Trajectory optimization for soft landing of fast-switching electromagnetic valves
T. Gluuml;ck lowast; W. Kemmetmuuml;ller lowast; A. Kugi lowast;
lowast; Automation and Control Institute, Vienna University of Technology,
Gusshausstrasse 27–29, 1040 Vienna, Austria
(e-mail: {glueck, kemmetmueller, kugi}@acin.tuwien.ac.at)
Abstract: The design of a feedforward controller that facilitates soft landing and time optimality of a fast-switching electromagnetic valve is presented. In particular, a mathematical model of the considered pneumatic switching valve is developed and parametrized by means of nonlinear parameter identification. Based on this model, the input constrained point-to- point quasi-time-optimal control problem is formulated and the resulting two-point boundary value problem is numerically solved. Due to the input constraints, the quasi-time-optimal control trajectories show bang-bang behavior. The performance of the numerically determined trajectories are demonstrated by means of measurement results on an experimental test bench.
Keywords: electromagnetic valve, fast-switching valve, soft landing, feedforward design, optimal control
- INTRODUCTION
Fast-switching solenoid valves are used in various fields of applications. For instance in the manufacturing industry, fast sorting tasks are performed by means of short air pulses. In automation applications, pneumatic piston ac- tuators are often controlled by means of pneumatic pulse- width modulation and in the automotive industry, internal combustion engines are controlled by variable gas exchange timings. Common requirements of these applications are short switching times and minimal impact velocities of the plunger in order to eliminate acoustic noise, to avoid damage of mechanical components or at least to reduce mechanical wear. Different approaches reported in the literature address the soft landing problem, covering cycle adaptive controllers such as repetitive learning control (Tai et al., 2001), iterative learning control (Hoffmann et al., 2003) and extremum seeking (Peterson and Stefanopoulou, 2004). Feedback control strategies using state observers have been reported by Eyabi and Washington (2006); Peterson et al. (2006). Koch et al. (2002); Chung et al. (2007); Chladny and Koch (2008) enhanced these concepts by feedforward controllers, which are designed by exploit- ing the differential flatness properties of the underlying mathematical model. In order to minimize the transition time of the plunger from one valve seat to the other, the allowed input voltage range should be fully utilized. The flatness-based design methodology, however, does not allow to incorporate these constraints. One possibility of considering the input constraints in the flatness-based design is to assume a specific smooth trajectory shape,
ered solenoid valve is developed, which is parametrized by nonlinear dynamic least-squares identification in Section 3. The optimal control problem is formulated in Section 4 and numerical results are shown in Section 5. Measure- ment results from an experimental test bench are given in Section 6.
- MATHEMATICAL MODEL
The mathematical model of the considered fast-switching valve can be separated into three subsystems: the model of the electromagnetic subsystem, the mechanical subsystem and the pneumatic subsystem. Since measurement results of the considered fast-switching valve confirm that the valve is pressure-balanced, the pressure forces acting on the plunger will be neglected. In addition, it will be assumed that the flow force is small in comparison to the magnetic force. Since no internal feedback from the pneumatic dynamics to the electromechanical subsystem is considered, the optimal control problem can be formulated with the pneumatic subsystem being neglected.
-
- Electromagnetic subsystem
In Figure 1, the equivalent magnetic circuit of the fast- switching valve is given. It comprises the flux-dependent effective core reluctance Rfc(Phi;fc), the effective reluctance Rfp of the plunger, the effective reluctance Rg(s) of the air gap between the core and the plunger, and the reluctance Rl which accounts for the leakage fluxes. The reluctances are modeled as
cf. Petit et al. (2001); Chung et al. (2007).
In this work, a feedforward controller for a fast-switching
Rfc
(Phi;fc
) = lfc
micro;0micro;fc(Phi;fc)Afc
ll
, Rfp
= lfp ,
micro;0micro;fpAfp
2s
(1)
solenoid valve is designed by point-to-point quasi-time-
optimal control, which enables the incorporation of input
Rl =
micro;0Al
, Rg(s) =
.
