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一个羊群效应的简单模型
摘要：我们分析了一个顺序决策模型。在这个模型中，每个决策者都会通过观察之前决策者的行为来做出自己的决策。这对决策者来说是合理的，因为其他决策者可能拥有一些对该决策者很重要的信息。由此我们证明：通过优化个体选择的决策规则将以羊群行为为特征，即人们会模仿他人行为，而不是根据自身所拥有的信息做出决策。然后我们证明由之产生的均衡是无效的。
Ⅰ、引言
在无数的社会和经济情境中，我们的决策会受到周围的其他人的影响。也许最常见的例子来自日常生活：我们常常根据看起来受欢迎的程度决定光顾哪家商店和餐馆，或者上什么学校。但是，凯恩斯[1936]提出，这也是资产市场投资者经常表现出的行为（例如著名的“选美比赛”案例）。在有关生育选择的文献中，经常有人提出，不同的生育决定（要多少孩子，是否使用避孕手段等）受同一地区其他人的影响很大。也有人认为同样的因素也会影响是否采用新技术的决定。众所周知，选民会受到民意调查的影响，他们会投票给民意调查预测将赢得胜利的一方，这是另一个顺应潮流的例子。此外，当学术研究人员选择研究当前“热门话题”时，同样的影响因素也在起作用。
本文的目的是建立一个简单的模型，在这个模型中我们可以研究这种决策背后的基本原理及其影响。我们建立了一个模型，在这个模型中，时常留心他人的行为是合理的，因为他们的决定可能反映了他们拥有而我们不知道的信息。事实证明，试图利用他人信息的行为可能会导致我们所称的羊群效应——即使其私人拥有的信息表明他们应该往东，每个人都会跟着别人往西。
但是这也表明了试图利用其他人所做决定中包含的信息的行为使得决策者在其决策中对私人信息的反映很少，因此其决策对于其他决策者而言信息量降低。事实上，我们发现在这种均衡状态下，信息量的减少可能非常严重，以至于从事前福利的角度看，社会实际上可能会通过限制一些人只使用其私人信息而变得更好。
一个普通的现实例子可能会使我们的基本论点更加清晰。我们大多数人都曾面临必须在两家餐厅之间选一家的情况，而这些餐厅的信息对我们来说或多或少都是未知的。现在设一个人口为100人的小组，并令他们都面临着这样的选择。
有两家餐厅A和B彼此相邻，并且已知，若先验概率为51％，餐厅A更好；若先验概率为49％，餐厅B更好。人们依次到达餐厅，观察前面的人做出的选择，并决定去其中一家餐厅。除了知道先验概率之外，这些人中的每一个人都得到了一个信号，该信号表明A更好或B更好（当然信号可能是错的）。同时假定每个人的信号质量相同。
假设在100人中，有99人收到B更好的信号，但收到A更好的信号的那个人却能第一个选择。那么很明显，第一个人会去A，第二个人现在知道第一个人有一个表明A更好的信号，而她自己的信号却表示B更好。由于信号质量相同，它们便相互抵消了，同时理性的选择是按照先验概率行事并选择A。
不管她的信号如何，第二个人因此选择A。因此，她的选择不会为下一个人提供新的信息：第三人的情况与第二人的情况完全相同，她会做出同样的选择，同理可证其他人。即使在综合了所有信息的情况下，每个人都会选择去A餐厅，但实际上B餐厅更好。
为了理解为什么会出现这样的错误，请注意，如果第二个人是一直遵循她自己的信号的人，那么第三个人就会知道第二个人的信号表示B更好，然后第三个人就会同样选择B，其他人也会做出同样的决定。
因此第二个人忽视她自己的信息并加入羊群的决定因此给其他人带来了负面的外来影响。如果她使用了自己的信息，她的决定就会向其他人提供信息，这也会鼓励他们使用自己的信息。而事实上，他们都加入了这个羊群。
对我们称之为“群体外部性”的这种外来影响的确定以及对其含义的调查是本文内容的主要来源。我们提出的模型非常简单，并不希望体现任何机构的具体细节。以下线段表示了一组选项，并且在该组内有一个正确的选项。游戏的目的是找到正确的选项。所有找到正确选项的人都会得到z，而其他所有人都会得到0。设一群容量为N的人群按固定顺序作出决定，每个人都知道她前面那个人的选择，但不知道对方做出这个选择是基于哪些信息。每个人都可能不知情，也就是说她没有收到信号；或知情，在这种情况下，她拥有一个有关正确选项的信号。但是，这个信号可能不正确。只有概率beta;为1才是正确的，否则它就没有任何用处。在贝叶斯理论中，每个人都是理性的，而我们所指的均衡是指贝叶斯纳什均衡。
由于这个模型非常简单，因此使用一些非常基本的论证方法，我们就能够得到一些由于群体外部性存在而产生的惊人结果。这些结果总结如下：
