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附录A 译文
利用周期性电极阵列的谐波导纳从计算机实验中提取SAW/LSAW COM参数
文 摘
提出了一种新的确定声表面波和泄漏声表面波特性的数值方法。用格林函数法模拟了由周期电压驱动的无限周期换能器。我们发现，随着驱动电压周期性的轻微改变，可以从导纳的变化中提取模式参数的耦合和色散关系。这里首先介绍的方法大大节省了计算时间。
Ⅰ.引言
模的唯象耦合(COM）模型[l]，[2]在高性能声表面波(SAW）滤波器的设计中至关重要。然而，该模型的准确性取决于必须为每个基板和电极材料以及所用手指结构明确指定的参数。由于这些参数的实验测定既费时又费时，基于有限元法（FEM）[3]和严格的格林函数和边界元法（BEM）技术[4]-[12]的数值方法已经开发出来。
格林函数方法可分为两类。在本征模分析中，考虑了电开路或短路结构中的自由传播波。在连续周期之间的弹性场和电场中，可以发现一个未知的相移（或波数）作为频率的函数。作为结果，得到了色散曲线。这种方法的一个局限性是，与外加电压的耦合不容易分析。此外，还需要复数波数的格林函数，这就要求对实参数格林函数延拓到复平面[10]，[13]进行一些额外的假设
本征模分析的另一种方法是对发电问题的分析。该系统直接在外部驱动器下建模。由于发电问题通常直接对应于实验情况，并自然导致结构的电导纳计算，因此发电分析的结果比本征模态分析的结果更容易解释。因此，这里首选生成方法。COM参数由计算的导纳曲线的特征确定。
除了精度和可靠性的要求外，数值模型的模拟时间必须足够短，以便在实践中有用。尽管在计算机性能方面有着惊人的进步，但CPU方面的考虑极大地限制了可以建模的系统的大小。为了减少计算时间，我们设计了一个简单的无限周期换能器。然而，这种结构的导纳是一条光滑的谐振曲线，只有很少的特征点。波速和耦合系数的代数组合指定了COM表达式中共振峰的位置[14]；因此，参数不能唯一确定。
已知[ll]，[15]周期光栅中电极的互导纳可以通过傅里叶变换所谓的谐波导纳来计算，谐波导纳是用连续电极之间驱动电压的相移模拟的结构导纳，作为相移的函数。然而，由于该过程必须对所有感兴趣的频率重复，因此该方法的计算量相当大。此外，需要对LSAW和SAW本征模的贡献进行特殊处理[16]。
在本文中，我们提出了一种新的相移方法来确定COM参数。推导了在相移驱动电压作用下周期换能器导纳的COM表达式。哪怕是最有效率的一点点。采用格林函数模型模拟了有无相移情况下的导纳。除去静态电容对导纳的贡献后，由相移引起的相对变化直接揭示了COM本征模的色散关系。根据这一点和无位移导纳曲线的形状，可以确定所有COM参数。然而，必须强调的是，在谐波导纳法[ll]的框架内，可以计算具有有限个活动指的实际设备的特性。然而，在我们的方法中，采用了COM模型。因此，位移的范围显示出速度和耦合系数的解耦
1997年8月20日收到手稿；1998年12月16日接受。这项研究得到了瑞士贝瓦克斯的Micronas Semiconductor SA的支持；芬兰埃斯波的米克罗纳斯·奥伊；诺基亚集团；以及芬兰技术发展中心的特克斯。
