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第六章 湍流闭合技术
6.1 湍流闭合问题
如下证明：湍流方程组中未知数的数量大于方程的数量。若没有预测或诊断方程，则变量是未知的。当方程包含这些未知变量时，就会产生更多的未知数。因此，任何有限方程组对湍流的描述是不闭合的。也就是说，湍流全部的统计描述需要无限个方程。这个问题被称为闭合问题。该问题是Keller和Fridmann在1924年首次发现，并且与湍流的非线性特点相联系。他仍是经典物理学中未解决的问题之一。
为证明闭合问题,在3.5.3式中，平均量的预报方程组，都至少含有一个湍流项，例如位温中含有.像这样的量被称为双相关量或二阶统计矩。为消除这种未知，在4.4.3中使用预报方程。但是，该方程该方程又包含了新增的三阶矩，例如。可想而知，如果写出该三阶矩的方程，其中又会包含四阶矩量。
但是，由于实际代表九个量，每一个值都有i和j方向，使得问题更加复杂。在9个量中，由于张量矩阵中的对称性，有6个是未知的（例如,。表6-1给出了湍流动能方程的类似问题. 如表6-2中所示的动量相关性，在考虑对称性后，有一种简单的方法可以预测未知数的闭合水平。 在完整的运动方程中，还有其他的未知因素，例如压力相关性和粘度相关量。
表6-1 简化的例子显示了各种动量统计矩的方程式和未知数，证明了湍流的闭合问题。 整套方程包括更多的未知数。
表6-2 相关三角形指示各种湍流闭合水平的未知数，仅用于动量方程。 请注意这些三角形中的模式，其u，v和w统计分别位于它们各自的顶点，以及两者之间的交叉相关性。
为了使湍流的数学或统计描述易于处理，一种方法是仅使用有限数量的方程，然后用已知量近似剩余的未知数。这种闭合近似或闭合假设是通过保留的最高阶预测方程来命名的。以表6-1中的方程为例，对于一阶闭合，保留第一个方程并近似二阶矩。类似地，二阶闭合保留前两个方程，并且近似包含三阶矩的项。
一些闭合假设仅利用特定类别中可用的方程的一部分。 例如，如果湍流动能方程、温度和湿度方差与表6-1中的一阶矩方程一起使用，则结果可以归类为一又二分之一阶闭合. 它显然不会是完整的二阶闭包，因为并不是所有二阶矩的预测方程（即通量）的预测方程都保留下来，但它比一阶闭包的阶数高. 可以类似地定义零阶闭包和半阶闭合方法。
文献中出现了两种主要的湍流闭合观点：局部闭合和非局部闭合。 局部和非局部方法都是不准确的，但对于设计参数化的物理环境来说，都能较好体现。
对于局部闭合，空间中任意点处的未知数量能够通过某个点处的已知量的值和或梯度来参数化。局部闭合假定湍流与分子扩散类似。下一节中的唐纳森的例子说明了局地二阶闭合.
对于非局部闭合，一个点处的未知量通过空间中许多点的已知量的值进行参数化。假定湍流是涡旋的叠加，每个涡旋像对流过程一样传输流体。非局部方法主要用于一阶闭合问题。 表6-3总结了气象文献中经常出现的一些闭合方法。 一般而言，高阶局部闭合和非局部闭合产生比低阶更准确的解决方案，但是这样做会增加复杂性.
