高斯投影面积变形特征实证分析外文翻译资料

 2022-04-27 20:29:04

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大卫Kalajlowast;

黑山大学自然科学和数学学院，塞廷斯基，在黑山的波德戈里察开设了b81000

收到2012年1月31日;2012年12月21日收到订正表格;2013年1月8日接受E.P. van den Ban沟通

文摘

证明了用谐波坐标参数化的曲面高斯映射的畸变函数与参数化的畸变函数一致。因此，当且仅当谐波参数化为K拟共形时，只要高斯映射是正则的，或者在非平面的条件下，谐波曲面的高斯映射是K拟共形的。这概括了经典的结果，最小表面高斯图是一个保角映射。copy;2013年荷兰皇家数学学会(KWG)。由Elsevier B.V.出版，版权所有。

关键词:高斯地图;共谐表面;最小的表面;常规的表面

  1. 主要结果的介绍和说明

设(N, h)为黎曼流形，(M, g)为紧黎曼流形。一个光滑映射X:M→N M和N是谐波之间的临界点狄利克雷函数 。这个定义扩展到以下情况M不是紧的，它要求X对每个紧域的限制都是谐波，或者，更典型地，要求X是Sobolev空间中能量函数的一个临界点H12 (M, N)。

等价地，映射X是谐波，如果它满足与函数E相关的欧拉-拉格朗日方程。谐波图模拟了与粘度、流体动力、电磁、宇宙学等物理现象有关的能量函数的极值

lowast;电话: 382 20264553。

电子邮件地址:davidkalaj@gmail.com,davidk@t-com.me。

0019-3577/$ - -参见2013年荷兰皇家数学学会(KWG)的前言。由Elsevier B.V.出版，版权所有。

doi:10.1016 / j.indag.2013.01.001

当N = Rn,欧拉方程确实狄利克雷方程Delta;X = 0,Delta;拉普拉斯算子在m .看到的地方,例如,调查[6]和引用其中一个好的设置。

如果M有维度二，狄利克雷函数实际上只依赖于曲面的正形结构。在几何分析中，形式、最小和谐波的相互作用是一个核心问题，它把复杂分析和微分几何联系在一起。众所周知，当且仅当欧几里得三空间是谐波时，黎曼曲面的保角沉浸是最小的，在这种情况下，它的高斯映射是保角的(亚纯)。这篇论文是由Alarcon和Lopez[2]最近的论文所激发的。在这篇论文中，作者们考虑了在定义1.1的欧几里得空间R3中表面的参数谐波准共形浸入，并证明了一些有趣的事实。[2]的一个典型结果是:当且仅当它是代数和准共形时，开放黎曼曲面M的完全谐波浸入到R3中的X具有有限的总曲率。本文将考虑准共形的标准定义中的参数调和拟共形曲面的类。我们的方法与阿拉和洛佩兹的方法完全不同，并且是互补的。其中，我们将证明阿拉和洛佩兹的谐波参数化的准走形定义(定义1.1)与参数化的准走形的标准定义是一致的，前提是曲面不是平面的。另一方面，这个结果可以看作是最小曲面的经典结果的扩展:如果极小曲面是由Enneper-Weierstrass参数化给出的，那么它的复高斯映射就是一个亚纯函数。

1.1参数和谐波表面

我们定义R3中的一个面向参数曲面M是一个等价的映射类X =(a,b,c):Ω→R3的域Ωsub;c R3,协调功能的a,b,c c类至少1(Ω)。两个这样的映射X:Ω→R3和Xtilde;:Ωtilde;→R3,作为曲面的参数化，如果存在c1 -diffeomorphism，则表示为等价的phi;:Ωtilde;minus;在→Ω积极的雅可比行列式,这样Xtilde;= X◦phi;。我们称之为a微分同胚映射phi;改变变量,或再参量化的表面。此外，我们假设M的分支(临界点)是孤立的。这些都是点(x,y)isin;Ω其中的切向量是线性相关的或等价Xx times;Xy = 0,由times;表示空间的标准矢量产品R3。同样,在临界点雅可比矩阵▼X(z)等级最多1。它在规则点上的秩为2。没有临界点的表面称为浸入式或常规表面。如果表面M允许参数化X= (X。1,x2,x3)Ω→M满足拉普拉斯方程∆X=(0,0,0),然后表面称为谐波表面。我们将同时使用术语谐波表面M和它的谐波参数x。相同的表面M可以承认几个谐波参数。例如,如果Omega;单位圆盘U如果X:U→M是一个参数化和单位圆盘的ϕ是一个莫比乌斯变换,那么f 0ϕ是谐波参数化。谐波浸入是一种常规的谐波参数化。

1.2标准的定义quasiconformality

一个方向保持光滑映射ϕ:Ω→Ω′,两个开放的领域Ω,Ω′sub;C称为K(Kge;1)共(QC)如果扩张df的贝尔特拉米系数micro;(z):=ϕzmacr; /ϕz 满足不等式

如果

在∥nabla;ϕ∥Hilbert-Schmidt规范定义

∥nabla;ϕ∥2:= |ϕz |2 |ϕzmacr;|2

并且哪里

Jϕ = |ϕz | 2minus;|ϕzmacr;|2

是ϕ的雅可比矩阵。

请注意,在我们的语境假设ϕ是足够光滑映射;然而，经典的准走形定义假设了较弱的条件(cf.[1,3,23 - 24页])。还要注意，在这个定义中，我们不假定注入性。表面参数Y:Ω→R3称为K共如果