1.从事前福利角度看，人们首选的均衡模式可能是（并且对于足够大的人群来说，一定是）低效的。在人们知道他们选择的顺序之前，他们可能都会同意阻止前几个决策者观察其他人做出的选择。这是群体外部性的直接后果，并且其表明了为什么从社会学角度看，羊群行为可能是不利的。
2.对于任何规模的人群而言，无人选择正确选项的概率都远远大于零。事实上，通过使概率beta;变小，我们可以使这个概率尽可能大。这与决策者不互相观察模仿（即他们遵循他们自己的信息）的情况形成对比。因为由于他们拥有的信息是独立的，只要人口规模足够大，在这种情况下有人就一定会选择正确的选项。
3.因为羊群外部性是会产生积极反馈的类型（如果我们加入羊群，我们会诱使他人也这样做），在同一场比赛的几个回合中，决策的平衡模式会非常不稳定。前几个决策者所拥有的信号（部分是随机的且不一定是正确的）将决定第一批羊群的形成位置，然后从那时起，每个人都加入到了群体中。这可能会对在许多资本市场中出现的“过度波动”以及频繁且明显不可预测的时尚变化的研究提供一些启示。
对羊群外部性的强调也将我们的理论与之前学者提出的关于聚类行为的另外两种解释区分开来。其中一种解释基于强互补性：当其他人正在做与之相关的事情时，有些事情更有价值。有关这种互补性的例子参见消费品的时尚变化（例如，Karni和Schmeidler [1989]的时尚分析）和生产中的网络外部性（参见Arthur [1989]，Farrell和Saloner [1985]，以及Katz和Shapiro [1985]）。而当我们在不同背景下研究羊群行为时互补性是否同样重要，这还是一个悬而未决的问题。无论如何，这种观点与我们的观点不矛盾。我们的观点是无需从与之相关的事物中获得益处，羊群行为的许多方面就可以被很好地解释。
对羊群效应的另一个解释，就像我们目前理论主要基于信息不对称一样，由Scharfstein和Stein [1990]在他们最近的一篇有趣的论文中提出。他们的理论和我们的理论之间的主要区别在于，他们的解释是基于代理问题的。在他们的模型中，代理人通过说服委托人他们是对的来得到激励。在他们的模型中，这种错误的激励在产生羊群效应方面起着重要作用。相比之下，在我们的模型中，代理人通过他们自己的选择来获取激励，所以其中就不存在错误激励的问题。
无论如何，他们的方法与我们的方法相悖。委托代理问题（试图让其他人认为你了解某事）似乎很普遍，特别是在资本市场中。但另一方面，在可能会出现羊群效应的许多其他案例，如生育选择，创新采纳，投票等情况中，不存在明显的委托代理问题。也就是说即使在个人通过自己的决策来获得回报的情况下，也可能会出现低效的羊群行为，因此对于这方面羊群效应的研究是很有用处的。
本文的策略如下：第二部分介绍基本模型，第三部分对其进行分析。结果在第四部分讨论。第五节介绍了基本模型的一些扩展和修改。我们会在第六节中做出结论。
本文中的基本思想总体来讲非常直截了当。尽管如此，对结论的的严格证明肯定会非常繁琐且重复。为了防止这篇论文太难理解，我们已经省略了一些论证，对于其他论证也尽量简单处理。本文的早期版本中提出了更严谨的论证过程[Banerjee，1989]，可从作者处获得。
II、基本模型
有数量为N的代理人，每个代理人能使在资产收益空间上定义的相同的风险中性效用函数VNM最大化。为了方便起见，我们只假设这种效用与每个代理人收到的货币金额相同。
有一组资产在[0,1]上分布。设第i个资产为a（i）。第i个资产对第n个投资于该资产的人的实际回报是z（i）isin;R.让我们假设存在唯一的i *，使得对于所有z（i）= 0，同时当ine; i *时和z（i *）= z，其中zgt; 0。该假设表明某一项资产对投资于其中的人的回报绝对大于其他所有资产。
当然，从这种回报率来看，每个人都会想投资i *。问题是没有人知道i*是哪一个。此外我们假设一个均匀的先验分布，所以没有一个i是特别的。然而，有些人会知道i*可能是哪一个。因为形式上有alpha;概率使得每个人会收到一个信号，这个信号会告诉她真正的i *是i#39;。当然，信号不一定是真的，其为假的概率是1 -beta;。如果它是假的，那么我们假设它均匀分布在[0,1]上，因此它也不会体现出i* 究竟是哪一个。
在这个模型中的决策是连续的；随机选择一个人，并令她首先决策（她不能推迟决策）。再次随机选择下一个人然后令其做出决策，但这一次，她可以观察前一个人的决策，并可以从其中包含的信息中受益。但是，她无法知道她之前的决策者是否得到了信号。