表6-3 闭合技术的分类在文献中经常出现。整体和相似性方法将在第9,11和12章中详细讨论。
阶数 局部 非局部 其他
6-2
无论使用何种阶数的闭合，都存在未知的湍流项，必须将其作为已知量和参数的函数进行参数化。已知量是预测或诊断方程式保留的量。例如，对表6-1中方程，如果要使用二阶闭合，未知量可以被参数化为和的函数,这是因为有这些量的预测方程。必须记住的是，表6-1中的方程只是整个方程组的一个子集，因此二阶闭合也可以使用其他已知的一阶和二阶矩，如，或.参数通常是一个常数，其值由经验确定。 例如，参数可以是单独的项，乘法常数或者幂或指数的值。
根据定义，参数化是对自然值的近似。 换句话说，我们用一些人为构造的近似来代替描述数值的真实方程。有时使用参数化是因为真正的物理值尚未被发现。其他时候，由于成本或计算机的限制，已知的物理结构太复杂，无法用于特定的应用。参数化基本是不完善的，但是足够应用。
参数化涉及人的解释和创造力，这意味着不同的调查人员可以针对相同的未知提出不同的参数化。事实上，唐纳森（Donaldson，1973）指出，“在二阶相关水平上，相比于主要的研究方法，有更多的运动方程闭合模型”。尽管任何数量都可能有无限种参数化集合，但所有可接受的参数化都必须遵循某些常识规则。
最重要的是，未知数量的参数化应该是物理上合理的。此外，参数化必须满足以下条件：
bull;与未知尺度相同。
bull;具有相同的张量属性。
bull;具有相同的对称性。
bull;在坐标系统的任意变换下是不变的。
bull;在伽利略（即惯性或牛顿）转换下是不变的。
bull;满足相同的预算公式和约束条件。
这些规则必须满足所有阶数的闭合问题。
例如，唐纳森（Donaldson，1973）提出未知量的参数化为：
是具有长度量纲的参数，,e是已知的。
该参数化与原始未知量有相同的尺度（）和相同的张量属性（未归一化的i,j和k）。原始未知量的对称性使得指数i，j，k的顺序不明显。通过将三个项的和放在方括号中来实现参数化中的相同对称性。 如果只使用了一个项而不是总和，那么指数顺序的变化会产生不同的数值结果。由于动量通量的梯度是在方括号中的所有三个笛卡尔方向上进行的，因此坐标系的任何旋转或移动都不会改变结果。此外，正如通过设置所得到的，以恒定速度运动的（伽利略变换）坐标系的移动不会改变参数化。
如果不对系统中所有约束做详细的解释，最终的规则很难在这里证明，但作为一个例子，我们可以看到一个约束条件。原始的未知量在预测方程（4.4.lb）中出现,代表湍流输送量。当这个项的垂直分量在整个边界层的深度上积分时，它应该等于零，因为它表示现有动量流从一个高度到另一个高度的位移。该项从湍流区域内的一个位置排出的动量通量应存放在不同的部分，这样就不会导致总的整体动量通量净增加或减少。这个预测约束条件通过上面的参数化来满足，因为当在整个边界层深度上进行积分时，方括号中的每个项变为零。
本章的其余部分回顾了文献中介绍的一些参数化，这些介绍绝非全面。 - 它仅仅是为了展示各种类型的闭合方法和它们的特征。无论使用何种类型的参数化，结果都可以湍流的运动方程式闭合，并且可以解决各种预测、诊断和其他实际应用中的问题。
6.3 局部闭合——零阶以及半阶闭合
6.3.1 零阶闭合
零阶闭包意味着没有保留预测方程，甚至不包括均值的方程。也就是说，平均风、温度、湿度和其他平均量直接作为空间和时间的函数进行参数化。显然，这不是局部或非局部闭合，因为它避免了动荡的参数化。出于这个原因，我们不会在这里讨论零阶闭合，但将在第9章中以相似性理论为主题回顾它。
6.3.2 半阶闭合
半阶闭包使用一阶矩方程的一个子集（3.5.3）。这种方法的一种变型被称为整体法，假设风或温度的垂直廓线，但是所得到的风或温度廓线可以根据整体平均背景风或整个层内的温度而移动。
例如，假定使用类似（3.5.3）的等式预测边界层的位温平均值，然后通过得到最终结果。这种方案适用于所有高度混合层模型;对于云模型，在单独的云和亚云层内（参见第13章）建立高度的线性函数;对于稳定边界层，可以用线性、多项式或指数廓线形状（见第12章）。
6.4 局地闭合——一阶闭合
6.4.1 定义
一阶闭合仅保留零阶平均变量的预测方程，如风、温度和湿度。例如，考虑干燥环境的理想化情景，水平均匀，没有沉降。假定地转风为已知的边界条件。零阶变量的控制预测方程（3.5.3）可降阶到：
这组方程中的未知数是第二个时刻的：和。
要使上面的方程组闭合，我们必须对湍流通量参数化。假设是任何变量，那么通量的一个可能一阶阶闭合近似是：
其中参数K是一个单位为的标量。K是正数，代表通量向下流动到的局部梯度。这种闭合近似常常称为梯度输运理论或K理论。虽然它是最简单的参数化之一，但当流程中存在较大尺寸的涡流时，就会不适用。因此，我们可以将（6.4.1b）分类为小尺度湍流闭合技术。
K的各种名称有：
bull;涡流粘度
bull;涡流扩散
bull;涡流传输系数
bull;湍流传递系数
bull;梯度转移系数
因为它将湍流通量与相关均值变量的梯度联系起来。不同的K值与不同的变量相关联。下标“m”用于动量，使得代表涡流粘度。对于热量和湿度，我们将使用和作为各自的涡流扩散率。一些实验证据表明，对于静态中性条件：
目前尚不清楚为什么应小于其他K值。可能压力相关效应会影响（6.4.lc）测量结果。
6.4.2 举例
问题A：在背景稳定的层结中，湍流扩散系数，其中局地减温率，求湍流热流量。
解答：由于。 令表示，并设j = 3。 得出：
讨论：假设只有小的涡流出现，在静态稳定的环境中通常会出现负的热通量。换句话说，在暖空气高于冷空气的层结中，湍流会将暖空气沿着梯度输送向冷空气。在这种情况下，这是一种向下的（或负的）通量。
问题B：使用参数化来闭合方程组（6.4.1a）。
解答：
讨论：如果这些方程重新代入到（6.4.1a），那么3个未知数、和对应3个方程。这是一个闭合集，如果K值已知，可以用数值方法求解。虽设K =常数是简单的假设，但它是最不符合实际的。将K作为、和的函数或这些量的梯度的函数来进行参数化会更好。
问题C：在水平均匀的环境中， ，求。
解答：
但是对于水平均匀的环境，。 因此，.