micro;0Ag
constraints in a direct way. The work is structured as follows: In Section 2, a mathematical model of the consid-
Here, lfc, lfp, and ll are the effective lengths of the core, the plunger, and the leakage flux lines, respectively. Afc,
Copyright by the
International Federation of Automatic Control (IFAC)
11532
Phi;fc
plunger
cc,u
dc,u
su
sl
cc,l
dc,l
mv
cv
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快速切换电磁阀软着陆的轨迹优化
摘要：介绍了一种有助于快速切换电磁阀的软着陆和时间最优化的前馈控制器的设计。 具体而言，通过非线性参数识别来开发和参数化所考虑的气动开关阀的数学模型。 在此模型基础上，给出了输入约束点到点准时间最优控制问题，并对得到的两点边值问题进行了数值求解。 由于输入约束，准时间最优控制轨迹显示了爆炸行为。 通过实验测试台上的测量结果来证明数值确定的轨迹的性能。
关键词：电磁阀，快速切换阀，软着陆，前馈设计，最优控制
1.介绍
快速切换电磁阀用于各种应用领域。 例如在制造业中，快速分选任务通过短脉冲进行。 在自动化应用中，气动活塞式执行器通常通过气动脉宽调制进行控制，在汽车行业中，内燃机由可变气体交换时机控制。 这些应用的共同要求是短切换时间和柱塞的最小冲击速度，以消除噪声，以避免损坏机械部件或至少减少机械磨损。 文献中报道的不同方法解决了软着陆问题，其中包括循环自适应控制器，如重复学习控制（Tai et al。，2001），迭代学习控制（Hoffmann et al。，2003）和极值搜索（Peterson and Stefanopoulou，2004 ）。 Eyabi和华盛顿（2006年）已经报告了使用国家观察员的反馈控制策略; Peterson等人 （2006年）。 Koch等人 （2002年）; Chung等人 （2007年）; Chladny和Koch（2008）通过前馈控制器增强了这些概念，前馈控制器是通过利用底层数学模型的差分平坦性来设计的。 为了最小化柱塞从一个阀座到另一个阀座的过渡时间，应该充分利用允许的输入电压范围。 但是，基于平坦度的设计方法不允许纳入这些限制条件。 考虑基于平坦度设计的输入限制的一种可能性是假设特定的平滑轨迹形状，比照 Petit等人 （2001年）; Chung等人 （2007年）。
在这项工作中，一个用于快速切换的前馈控制器电磁阀采用点对点准时间设计，
最优控制，使得输入成为可能直接约束。 这项工作的结构如下：在第2节中在第3节中通过非线性动态最小二乘识别进行参数化。最优控制问题在第4节中阐述，数值结果在第5节中给出。实验测试台的测量结果在第6节中给出。
2.数学模型
所考虑的快速切换阀的数学模型可分为三个子系统：电磁子系统模型，机械子系统和气动子系统。 由于所考虑的快速切换阀的测量结果证实该阀是压力平衡的，所以作用在柱塞上的压力将被忽略。 另外，将假设流动力与磁力相比较小。 由于没有考虑从气动力学到机电子系统的内部反馈，因此可以忽略气动子系统来制定最优控制问题。
-
- 电磁子系统
在图1中，给出了快速切换阀的等效磁路。 它包括磁通量依赖性有效磁芯RFC（Phi;FC），柱塞的有效磁阻RFP，磁芯与磁芯之间气隙的有效磁阻Rg（s）柱塞以及说明泄漏通量的磁阻Rl。 磁阻被模拟为
这里，lFC，lFP和ll分别是铁芯，柱塞和漏磁通线的有效长度。 AFC，
图1.快速切换阀的磁阻模型。
AFP和Al是相应的有效区域。 气隙的有效长度为2s，因为芯子和柱塞之间有两个气隙， 图2.相应的区域用Ag表示。 此外，mu;0表示空气的渗透性。 相对渗透率假设柱塞的mu;FP恒定。 然而，核心的饱和现象学建模为
与常数参数ki，iisin;{1,2,3}。 来自磁通势Theta;= N i，其中i是电流，N是绕组的数量，通过线圈的磁通Phi;FC以形式给出
