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通过材料参数调整二维声子晶体的带隙
摘要：
本文的分析主要是从基本波动方程开始，推导出材料参数，之后决定二维声子晶体中混合面内波模的带隙。这些参数包括质量密度比，剪切模量比和散射体与主体材料的泊松比。对于不同的填充方式和晶格形式，我们讨论了这些参数对带隙的影响。通过平面波展开法计算带隙。结果表明，最大带隙将出现在大密度比和剪切模量比下;但是带隙也可能出现在其他的情况下，这取决于填充分数和晶格形式。并且这还表明声阻抗比和波速比都不能独立地确定带隙。本文的分析可应用于人工设计带隙中。
关键词：声子晶体;带隙工程;平面波展开法;材料参数
介绍：
最近，人们特别关注一种新的人造材料-声子晶体[1-12]，它是类似于传统天然晶体和光子晶体的人造周期性弹性结构。声子晶体具有声子带隙的独特特征。因此，声子晶体也称为声子带隙材料。
声子晶体具有许多潜在的应用，例如声学滤波器，噪声抑制等。声子晶体的许多重要应用的前提取决于带隙的存在。因此，我们必须找出调整出可以利用带隙的方法。
声子带隙由几个因素决定，包括结构参数和材料参数。结构参数包括散射体形状，晶格形式等，Kushwaha等人指出，三角形晶格表现出比方形晶格更宽的声子带隙。Vasseur等人发现方形截面散射体的带隙宽度大于圆形截面散射体的带隙宽度。Kuang等人指出，当散射体具有与晶格点的配位多边形相同的形状和取向时，这时实现最大的带隙。
与许多关于结构参数的研究工作相比，人们对材料研究的研究有限。材料参数包括弹性常数，质量密度，波速和声阻抗等。大多数研究都集中在具有特定材料成分的声子晶体上。比较碳-环氧和钨-铝系统，Vasseur等得出结论，弹性常数和质量密度对带隙都很重要;但他们没有给出进一步的定量分析。Kushwaha等人显示了带隙作为剪切模量和密度对比函数的图表。随着剪切模量和密度的差异的增加，带隙变宽。Kushwaha和Sigalas的研究还表明，由高速材料包围的低速材料更有利于产生带隙。Kee等人表明，与带隙相关的材料参数与一些特定声子晶体的比较的阻抗和速度有关。但是，本文将证明这一结论并非完全正确。只有波速的对比不能确定带隙。
所有上述研究都是基于具有特定材料组合的系统的能带结构的计算，并且结论不是通用的。在本文中，我们将从基本波动方程开始，并导出材料参数，直接确定二维声子晶体中混合面内波模的带隙。详细讨论了这些参数对声子带隙的影响。本分析可应用于人工设计或控制声子带隙。
basic方程和平面波展开法
按照我们的目的，我们考虑在弹性背景中设计平行于z轴的弹性圆柱体的二维结构，其中波在xy平面中传播。我们将注意力限制在xy平面（xy模式）中偏振的混合模式。平面波展开法用于获得声子带隙。坐标由晶格常数标准化，即,
谐波方程可以写成:;I,j=x,y
其中mu;（r）是位移分量;是质量密度;是Lameacute;的常数，双下标意味着从1到2的总和。材料参数可表示为
下标1表示散射符，2表示散射符主办。将（2）代入（1）得到公式
是泊松比;是标准化频率;是横波速度。
根据布洛赫定理，位移场可以表示为:(r),i=x,y;
其中k是第一布里渊区域中限制的布洛赫波矢量,也是一个周期函数，因此可以在傅里叶级数中进行扩展,从而我们获得
这里表明了,涉及材料参数有(),填充分数f和结构函数,结构函数本身与散射体形状和倒易晶格向量G有关。可以改写为,,因此，我们可以得出结论，对于xy模式，带隙与两种参数有关：（i）结构参数，包括填充分数f，散射形状和晶格形式（G）;（ii）材料参数，包括质量密度比,剪切模量比,和泊松比.在本文中，我们将关注材料参数对带隙的影响。对于xy模式，材料参数包括,,,。
上面的等式可以写成特征值方程：。其中矩阵N和M可分别上面公式的左侧和右侧获得。
结果和讨论
已经计算了具有形成正方形或三角形晶格的圆柱形散射体的二维声子晶体的带隙。通过反复试验，已经表明通过使用441倒数晶格向量可以实现收敛结果。对于xy模式，考虑由第三和第四最低频带确定的带隙。这是大多数声子晶体的第二个带隙但也是最适用的潜在带隙。标准化的间隙宽度为，对于填充分数和泊松比的典型值，我们对此说明了对数平面中间隙宽度的变化。等高线图为设计的可行性提供了指导，声子带隙可以通过适当选择材料组合来实现
A正方形格子
图1显示了不同泊松比的归一化间隙宽度，填充分数f=0.4，结果表明，归一化间隙宽度的轮廓线与这四个图的右上角的材料参数快速变化。最大带隙，,出现在两者都很大。并且随着这两个参数的增加，范围越来越大。当这两个参数接近1时，没有带隙。带隙在大的值，并且小的值之间是非常狭窄的，因此没有多大的实际讨论意义。
