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迭代统计方法图像盲反卷积
Edmund Y. Lam and Joseph W. Goodman
- 引言
在许多成像情况下，例如使用消费者相机的图像捕获，光学系统可以被认为是具有不相干照明的系统。
, (1)
在这种情况下，对象和图像是相关的其中是图像的归一化频谱强度,是归一化频谱的对象强度,H是光学传递函数。噪音不可避免地存在于任何影像系统中，通常被模拟为添加剂，白色高斯噪声在输出时占主导地位源是电子的随机热运动，均匀噪声的假设也是常见的量化噪声分布，而泊松噪声通常用于拍摄的天文图像在低光照水平。取等式（1）到空间域傅立叶逆变换并包括贡献的噪声，我们得到卷积方程，其中称为点扩散函数的是反向的和的是加噪声的傅里叶变化。
, (2)
可以表示许多空间变异模糊，最常见的是散焦和动作模糊。给定图像，我们的目标是减少模糊和恢复近似近对象。 从等式 （2）我们看到去模糊可以作为反卷积问题。 它是当模糊h（x，y）是时，称为盲图像去卷积。
成功的盲目去卷积操作会有一个对数码摄影有重大影响。此外便于传输和共享图片，数字化的照片让我们可以利用不断增加的图像中的计算能力后期处理以提升最终的质量输出图像。如果可以成功完成盲解卷积在相机或后捕获工作站中，我们可以选择牺牲仪器的一些精度而是依靠后处理来微调图像。例如，我们可能不需要精确定位的镜头用于聚焦，但可以纠正数字恢复错误这是可能的散焦量已知，但盲解卷积会采取一步进一步，以允许错误估计散焦的程度。我们研究的目的工作是推导出盲图像去卷积算法最终可以实现数字摄影。
本文的组织结构如下：第2节我们提出了关于盲解卷积的文献的新颖分类的图像。 分类是基于三个不同的观念被认为是一个解决方案，所以读者可以欣赏这个丰富问题。 然后在第3节我们制定一个统计算法与最大后验相关（MAP）技术从贝叶斯的角度来看可以被认为是对最大可能性的扩展（ML）去卷积.我们首先简要回顾一下该方法以及期望最大化（EM）技术，在应用之前盲图去卷积。 之后我们提出了我们的算法，在第4节我们测试一些模糊和嘈杂的图像。我们包括合成和摄影模糊，并将我们的方法与ML进行比较。
- 分类文献
现有的关于盲解卷积的文献从根本上来说是不同的导致不同的数学方法来解决问题。 一般来说，它们可以分为三组：
1.在第一组，一个人认为无声的情况并使用等式的z域等价。等式（2）作为成像方程。 去卷积问题是然后相当于一个二元多项式，这几乎总是唯一由于没有代数基本定理的维度超过一个以上的因子分解问题。然后可以得出结论，只能有一个可能的对象有一个可能的模糊。 不同的盲解卷积算法使用各种分解方法，最为众所周知的是倒谱和零页分离。 这些方法本质上都是代数的。
2.在第二组中，认识到在任何成像系统中都存在噪声，因此盲解卷积问题本身仅仅通过一次观察来确定。 一般来说，可能会引起观察到的图像的可能的对象和模糊的集合。 人们试图对对象和模糊（例如非负性和有限支持）施加更多的先验约束，以减少可行解的集合。 然后，构建有效的方法来找到满足所有约束的对象和模糊。 然而，该集合中的任何解决方案被认为是同等可接受的。 因为找到一个对象同时满足所有约束的模糊很困难，通常我们采用迭代解决方案。
3. 在第三组中，采用可行解集合的度量来确定最佳解。理由是在对象和模糊的所有可能的候选人中，有些比其他人更有可能发生。 因此，每个候选人与发生概率相关联，我们的目标是找到比其他人更可能的对象和模糊，这通常用已建立的统计工具来完成。
上文已经探讨了所有三种方法其优点和应用。我们采用统计在数字摄影背景下解决盲目解卷积的方法。 特别地，我们将使用MAP技术的变体，其已经用于已知模糊的图像去卷积。 它也被应用于由湍流和光子噪声降解的天文图像的盲解卷积。 然而，为了解决非线性优化，有必要对未知参数的数量施加严格的限制。这对于可以仅用几个参数建模的天文图像是可接受的，例如星星的位置，但对于数码摄影则不是这样，这是我们所关注的重点。
- 统计估计算法
