捕获点，我们感兴趣的是在每个方向获得零轨道能量所需的脚放置。求解（6），我们可以得到瞬时捕获点的位置和质心的速度之间的关系如下：
公式（7）
如果点脚未及时放置在瞬时捕捉点，则瞬时捕捉点将移动。我们现在分析这个运动。描述地面上的瞬时捕获点的运动的动力学可以通过重新形成状态空间形式的运动的无量纲方程来导出。（5）的第一行以状态空间形式重写为：
公式（8）
公式中，，。状态矩阵A具有特征值=plusmn;1和对应的特征向量。
特征值示出存在具有一个稳定特征向量和一个不稳定特征向量的鞍点。状态矩阵可以使用相似变换对角化，这里，。
定义，那么新的状态空间方程可以表示为：
公式（9）
对角状态矩阵TAT -1显示模型的瞬时捕获点动力学是一阶的。状态对应于不稳定特征值 1，并且因此在稳定系统中是主要关注的。（9）的第一行可以扩展到：
公式（10）
这种推导证明瞬时捕获点在通过点脚和其自身远离点脚的线上以与其与点脚的距离成比例的速度移动，用于具有点脚的3D-LIPM
随着瞬时捕获点远离足部，其速度指数地增加。 图2示出了当点脚保持固定时瞬时捕获点和点质量的运动。 注意，点质量在xy平面上的投影描述了双曲线。
通过求解方程（10）找到用于固定脚位置的瞬时捕获点轨迹的显式公式：
公式（11）
接下来，我们通过使脚尺寸有限，通过点脚扩展3D-LIPM，如图3所示。 有限大小的脚在2-DoF踝关节处与腿关节连接，并且被认为是无质量的。仅需要对3D-LIPM的运动方程的推导进行微小修改。 等式（1）也适用于该模型。增加可控脚踝扭矩tau;ankle和tau;ankle ，并且反作用扭矩tau;ankles将无质量腿连杆的力矩平衡（2）改变为：
公式（12）
如前所述，由于模型约束，f z = mg。并且我们从（12）中得到致动器力fx，fy和反作用力矩tau;anklez：
运动方程然后可以通过将其代入（1）中导出：
公式（13）
公式中，rCoP是CoP的位置，由
考虑到脚踝扭矩使得脚相对于地面不旋转，通过模型定义，这种模型的CoP很容易从脚的平衡中得到。比较（13）和（4）清楚地表明动力学基本上不变。唯一的区别是，现在可以取代CoP而不采取步骤。 因此，如果被替换，结果仍然有效。我们定义无量纲脚踝扭矩为：
图2 捕获点位置的更改规则
图3 具有有限尺寸脚的3D-LIPM
然后CoP的无量纲对应物为：
运动方程简化为：
用#39;替换#39;，等式（10）变为：
对于常数CoP，等式（11）变为:
捕获点的计算程序的建立过程如下：
首先，你设置一个固定的步行速度，把COM的速度代入（7）。 然后可以获得初始捕获点的位置（注意：捕获点位置的计算只需要在初始阶段，也就是说，每一步，在步进的过程中，没有必要在没有干扰的条件下重复计算捕获点位置）。设置每个步骤t的时间，捕获点的位置可以通过（11）计算，即下一步的内容。
这里简单介绍一下位置计算瞬时捕获点，事实上双足机器人步进点可以扩展到一个区域，称为捕获区域。捕获面积计算在参考文献[17]中有详细的介绍和计算过程。 步骤点可以在捕获区域中具有更大的选择性;因此捕获区域也具有更宽的应用范围。 这里，仅引入瞬时捕获点的计算方法。将在下一节中详细解释如何将CPT应用于步骤策略。
3 基于捕获点理论的步骤平衡策略
在现实条件下，为了防止滑移现象[19]，在控制机器人时，需要约束关节扭矩。 在本文中，需要假设以下条件：1）地面有足够的摩擦力以防止机器人滑动;2）外部干扰方向为水平（XY平面），力方向为X轴的正方向，应用点在干线上;3）持续力缓慢增加到最大。
3.1 步进策略的启动条件
当外力足够大时，机器人需要采取一个步骤来保持平衡。 在这里，我们使用由Jerry Pratt提出的捕获点理论来实现步进平衡策略。捕获点是机器人可以步进到达的点，然后机器人的CoP可以移动到它。 因此，机器人可以达到捕获状态，其中机器人的动能为零。并且如果在一个步骤中不能到达点，则机器人也可以采取N个步骤来到达捕获点。
当施加瞬时外力时，机器人具有初始速度。 此时，机器人的动能为其前向加速度由重力分量提供。这里我们使用倒立摆模型与支撑平面分析步进平衡策略的起始条件。 我们可以从图4中获得动态方程。
公式（14）
此时，CoM的加速度为零，CoM的速度为v0。 如果踝电机能够在ZMP移出支撑平面之前提供用于使系统的动能为零的转矩，则机器人可以在不采取步骤的情况下保持平衡。考虑踝电机转矩后，动力方程为：，然后我们可以分析整个系统的能量。
公式（15）
从公式中，可以得到的值：
公式（16）
假设踝电机转矩达到最大值：。 当CoM到达脚的边缘时，踝角度为：。角度限制不需要考虑，因为踝角度必须小于最大值。 此外，ZMP在旋转过程中向前移动。这间接地加速了缓和过程。因此，当初始速度略大于（16）时，机器人可以使用脚踝扭矩保持平衡。
图4 倒立摆模型与支撑平面
从前面的分析，我们可以知道如果初始速度小于，没有必要采取措施保持平衡。所以这是我们尝试获得的步进平衡策略的开始条件。
对上述运动的初始速度的分析可以应用于N步策略。 如果机器人采取一步后整个系统能量不为零，则也可以说速度为v1（小于v0，但不为零）。 我们可以使用相同的分析方法来决定是否采取另一个步骤。
3.2 基于线性倒立摆模型的步进平衡策略的瞬时捕获点的计算
由于机器人系统类似于倒立摆系统，倒立摆系统的机械模型简单直观，倒立摆系统成为机器人稳定性分析和步态规划的常用模型。从质量中心的力分析，我们可以得到：
公式（17）
因此，描述CoM水平运动方程的微分方程是：。通过积分处理：
公式（18）
总能量E称为轨道能量，在[19]中它是一个常数。假设当机器人暴露于外部扰动力时可以立即采取行动。为了使机器人到达捕获点时CoM的速度为零，并且根据总能量的变化，捕获点的计算公式为：。
我们假设机器人可以立即完成运动。 在步进过程中，机器人只有一只脚接触地面，捕获点是摆动腿的地[18]。假设机器人迈一步需要时间，在此期间，CoM由于重力的向前分量和支撑力而加速。因此捕获点的位置正在移动到
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