这里，整个系统的等效磁阻R.写作
基于线圈的磁链psi;=NPhi;FC，法拉第定律产生
其中R是电阻，v是施加于线圈的电压。 线圈电流i可以表示就磁链和气隙而言
来自磁能
磁力fm（见图2）可以推断为
2.2机械子系统
整个数学模型由柱塞的质量平衡完成。 图2显示了一个示意图
柱塞
CC，U
DC，U
Su
Sl
立方厘米，升
DC，L
米v
Cv
dv
s，w
缓冲限位
v
磁铁 i
图2.阀门的示意图
快速切换阀的示意图。 这里，w是柱塞速度。 柱塞的质量由mv表示，负载弹簧的刚度由cv表示，粘滞阻尼由于壳体和密封件的摩擦导致的系数为d，柱塞由磁性装载力fm（s，psi;）和接触力fc（s，w）。 后者模拟柱塞与下限和上限挡块的接触，分别在s = sl和s = su达到。 也就是说，fc（s，w）= 0forall;s= [sl，su]。 柱塞的质量平衡读数为
这里，cv1c0 表示由于产生的预加载力负载弹簧。 柱塞的限位挡块通过粘弹性密封件缓冲，其可以通过线性Kelvin-Voigt模型
严格地说，极限停止需要一个开关条件为s = sl和s = su的开关系统。 然而，开关结构可能使最优控制问题非常复杂。 或者，联系人通过tanh函数平滑特征，即
fc（s，w）的陡度可以通过参数eta;l和eta;u进行调整。 此外，beta;l和beta;u表示粘滞阻尼系数。 为了大致遵循在接触点处的线性弹簧特性，规定
参数alpha;l和alpha;u确定了接触模型的最大弹簧力。 图3显示了平滑的接触特性（11）用于参数
beta;u=beta;l= 0和eta;u=eta;l= 1061 / m。
图3.静态接触力模型
3.参数识别与模型验证
数学模型的几个参数不能直接从数据表中确定。 因此，整体模型的参数识别被执行以便将派生模型拟合到测量结果。 首先电磁子系统是参数化的。 为此，磁阻（4）在结构上重新表达等同形式
与参数
来自（5）的具有电阻R的未知参数theta;isin;{R，p1，p2，p3，p4，p5，p6}是从...发现非线性动态最小二乘识别任务
minus;
这里，我m和sm分别是电流和柱塞位置的测量结果。 对于输入电压v中的不同阶段，在时间间隔tisin;（0，T）期间进行测量。图4显示了两个参数化模型的结果不同的电压步长v。结果证实，磁阻模型（4）能够逼近真实以极好的方式控制阀门的电磁行为。对于小电流值，饱和的影响可以忽略不计。 图4（a）。 但是，对于大电流，图4（b）清楚地表明了建模非线性饱和现象的必要性。 另外，电感L = R（s，psi;）/ N2如图4所示。根据（8）从识别的磁阻模型计算磁力fm。 由于温度依赖性和粘弹性材料的滞后现象，所提出的力模型近似真实的粘弹性行为。 因此，通过再次应用非线性动态最小二乘识别从质量平衡（9）识别力学参数失败。 事实上，弹簧常数cv以及预加载力cvlc0是从静止条件下的测量中获得的。 调整接触模型的参数和粘滞阻尼系数dv以近似再现与密封件的接触行为。 基于已开发的模型，下一节将阐述最优控制问题。
4.最优控制问题
具有约束仿射输入u = visin;R的状态向量x = [s，w，psi;]Tisin;R3的数学模型（5）和（9）可以写成
初始条件x0isin;R3。 控制目标是找到一个最优控制ulowast;isin;U = u，u ，保证设定点变化的最小转换时间Tf
minus;
l
同
和终端条件x（Tf）= xfisin;R3。 因此，输入受限的点对点最优控制问题
必须解决。 成本phi;（Tf）= Tf函数J（u）表示时间最优性，而积分项l（u）= ru2/ 2，其中rgt; 0作为一个正则化，以避免奇异的弧形准时间最优控制问题。 介绍汉密尔顿主义者（Bryson和Ho，1975）
伴随状态lambda;isin;R3，并应用一个时间（0，Tf）映射到tau;isin;（0,1）上的变换t = Tftau;，最优控制问题可以用Pontryagin最大原理重新表达（Athans and Falb， 1966年）以两点边界值问题的形式，即
与边界条件
和横向条件
图4.不同电压设定点变化的识别结果。 测得的气隙sm，模拟磁链psi;，测量和模拟电流im和i以及模拟电感L.
