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14
数字信号处理
14.1傅里叶变换
简介bull;CT信号的经典傅里叶变换bull;
CT周期信号的傅立叶级数表示bull;广义的
复数傅立叶变换bull;DT傅立叶变换bull;关系
CT和DT光谱之间bull;离散傅立叶变换
14.2傅里叶变换和快速傅里叶变换
离散时间傅里叶变换（DTFT）与
Z变换bull;属性bull;有限时间的傅立叶变换
W. Kenneth Jenkins 序列bull;LTI离散系统的频率响应bull;
伊利诺伊大学 离散傅立叶变换bull;DFT的性质bull;关系
Alexander D. Poularikas DFT和傅立叶变换之间bull;功率，振幅和相
阿拉巴马大学亨茨维尔分校 位光谱bull;观测bull;数据窗口bull;快速傅立叶
Bruce W. Bomar 变换bull;计算逆DFT
田纳西大学空间研究所 14.3数字滤波器的设计和实现
L. Montgomery Smith 有限冲击响应滤波器设计bull;无限脉冲响应
田纳西大学空间研究所 滤波器设计bull;有限脉冲响应滤波器实现bull;
James A. Cadzow 无限脉冲响应滤波器实现
范德比尔特大学 14.4信号恢复
简介bull;属性集：闭合子空间bull;属性集：
闭凸集bull;闭投影算子bull;代数
矩阵的性质矩阵的结构性质
非负序列逼近bull;指数信号和
数据矩阵bull;数据的递归建模
14.1傅里叶变换
W. Kenneth Jenkins
简介
傅里叶变换是一种数学工具，用于将信号扩展为正弦曲线组件来促进信号分析和系统性能。在某些应用中傅立叶变换用于频谱分析，或用于调整不同频率的相对贡献的频谱整形过滤结果中的组件。在其他应用中，傅里叶变换对其能力很重要将输入信号分解为不相关的分量，以便更有效地进行信号处理在各个频谱成分上实现。傅里叶变换的解相关性质在频域自适应滤波，子带编码，图像压缩和变换编码中是很重要的。
经典傅立叶方法如傅立叶级数和傅里叶积分被用于连续时间（CT）信号与系统，即，其中信号在t的所有值上连续定义的系统。包括离散时间（DT）傅里叶变换和离散傅里叶变换（DFT）的最近开发的一组离散傅立叶方法是用于DT信号和系统的基本傅立叶概念的扩展。DT信号仅在范围内的整数值n中定义。DT 傅里叶方法作为数字信号处理（DSP）的基础特别有用，因为它将经典傅里叶分析的理论扩展到DT信号，并导致许多有效的算法可以直接在通用计算机或专用DSP设备上实现。
CT信号的经典傅里叶变换
一个CT信号s（t）及其傅里叶变换S（jw）形成一个变换对，它们由方程 （14.1）关联，用于任何s(t)的的量，积分(14.1a)收敛:
(14.1a)
(14.1b)
在大多数文献中，方程(14.1a)简称为傅立叶变换，而方程(14.1b)称为傅里叶积分。关系表示s(t)的傅里叶变换，其中F{ }是积分运算符的符号表示法，其中omega;是以弧度表示的连续频率变量。只有满足保证傅里叶积分收敛的条件，变换对就表示一个一对一的可逆映射。
在下面的讨论中，符号用于表示对所有tne;0定义为零，t = 0时未定义的CT脉冲函数，并且在整个范围内积分时具有单位面积。从公式(14.1a)可以发现，由于的筛选特性，。同样，从方程(14.1b)我们发现，所以和是傅里叶变换对。通过使用这些关系，可以很容易地建立和的傅里叶变换以及许多其他有用的波形，其中许多波形在表14.1中列出。
CT傅立叶变换在CT系统的分析和设计即处理CT信号的系统中是很有用的。傅立叶分析特别适用于以Fourier幅度和相位谱为特征的CT滤波器的设计，即 和，其中通常称为滤波器的频率响应。
CT傅里叶变换的性质
CT傅立叶变换具有许多特性，可用于线性CT系统的分析和设计。本节总结了一些有用的属性，而表14.2给出了更完整的CT傅立叶变换属性列表。这些特性的证明可以在Oppenheim [1983]和Bracewell [1986]等人的文章中找到。请注意，表示傅里叶变换运算，表示傅里叶逆变换运算，“*”表示卷积运算定义为：
- 线性（叠加性）
- 时移性
- 频移性
- 时域卷积
- 频域卷积
- 时域微分
- 时域积分
表14.1 CT傅立叶变换对
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信号 |
傅里叶变换 |
傅立叶级数系数（若存在） |
|
|
||
上述属性在CT系统分析和设计中特别有用，尤其是在系统特性易于在频域中确定时（如线性滤波）。 请注意，属性1,6和7对于求解微分或积分方程很有用。特性4（时域卷积）为许多信号处理算法提供了基础，因为许多系统可以通过它们的脉冲或频率响应直接指定。 性质3（频移）对于分析通常使用不同调制格式的通信系统的性能以在不同频带之间转换频谱能量是有用的。
表14.2 CT傅里叶变换的性质
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名称 |