J. Koskela和M. M. Salomaa与材料物理实验室，赫尔辛基工业大学（HUT），FIF-02015 HUT，芬兰（电子邮件：julius@focus.hut.fi).
V.P.Plesky曾在瑞士贝瓦伊Ch-2022年的查彭斯PrBs美光半导体公司工作。目前所属公司：Thomson Elektronenrohren AG，SAW设计局，Fahys 9，CH-2000 NeuchMel，瑞士。
图1.本数值实验考虑了相移周期换能器。
本文的应用仅限于COM模型。文中给出了数值例子和计算图来说明我们的方法。附录中总结了所采用的格林函数。
Ⅱ.COM理论
A.移相方程式
考虑无限周期性电极结构，如图1所示。该系统由连接到连续电极的交流电压V/2驱动。然而，假设存在轻微的空间失配，因此相邻边缘之间的电压会产生微小的相移。我们可以把这一过程看作是一个在实践中或至少在原则上可以实现的数值扩展。所有场均以频率f振荡，并且eipi;ft因子在整篇论文中被抑制。
在唯象理论[1]，[2]中，换能器中的三次波由两个标量场R（x）和S（x）描述，分别代表在正负x方向传播的模式。表面电极的存在改变了模式的相速度，并在模式之间引入了耦合。对于缓慢变化的振幅，COM方程稍作修改，以包括小相移p的影响——采用以下形式：
（1）
（2）
（3）
这里delta;是失谐参数。
（4）
lambda;0=2p是电极结构的周期性。星号（*）表示复合共轭。标准COM参数列表，标准化为结构的周期性和孔径W，表1所示泄漏波的色散效应和额外体波产生aut高频[17]也可以考虑，但此处不考虑。
B.COM本征模和导纳
因为（1）-（3）形成了一个非齐次的一阶微分方程组，所以通解由一个均匀部分（由两个本征模引起）和一个描述由外加电压引起的场的特定解组成。同质部分是：
(5)
其中COM本征模波数为
(6)
对于波长等于外加电压周期的波，特解为
(7)
方括号中的第一项是通常的贡献，第二项完全是由于相移。两者都跟随驱动电压，但耦合强度取决于失谐和相移。
在超长换能器（gamma;L～l）中，共模本征模负责结构末端附近振幅的变化，并作为频率的函数对电流产生振荡，但强迫解引起的共振-反共振模式决定了器件的导纳。显然，对于这里所考虑的内隐结构，只有特定的解是有意义的。将（7）代入（3）得到局部电流密度j（x）=dI/dx：
(8)
假设换能系数和耦合系数为实数。通常情况下，传感器是完全双向的，并向两个相反方向均匀激发波。然而，相移在结构中引入了不对称性，导致在相反方向传播的波的振幅比
(9)
这可能与统一有很大不同。出于我们的目的，可以方便地引入一个局部导纳，我们可以通过COM模型和数值计算（见下文）。将局部电流密度（8）除以驱动电压V e 8“，并在单位周期内积分，我们得到：
(10)
这是期望的结果：在COM模型的框架内，它描述了无限周期换能器在轻微相位失配驱动电压下的单位周期导纳。与数值模拟相比，这个概念的主要优点是方便。在下文中，它将被称为相移导纳。
图2.作为频率函数的周期传感器的典型导纳。
（a） 实线和虚线分别是实部和虚部。
（b） 实曲线和虚线是对数标度上的幅值，以及小相移beta;lambda;0=（0..2·103）x2pi;的影响。选择用于表示特征点的参数是共振和反共振频率、共振峰的高度和宽度，以及阻带的高频边缘。
C.周期传感器
如果相移B为零，则结构为简单的内周期换能器，相移导纳减小为：
（11）
图2（A）显示了作为频率函数的典型导纳曲线。设Y和Y分别表示导纳的实部和虚部。实部Y最大值（即共振频率）的频率的确定很简单：
（12）
以及共振峰的高度：
（13）
半最大值Y=Yr/2时的峰全宽：
（14）
刚刚提到的标准化COM参数在表I中定义。虽然从（11）中看不出明显的变化，但周期传感器的导纳只有四个独立的自由度。因此，为了计算电容，在（12）-（14）中定义的量携带了曲线中包含的所有信息。由于谐振器的中心频率fo和参数K~仅出现在（12）的组合中，因此它们不能由导纳确定。
借助质量因素Qequiv;fr/Delta;f 对于共振峰，衰减的实部和虚部可以用以下形式表示：