游戏的其余部分以相同的方式进行，每个新决策者都根据过去决策的历史和他们自己的信号做出决定（如果他们有的话）。在每个人都做出决策之后，所有决策都会被查验，如果其中有任何一个是对的，那么选择它的人会得到奖励。如果没有人选择有效的选项，那么真相依旧未明，没有人会获得奖励。
假设该游戏结构和贝叶斯理性是常识，每个人的策略都是一个决策规则，它会告诉我们每个决策者曾经可能会选择什么。我们正在寻找这些策略中的贝叶斯纳什均衡。然而，平衡游戏的本质原来取决于某些关键的打破僵局的假设，它们其中的一些可以通过加强均衡概念来抵消，但将其作为明确假设来引入似乎更好。这些假设如下段所示。这些假设的相关性将在适当的背景下变得清晰。读者也应该可以理解到，这些假设都是为了尽量减少羊群效应。
假设A：当决策者没有信号而其他人选择i = 0时，她总是选择i = 0。
假设B：当决策者在自己的信号和他人信号之间保持中立时，他们会遵循自己的信号。
假设C：当一个决策者在多个以前的决策者中保持中立时，她会选择跟随那个i值最高的人。
III、平衡决策规则
第一个决策者的决定显然取决于她是否有信号。如果她有信号，她肯定会遵循她的信号。如果她没有信号，按照我们的假设A她会选择i = 0。这种选择可以最大限度地减少错误信息：唯一会导致后来者迷惑的情况是当i * = 0时，但由于这种情况发生的概率为0，我们可以忽略这种可能性。
如果第二个决策者没有信号，那么她当然会模仿第一个决策者并投资给相同的资产。但是，如果她有一个信号，并且第一个人没有选择i = 0，这就会产生问题了。她知道第一个决策者有一个信号，这个信号可能和她自己的信号一样是对的。因此，她在第一个决策者的信号和自己的信号间保持中立。在这种情况下，我们的假设B就开始发挥作用了。通过调用这个假设，我们认为第二个人在这种情况下将遵循她自己的信号。
第三个决策者可以观察到四种可能的历史：一个或两个她的前任可能选择了i = 0，如果他们都没有选择i = 0，他们也有可能是相互认同或不认同的。如果他们都选择了i = 0，那么第三个人如果没有信号就应该模仿他们，否则就遵循她自己的信号。在所有其他情况下，如果她没有信号，她应该跟随没有选择i = 0的人。如果其他人都选择了i ne;0但没有达成一致，那么第三个人就不能确定一个行动方案。然而，由于她是中立的，我们可以就援引我们的第三个平局规则：假设C告诉我们她应该模仿i值最高的人。
另一方面，如果第三个决策者确实有信号i#39;，她将遵循她自己的信号，除非在她之前的两个人选择了相同的选项，并且这个选项既不是i = 0也不是i = i#39;。当两位前任选择i = 0时，第三个人的决策就很简单了。当他们中只有一个选择了既不是i = 0也不是i = i#39;的选项，而另一个选择了i = 0时，这就会是假设B的结果。当然，当第三人的信号与她的一位或两位前任所做出的选择相同时，她必须选择遵循她自己的信号，因为除非她的信号是正确的，否则这种情况不会发生。
最后一点的适用范围比这个例子更普遍，因此值得强调一下。当某人的信号与其前任某人的选择相符时，她应该遵循她的信号。这是因为两个人得到相同信号并且都是错误信号的概率为零。为了论证其它情况，我们证明了下面这个简单的引理。
引理1：如果第一个和第二个决策者都选择了相同的ine;0，那么第三个决策者应该选择模仿他们。
引理1的证明如下：
其中H表示前两个人都选择了i同时第三个人拥有信号i#39;的事件。
很明显，第一项大于第二项。因此第三人应该选择i。
证明完毕。
这有一个简单直观的解释：第三个人知道第一个人肯定有信号，否则她就会选择i = 0。因此，第一个人的选择至少与第三个人的信号所指引的选择一样好。此外，第一个人有跟随她的人。这对于第一个人的选择来说是有利的，因为第一个人对的可能比错的可能要大。因此，跟随第一个人总是更好的。
同样的直觉告诉我们当i=0只被两个人中的一个人选择时会出现什么情况。假设下一个人没有与已经被选择的选项相匹配的信号（如果她有一个符合他人选择的信号，她当然应该遵循她自己的信号）。在这个选项不是最大i的情况下，我们可以清楚地知道（通过假设C）这两个人肯定有相同的信号，因此他们必须是正确的。同时在i值最大的情况下，前一段的论点仍然适用，因此这个选项还是最好的。因此，在任何情况下，下一个人应该选择被两个人选择的那个选项。
一旦两个人选择了同一个选项，下一个人应该始终遵循该选项，除非她的信号符合已经被选择的选项之一，在这种
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