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定义 |
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叠加性 |
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化简，若 f(t)为奇函数 f(t)为偶函数 |
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负t |
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时域缩放 频域缩放 |
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微分 |
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积分 |
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时移 |
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调制 |
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时域卷积 |
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频域卷积 |
CT采样信号的傅里叶谱
对CT信号s(t)进行以T为周期的均匀采样操作由式(14.2)表示，其中是前面定义的CT脉冲函数：
(14.2)
由于是CT信号，所以适用CT傅立叶变换以获得采样信号的频谱的表达式：
(14.3)
由于方程右边的表达式(14.3)是的一个函数，通常将变换表达为。之后将会说明，如果omega;被归一化频率替换，这样，那么等式(14.3)的右边与直接为序列定义的DT傅里叶变换相同。
CT周期信号的傅里叶级数表示
周期时域信号s(t)的经典傅里叶级数表示涉及将s(t)扩展到由正弦基函数组成的无限系列项，每个项由一个复常数（傅里叶系数）加权，各频率分量组成完整波形。周期信号s(t)可以傅立叶级数展开的条件被称为狄利克雷条件。它们要求在每个周期s(t)中有一定数量的不连续点，有限个最大值和最小值，并且s(t)满足方程(14.4)的绝对收敛准则。[Van Valkenburg，1974]：
(14.4)
在下面的讨论中假设所有的函数都满足狄利克雷条件，这些函数将用傅里叶级数表示。
指数傅里叶级数
如果s(t)是周期为T的CT周期信号，那么s(t)的指数傅里叶级数展开为：
(14.5a)
其中，项是由下式给出的复数傅立叶系数：
(14.5b)
对于s(t)连续的每一个t值，方程(14.5a)的右边收敛于s(t)。在t的值处s(t)具有有限的跳跃不连续性，等式(14.5a的右边收敛于s(t-)和s(t )的平均值，其中:
例如，图14.1所示的锯齿波形的傅立叶级数展开的特征表现为，，，且对于n=1,2,3...有。由方程(14.5b)给出的指数傅里叶级数系数可以解释为s(t)的频谱表示，因为系数表示频率分量对完整波形的贡献。由于一个项是复数值，所以傅立叶域（谱）表示具有幅度和相位谱。例如，对于图14.1的锯齿波形，a值的大小绘制在图14.2中。一个项构成离散集的事实与周期性信号具有线谱的事实一致；即
图14.1傅立叶级数示例中使用的周期性CT信号
图14.2 图14.3中例子的傅立叶系数的大小
该频谱仅包含基频的整数倍。因此，方程组(14.5a)和(14.5b)可以被解释为与周期信号的CT傅里叶变换类似的变换对。这导致了这样的结论：经典傅立叶级数可以被解释为提供离散谱域和CT域之间的一对一可逆映射的特殊变换。
三角傅里叶级数
尽管傅立叶级数展开的复数形式对于复数周期信号是有用的，但傅立叶级数可以更容易地用实值周期信号的实数正弦和余弦函数表示。在下面的讨论中，为了简化讨论，将假定信号s(t)是实值的。当s(t)是周期性的且实值时，用包含和项的三角展开式来代替傅里叶级数的复指数形式是方便的，并且具有相应的实值系数[Van Valkenburg，1974]。实数值信号s(t)的傅里叶级数的三角形式由下式给出：
(14.6a)
其中， 和项是由实数值傅立叶系数确定的：
(14.6b)
图14.3傅立叶级数示例2中使用的周期性CT信号
图14.4图14.3中例子的傅立叶系数
任意实数值信号s(t)可以表示为偶数和奇数分量的和，其中，并且其中，。对于三角傅立叶级数，可以这样表示，由无限级数中的（偶数）余弦项表示，由（奇数）正弦项表示，而信号的直流成分。因此，如果可以通过检查确定信号具有直流电平，或者如果它是偶数或奇数，则可以选择正确形式的三角级数来简化分析。例如，很容易看到图14.3所示的信号是一个直流电平为零的偶数信号。因此，它可以用的余弦级数精确地表示，如图14.4所示。另一方面，前面例子中使用的锯齿波形是一个具有零直流电平的奇数信号
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