（15）
和
（16）
在大失谐（delta;→infin;）下，电容C可根据式（11）确定。它决定了（16）的零点，即反共振频率。将（16）等于零收益率：
（17）
此外，如果Q2（far/fr-1）2gt;gt;1分母中的统一性可能会被忽略。代以（13）及（14）在（17）中，近似表达式[14]
（18）
已获得。这里，符号sf表示共振频率和反共振频率之间的差异，量delta;f/f0称为共振-反共振距离。假设a：与常规量Lv/v成比例，我们得到的结果是delta;f/f0～Delta;v/v，这是在[14]中得到的。
或者，可以将反共振频率far（而不是Cp）视为可观测的，类似于fr、Yr和Q.然后，从导纳曲线中提取Cp，和（18）提供转导参数的估计值alpha;p，它独立于衰减gamma;p。前面描述的参数提取适用于测量曲线和数值模拟曲线。在下一节中，将显示相移导纳，以提供重要的附加信息。
上述参数提取适用于测量曲线和数值模拟曲线。在下一节中，将显示相移导纳，以提供重要的附加信息。
D.相轴驱动电压
当相移从零变为一个小但有限的值beta;时，导纳从Y（0）变为相移导纳Y（beta;），如图2（b）所示。从（10）和（11）中，发现差异为：
（19）
根据前面的讨论，静态电容CP可根据未移动的容许量确定，因此其贡献可从Y（beta;）中减去。将残余声导纳除以（19），几个因素相互抵消，可以得出：
（20）
然而，（20）右侧的表达式可以表示为（6）的平方，即结构的COM本征模的波数。因此，我们可以这样写：
（21）
这是本文的主要结果。假设由COM模型给出，则该公式不应被视为色散关系，而应被视为寻找色散关系的数学技巧。因为（6）也可以用以下形式表示：
（22）
通常被称为COM色散关系，1可以从两条已知的导纳曲线中提取速度v和耦合系数kp，Y（0）和Y（P）。其余的参数可以通过前一节中描述的特征点或通过将COM结果与非移位导纳曲线进行数值拟合来确定。这里首选前一种方法。参数提取过程如图3所示。
与从本征模分析中获得的色散曲线相反，由于（21）中的色散曲线是从特定溶液（7）中获得的，因此确定的参数直接描述了传感器中的激发场，而不是短光栅本征模的激发场（见附录B部分）。通常，COM参数被视为常数，但[17]-[19]中也提出了包括色散效应的扩展模型，用于SAW和LSAW。
图3.用相移法提取COM参数和（括号中）使用的方程式。
根据导纳曲线Y（f，O），可以确定电容C。在COM模型的应用范围内，在小相移（21）下导纳的相对位移直接产生色散曲线A（f），从而产生中心频率f o和耦合系数np。已知这些参数后，可根据谐振频率f T周围导纳曲线Y（f，0）的特性确定剩余的COM参数。
1“实际上，确定阻带的边缘可能最容易，delta;=plusmn;k。例如，可以从相应位置处的量Re{Delta;-2（f）}的符号变化中找到：频率。
Ⅲ.示例
A.YZ-LiNbO3上的SAW模拟
考虑在YZ切割铌酸锂衬底上的单电极换能器中的SAW，其金属化率为a/p＝0.5，铝电极的相对厚度h/lambda;0在0至2.5%之间。采用附录中总结的格林函数模型来模拟结构的导纳，即相移beta;=0和beta;lambda;0=2pi;·10-3。采用自适应算法最小化使用的频点数量。按照第Ⅱ节中描述的程序提取COM参数，并在图3中进行总结。基板和电极的材料参数分别取自[20]和[21]。模拟分别在MatLab 5.2平台（Math-works，Inc.，马萨诸塞州纳蒂克）上运行，每次运行约12分钟，在一台配有200 MHz奔腾Pro处理器的PC上运行（英特尔公司，加利福尼亚州圣克拉拉）。
除了不现实之外，在考虑数值计算时，理想SAW也有一些问题。因为它们在自由表面上不衰减，gamma;p消失，根据（14），共振的Q值变得无限大。因此，使用第2节中描述的方法提取参数变得不可能。由于这些原因，在格林函数中引入了现象学衰减参数（见附录a部分）。衰减
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