讨论：KH是正值、负值，或是极大。都没有影响。无论通量如何，K理论在均匀环境中总是会产生零通量。
6.4.3 与粘度类比
我们在第2.9.3节中看到，分子应力可以近牛顿流体的 =。 通过类推，认为湍流雷诺应力也可以用剪切的方式来表示。由分子粘度v到湍流粘性系数的相应变化，得到。通过p表示后面的表达式给出运动形式（6.4.1b）。结果p·有时被称为Austausch系数。
由于湍流在引起混合时比粘度更有效，因此可以预期gt; v。在文献中报道的的值在0.1至2000之间变化，典型值为 1到10.v的值要小得多，大约为1.5x10.
分子量和涡流粘度之间的量纲并不是唯一的差异。 一个明显的的区别是v是流体的函数，而是流体的函数。因此，虽然v由流体的化学成分及其状态（温度和压力等）唯一确定，但随着湍流的变化，会发生变化。因此，必须将K“参数化为其他变量的函数，如z/L，Richardson数或稳定度，如6.3.2.4节所述。
6.4.4 混合长理论
以下的内容是在1925年Prandti提出的混合长度论证之后形成的。假设在静态中性环境中存在湍流，如图6.1a所示，在垂直方向具有线性平均湿度梯度。如果湍流将一块空气向上移动量z，朝向某个参考系Z，在这期间，气团内q值没有混合或其他变化，那么该气团的湿度将与周围环境相差q，其中：
如果背景平均风廓线也是线性的，那么可以u也可以写出类似的表达式：
为了使气块向上移动距离z，它必须具有一定的垂直速度w。如果湍流的性质使得w与u成比例，那么我们可以期望对于图6.1b所示的风切变的w= - cu和w = cu表示lt;0，其中c是比例常数。 在上述表达式中用（6.4.4b）代替u得到w产率。
我们发现剪切力的大小很重要。
在2.6节和2.7节中，显示了水分的运动涡流是R = wq。 由于已知（6.4.4a）中的q和（6.4.4c）中的w，我们只需要将两者相乘，然后在不同大小的涡旋光谱z上求平均以得到平均通量R：
我们认为为气块位移距离的方差。它的平方根是一个气块在混合过程中移动产生通量R的平均距离的量度。通过这种方式，我们定义混合长度I为。因此，水分通量的最终表达式是：
这与K理论直接类似：
由此得到。 事实上，混合长度理论告诉我们通过（6.4.4f）的大小应随剪切力增加而增加（即湍流强度的量度），随着混合长度增加（即湍流引起混合的能力的量度）而增加。
在表层，湍流涡旋的大小受到地球表面的限制。因此，有时假定，其中k是冯卡门常数。 由此产生的表面层涡流粘度的表达式为：
对于SBL， Delage（1974）提出了以下混合长度的参数化方法，该参数化已被用作其他参数化的起点（Estournel和Guedalia，1987; Lasser和Arya，1986）：
其中是局部Obukhov长度（见附录A），基于地表上方应力和热通量的局部值，G是地转风速，并且是经验常数。
在结束本节之前，我们应该探讨混合长度理论的局限性。 由（6.4.4c）给出的w与z之间的关系只
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