我们首先回顾一般的MAP原理和对传统EM算法的扩展，这是在将其应用于盲图去卷积之前解决不完全数据问题的有力工具。
A. 数学基础
让我们实现由一系列参数控制的随机过程，我们可以一起作为和是所有参数的空间。 我们想找到最可能的给出y的观察; 我们希望最大化，其中p（）表示概率密度函数（pdf）。
按照贝叶斯的规则，
, (3)
在给定y的情况下，是一个常数，在最大化中不起任何作用。 此外，优化问题等同于最大化右侧项的单调变换，通常使用对数。因此这个估计通常被称为最大后验（MAP）估计，因为我们在观察到输出后最大化参数的概率。
. (4)
包含关于我们先前知识的信息未知参数。如果被认为是常数，该方法成为最大似然(ML)估计。有很好的优势。为了恢复图像，它可能会变成更好结果，因为我们可以恢复部分在模糊的零空间中的对象。随着先验知识的融合变得更加精确它也可能具有更快的速度。在实际实现中，分布通常不被我们准确获取。在这种情况下，是定制的用一个函数的量化来代替你从我们的先验知识中分离的程度，这将是我们盲目的反卷积的算法在3. B小节中会有说明。
注意等式（4）在U中通常是非线性的，很难评估许多不完整的数据问题尽管直接最大化有时是可能的，例如使用基于梯度的优化方法，通常使用EM算法是方便的，这允许复杂的非线性最大化被计算上更容易，但重复的，最大化相关功能EM算法用于评估ML问题，但可以扩展为MAP问题.为此，我们定义一个新变量z称为完整数据，而y通常是z的一部分，称为不完整数据。 y是可观察的，但是丢失的数据，即z的部分除y之外，不可观察。一开始，我们在填补缺少的数据中按其预期值，使用可观察数据和当前的参数估计。这被称为E步。现在有了完整的数据，我们可以重新估计未知参数。这个过程应该比方程式（4）中的原始问题要容易得多。估计是通过优化某个功能来实现的，这被称为M步骤。通过对未知参数的新估计，缺失的数据不再是预期值，因此我们舍弃它们，并通过使用新的期望为缺失的数据插入新值。
这又引起了对未知参数的新的优化估计，因此我们需要交替地评估E步和M步。当旧的和新的期望值相同时，不需要进一步的迭代。 对于上述讨论的数学公式，扩展EM算法具有以下两个方程：
E 步：, (5)
M步：, (6)
称为条件似然函数。 在相当一般的条件下，该算法收敛到局部最优值并且是数值稳定的。实际上，对于更一般的情况，可以建立这些性质，其中在M步骤中，我们需要仅产生更大的目标函数 比上一步。 使用EM算法有很多优点，包括容易适应估计问题（通过制定未知数作为缺失数据）和低每次迭代的成本，对于EM的理论和应用的更多讨论，读者参考参考文献21与22。
B.盲目的反卷积使用最大值归纳的方法
令g，i和n分别是对象g（x，y），图像i（x，y）和噪声n（x，y）的顺序。 我们假设对象的大小为，所以矢量都是长度为。 g被调整为具有等于零的平均值。 然后，成像方程可以重写为矩阵方程，其中H嵌入来自h（x，y）的信息。对于线性空间不变成像系统，H只需要阻挡Toeplitz。 然而，在许多情况下，它被近似为块循环，因为方程式可以很容易地从矩阵计算转换为频域评估。对于典型值图像，计算效率的增益往往远远超过图像边缘质量的轻微折中。此外，我们还假设g是零均值高斯随机过程的实现，与参考文献一致。 应该提醒读者，实际上这不是一个非常准确的假设。已知实像具有像素强度的非高斯分布; 例如，背景（如天空）的存在通常会偏离分布。 相反，假设高斯度在简单方便的基础上：
bull;零均值高斯分布仅取决于协方差矩阵，与功率谱有关
通过傅里叶变换的图像的密度。
bull;高斯分布的线性变换也是高斯。
bull;可以表达条件似然函数分析。
高斯对于保持这个强大至关重要的问题更容易。 对于高斯分布，g的pdf可以明确地写成：
, (7)
我们使用符号来表示g的协方差矩阵。在统计框架中投射盲目反卷积问题，我们的目标是进行评估。
, (8)