通过密度比，和数模比，我们可以得到相应的一些结论，这些结论可能在控制xy模式的带隙方面起着重要的作用。这个结果与Kee的结果不同。比较图1中的四个等值线图，可以发现散射体和主体的泊松比仅对带隙有轻微影响，至少对于正方晶格来说是有影响的。
图2图中示出了中间隙频率comega;的等高线，其中f=0.4及nu;1=v2=0.4。发现计数器线几乎沿着对角线变化，在该平面图中具有-45°，表示速度比log(cT1/cT2)的增加方向。也就是说，带隙通常大部分出现rho;1/rho;2和mu;1/mu;2，和同时大多出现在与所述速度比的增加更高的频率。
图2显示了中间隙频率的等高线。结果表明，在该平面图中，计数线几乎沿对角线变化，-45°，表示速度比对数增加的方向。也就是说，带隙通常大部分出现在，中，并且随着速度比的增加，在较高的频率上将会同时出现。
图1 图2
B.三角形格子
对应于图1，图3示出了具有f=0.4的三角形晶格的带隙。对于正方晶格，结果与图1中所示的结果基本相同。然而，如果将这四个图相互比较并将它们与图1进行比较，则发现泊松比的影响在三角形格子中比在正方格中更明显，并且主体材料的泊松比（k2）对带隙的影响大于散射体的影响。例如，图3(a)和图3(c)（nu;2=20）是相似的，图3(b)和图3(d)也是如此(nu;4=20)。但后两者与前两者的不同之处在于小rho;1/rho;2和大mu;1/mu;2。因此带隙的存在和宽度也取决于泊松比，特别是主体材料的泊松比。
为了详细检查填充分数的影响，我们取nu;1=V2=0.2并分别计算标准化的带隙宽度与正方形格子和三角形格子的填充分数。从这三种情况的结果：rho;1/rho;2=100和mu;1/mu;2=0.01，rho;1/rho;2=mu;1/mu;2=0.01，和rho;1/rho;2=0.01和mu;1/mu;2=100，我们可以发现带隙几乎没有对于正方形点阵和三角形点阵，出现在rho;1/rho;2=0.01和mu;1/mu;2=100，对于三角形点阵，带隙也不会出现在rho;1/rho;2=mu;1/mu;2=0.01处。其他情况的结果如图4所示。对于正方晶格，窄带隙出现在rho;1/rho;2=100和mu;1/mu;2=0.01（实线）;并且出现在rho;1/rho;2=mu;1/mu;2=0.01（虚线）处的带隙宽度随着填充率而增加。对于三角形晶格，、rho;1/rho;2=100和mu;1/mu;2=0.01的虚线表明，对于较低的填充分数，可能出现窄带隙rho;1/rho;2和mu;1/mu;2。
特别地，不仅是最后部分的分析，而且数值示例表明声阻抗比和横向速度比不能独立地确定带隙。例如，在图4中，方形晶格的带隙在rho;1/p2大，在某些填充分数上小mu;1/mu;2，但从不小rho;1/rho;2和大mu;1/mu;2。然而，这两种情况下的潜在声阻抗比是接近甚至是相同的。很明显，只有阻抗比不能控制带隙。此外，在大rho;1/rho;2和mu;1/mu;2的所有情况下，带隙变得更宽，rho;1/rho;2增加，并且在这种情况下横波速度的比率更小。也就是说，只有速度比不能控制带隙。因此阻抗比和速度比都不能独立地确定xy模式的带隙。
图3 图4
结束语
在本文中，通过计算具有不同填充分数和晶格形式的二维声子晶体，详细讨论了这些参数对面内（xy）波模式的声子带隙的影响。从计算结果我们可以得出以下结论：
- 对于当前的面内波模，确定声子带隙的材料参数包括质量密度比rho;1/rho;2，剪切模量比mu;1/mu;2，以及两种组分材料的泊松比1nu;和2nu;
- 在所有考虑的情况下（正方形或三角形晶格），带隙容易出现在大质量密度比rho;1/rho;2。并且随着这两个参数的增加，剪切模量比和mu;1/mu;2变得更宽。也就是说，为了获得宽带隙，有利的是将大密度硬质材料嵌入小密度软质材料中。当这两个参数都接近1时，不会出现带隙。
- 随着速度比的增加，带隙主要出现在较高频率处。
- 带隙对三角形晶格的泊松比比对于正方晶格更敏感。并且主体材料的泊松比的影响更明显。
- 阻抗比和速度比都不能独立地确定带隙。
致谢
作者对中国国家自然科学基金（No.10632020），德国研究基金会（No.ZH15/11-1）以及中国国家留学基金委员会和德国学术交流中心提供的支持表示感谢（No.D/08/01795）。
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