由自由结束时间Tf产生。 上标lowast;是指最佳变量。 由于输入仿射系统表示（16），可以明确地解决最小化问题（21c），导致最优控制功能
同
请注意lambda;Tb =lambda;3。 在每次lambda;3过零时r→0的极限情况下，ulowast;在极限uminus;和u 之间切换。 然后，解决最优控制问题（19）是除了lambda;3= 0之外的爆炸控制。还要注意，对于r = 0，最优控制问题（19）是因为u既不能从最小化问题（21c）也不能从相关的一阶必要条件得到，所以最优控制输入可以从一些总的时间导数中推导出来（奇异的（Bryson，1999） part;H/part;u= 0，参见 Kelley等人 （1967年）。
5.最优控制问题的数值结果
利用Matlab函数bvp4c（）可以得到两点边值问题（21） - （23）的数值解。 Shampine等人。 （2003年）。 图5和图6显示了开放时间最优的点对点转换的数值结果
l= 0，x0= [su，0,0]T）→（uf= vl，xf= [sl 0，psi;l]T）
和关闭
0= vl，x0= [sl，0，psi;l]T）→（uf= vu [su，0，psi;u]T）
在标准化过渡时间tau;isin;（0,1）内的快速切换阀。 这里，vl和psi;l分别表示所得到的设定点电压和磁链，参见。 （18）在上限，以及vu和psi;u下限的设定点电压和磁链。 请注意，对于垂直虚线以外的所有数值解，初始值和最终值保持恒定，仅用于说明目的。 图5（a）给出了打开阀门的最佳状态轨迹。 图5（c）显示了相应的最优电压vlowast;，它接近bangbang，因为在惩罚项中r被选择为非常小的r = 10minus;81 / V2。 此外，图5（c）包含最佳值作用于柱塞。 图5（b）显示了最佳伴随状态。 它们在所考虑的时间间隔开始时表现出振荡。 尽管结合接触模型（11）导致局部数值僵硬模型，但振荡不是数值伪像，而是模型固有的。 接触模型的不同接触刚度cCI，iisin;{u，l}的数值结果证实了这一说法。 图6显示了用r = 10minus;81 / V2关闭阀的类似数值结果。 值得注意的是，在这种情况下，最优控制问题的解决方案并非纯粹是一蹴而就的。 只要lambda;lowast;消失（大约对于tau;isin;[0.4,0.6]），ulowast;也是如此。 如果flowast;消失，就会发生这种情况，这意味着只有弹簧力加速柱塞。 为了确定两点边值问题的数值结果，最优控制问题还通过用SNOPT完全离散化来解决，参见Gill et al。 （2006），导致相同的最优控制轨迹。
6.实施和实验结果
获得的数值结果在实验测试台上验证。 用于驱动电磁阀的功率电子器件可以精确测量电流和电压。 柱塞的位置和速度由激光测振仪（Polytec）获得，测量和控制系统dSPACE 1005用于数据处理。
实验结果揭示了小的模型不准确性，这可能归因于线圈电阻的温度依赖性以及极限停止的接触行为和粘滑效应。 但是，通过稍微移动输入电压的切换点，可以在最短的时间内打开和关闭阀门，并且在极限位置上的速度几乎为零。 图7显示了开放和测量的测量结果在图7（a）中，与数值结果相反，需要tau;m=0.87tau;的标准化开放时间。 很明显，通过应用结构等效输入轨迹，可以使密封处的冲击速度最小化。 这同样适用于图7（b）中的阀门关闭。 在最短时间内，设定点变化需要标准化时间比tau;m=0.84tau;。
7.结论和未来的工作
在这项工作中，介绍了快速切换阀门的时间最优前馈轨迹。 非线性动态最小二乘识别进行参数化所开发的数学模型。 点对点准时间最优控制问题通过Pontryagin的最大原理重新表达，并通过直接方法进行数值求解。 最后，通过测量结果来证明时间最优前馈轨迹的适用性。 未来的工作将解决基于周期的时间最优前馈轨迹自适应问题，以解决时变参数和模型失配问题。
致谢
我们感谢Dr. Dr. Ing-Knut Graichen在制定和解决最优控制问题上的有益讨论。
参考
【1】Athans，M.和Falb，P.（1966）。 最优控制理论及其应用介绍。 麦格劳 - 希尔，纽约。
【2】布赖森，答（1999年）。 动态优化。 艾迪生韦斯利。
【3】Bryson，A。和Ho，Y。（1975）。 应用最优控制。 John Wiley＆Sons，纽约。
【4】Chladny，RR和Koch，CR（2008）。 具有干扰观察器前馈补偿的机电可变气门正时执行器的基于平面的跟踪。 IEEE Transactions on Control System Technology，16（4），652-663。
【5】Chung，SK，Koch，CR和Lynch，AF（2007）。 基于平坦度的汽车电磁阀的反馈控制。 IEEE Transactions on Control System Technology，15（2），394-401。
【6】Eyabi，P.和Washington，G。（2006）。 电磁阀执行器的建模和无传感器控制。 机电一体化，16,159-175。
【7】Gill，PE，Murray，W.和Sauders，MA（2006）。 SNOPT版本7：用于大规模非线性编程的软件用户指南。 网址
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