如果K = 1，则(1.1)等于方程组

和

（1.2）

表示表面的等温(正形)坐标M= Y(Ω)。如果Y是谐波并且满足系统(1.2)M=Y(Ω)是一个广义极小曲面。

对于曲面的参数化Y的正则点，我们定义畸变函数为

如果Y是浸入式，X = (u, v, w)是光滑面M的等温坐标，并且如果ϕminus;1◦Y = X,然后我们有

（1.3）

如果我们通过f表示:S2 \ {(0,0,1)}→R2,

立体投影，然后是定位图是X的复高斯映射。

由于f是一个正形映射，那么g是一个拟正形当且仅当n是具有相同的拟正则常数的拟正形。此外

（1.4）

1.3.曲面的高斯图

让X:Ω→R3的正则参数化表面光滑M=X(Ω)。设S2是R3中的单位球。然后取向保持高斯映射n:Ω→S2的定义如下

1.4极小曲面的Enneper-Weierstrass参数化

一个足够光滑的表面可以用等温参数化X = (x1,x2,x3)。如果坐标函数x，这样的参数化是最小的xk ， k = 1,2,3为谐波，即，k=1,2,3分析。part;/part;z是复杂的偏导数定义为

因此，最小曲面可以由三个解析函数来定义

Phi;12 phi;22 phi;32 = 0. （1.5）

然后得到真实的参数化

对于一个解析函数f和一个亚纯函数g，就是三重函数

（1.7）

（1.8）

（1.9）

分析只要f的零阶ge;2 m ,g(m)的每一个极点的秩序。

如果phi;1,phi;2 和phi;3 没有实周期，f在g (m)的每一极上都有0阶恰好2m，那么下面的公式给出了Enneper-Weierstrass参数化的最小曲面。

众所周知，如果曲面被赋予极小的Enneper-Weierstrass参数化，那么其复杂的高斯映射就是亚纯函数(这被称为Bonnet定理(1860))。复高斯映射由g(w)=— i/g(w)给出。以上事实参见示例[5，第9.3节]或[3]。

我们现在给出了谐波曲面拟正形的另一种定义。

定义1.1([2]).

谐波浸X:Ω→R3据说共如果其取向保持高斯地图n:Ω→S2共(或等价,如果g是准保形)。在这种情况下,X是一个谐波谐波表面的质量控制参数化X(Ω)。

在本文中，我们证明了两个准守形的定义(标准定义和定义1.1)是等价的，前提是曲面不是平面的，这样扩展了谐波准共形曲面的阀盖定理(定理1.2和推论1.3)。如果n的分支点集合，即点z的集合，那么曲面的高斯映射就是正则的。我们将在定理1。5中证明这个条件等价于曲面的一部分，因此整个曲面属于一个平面。

定理1.2

在高斯图是规则的前提下，谐波浸入X的高斯图n的膨胀和失真函数与曲面本身的膨胀和失真函数一致。换句话说

Dn(z) = DX(z) (1.11)

和

dn(z) = dX (z). (1.12)

推论1.3

当且仅当高斯图是正则的，当且仅当它的高斯图是K拟共形时，一个表面M的谐波浸没X是K拟共形。

备注1.4

定理1.2和推论1.3具有局部性，我们可以假设X的定义域是单位圆盘U。我们还证明了下面的定理。

定理1.5

当且仅当表面不是平面时，谐波表面的高斯映射才具有规则性。如果一个曲面的高斯映射不是正则的，那么它一定是一个常数向量。

备注1.6

从定理1.5中我们发现，在定理1.2中，我们可以简单地说“曲面是非平面的”，而不是“高斯图是正则的”。当我们说高斯映射是规则的时候，我们的意思是，叉乘 part;ntimes;part;n在一些并不等于零定义域的非零测度的子集(因此在整个定义域中，参见定理1.5的证明)。但是，如果我们看一下表面

然后普通的n (X)满足。

(1.13)

对y = 1/2。因此，谐波表面高斯法向的分支点不是孤立的，就像极小曲面的情况一样。

备注1.7

带Enneper-Weierstrass参数化的最小曲面类是准共形调和曲面类的一个特例。也就是在这种情况下K=1，因为坐标是等温的。在这种情况下，条件(1.13)变为g(w) = -i/g(w) = const的条件，即高斯法向量为常数。这意味着最小曲面是平面的。

复杂域与二维曲面之间的拟共形调和映射是近年来研究的一个非常活跃的领域。对于本课程的一些常规结果，我们参考以下论文[7,8,14,13]。对于最小曲面类的一些规律性结果，我们参考J. C. Nitsche的论文[11,10]。

回想一下,一个定义的提问和洛佩兹[2]谐波浸X:Ω→R3据说共如果其取向保持高斯地图n:Ω→S2是共共(或等价,如果g)。在其他特殊的特征中，在Osserman[12]的意义上，准共形谐波沉浸是准极小的。让一个单位圆盘的谐波扩散到它本身，它不是准共形的。设X(z) =(Re(w)， Im(w)， 0)然后n =(0,0, 1)因此它是一个1-拟正形映射。这意味着“高斯映射是正则的”这一条件在定理1.2中很重要。换句话说，如果高斯映射是规则的(直到分支点)或者如果曲面不是平面的，则上述两个准走形的定义是等价的。

  1. 证明

2.1备注

当{n, nx} = {n, ny} = 0时，则说明nx, ny是属于向量Xx和Xy的线性spam的向量。它是根据Weingarten方程(矩阵形式)得出的

哪里

这里

和

当表面是谐波时，我们有L N=0，有人可能会问这是否保证了矩阵

正形，用这种方法证明等式Dn=DX 在一次中风。不幸的是，给定的矩阵在谐波表面上是不保形的。

定理1.2的证明.

让

X(X, y) = (a(X, y)， b(X, y)， c(X,

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