如方程式 （4），因为我是唯一可观测的基准。 对于我们可以调整未知参数，我们有，假设是事先知道的。 在实际运用中，假设为白色高斯噪声，只是通过方差来计算克罗内克三角函数噪声，可以在我们开始盲解卷积之前通过其他所周知的方法来估计。接下来我们必须选择合适的完整数据空间并决定要调整的未知参数为优化。 Katsaggelos和Lay研究了三个不同的选择详细，并得出结论，最明显的选择，工作的最好。 注意i是一个零均值多元高斯随机向量，因为g是，因此z也是零均值多元高斯随机向量。结果，z的分布也仅依赖于协方差矩阵，其可以与和相关。由z的pdf的对数被写为从等式 （9）我们看到和一起确定，
. (9)
(10)
这反过来完全表征了完整数据z的分布。 因此，包含优化问题的所有可调参数。为了解等式（8）通过EM算法，我们需要：
E步：， (11)
M步：， （12）
E步：我们要评估. 即当表达式受到i的限制时，应理解为对i和。方程式（9）的注释独立于i和。 使用身份如附录A所述，我们有
(13)
方程式(13)右侧的术语可以进行分析
如下：
bull;是一个常数。
bull;从表达式（9）可以很容易地得出（见附录A）。我们使用矩阵上的块循环假设可以在频域中进行评估
, (14)
其中是对象的功率谱，并且相等到的傅里叶变换。 指标跟踪整个图像。
bull;我们首先将重写为，其中Tr表示跟踪操作符。 这进一步扩大如
= (15)
重要的是要认识到，，但在频率上领域，其等价物是着名的维纳滤波器估计，即:
(16)
该频域评估与模糊操作上的块循环假设一致。 等式的更详细的推导 （16）可以在参考文献中找到。 注意通过Parseval定理,如对于差异，经过一些推导（见附录A）我们得到了频域表达式:
(17)
所以整个表达可以写成:
(18)
bull;由于我们假设fn是已知的，所以是一个常数。因此，如果我们使用符号K来表示所有常数项，则表达式（13）可以简化为:
(19)
M步骤：MAP制定规定额外的正则化添加到表达式（19）中以实现最大化。 请注意我们正规化和H，因为它们是参数我们可以调。 我们知道应该是顺利先验的，因为这通常没有明确表达。作为的概率分布，我们提出两个在实践中运作良好的方法：
- 我们为粗糙度或不规则性添加法则，表达式（19）中的，它表现为一个高通滤波。让高通滤波器为V，如拉普拉斯算子或高斯拉普拉斯算子运算符，并且使正则化的量由参数控制，这取决于图像的性质。 它可以被许多不同的方案选择。 方程（19）的非常数项在一起。我们经过一些简化后
(20)
我们经过一些简化后设置。
(21)
As0, 用/2，我们得到 ：
(22)
- 当速度或内存存储是一个问题时，例如当我们在相机中进行恢复时，我们可以将设置为一个未知的常量，这意味着我们假设信号是白色的。这是伪逆滤波在普通图像恢复中的扩展。在这种情况下，不要使用正规化的等式(21)，我们只需要从等式(22)中得到估计的平均值。
(23)
下一步是要从成像方程中更新，我们知道是观察到图像估计对象的比值，即：
(24)
第二个表达式是首选，因为我们也有使用，它融合了我们对图像光谱的先验结论。 对的先验约束需要一个不同的策略。 之后，关于的知识很少以pdf的形式给出。相反，我们通常知道，我们所拥有的属于所有可能模糊的一个子集。 例如，通常有一些对称性（图1），
图1“狒狒”测试图像
- (b)
(c) (d)
图 2.模拟图像恢复：（a）模糊图像，（b）通过我们的第一种方法恢复的图像，（c）我们的第二个图像恢复的图像方法，（d）通过ML方法恢复的图像。
我们甚至可以知道模糊的本质（例如散焦）。 我们代表这样的知识与一个集合CH，其中包含所有候选人可能的模糊。 该集合对于非负性，有限支持约束和散焦模糊是凸的，并且如果预先估计模糊方向，则该凸集也用于运动模糊。因此，通过以下优化问题找到的最佳估计：
约束条件：. （25）
根据先验知识的数量，我们可以没有的分析表达式; 然而，因为它是一个凸优化问题，存在快速算法计算得到。最后注意，在每次迭代中，恢复的图像的维纳滤波器估计的傅里叶
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