复杂网络的可控性外文翻译资料

 2022-07-06 17:05:22

复杂网络的可控性

杨宇 Liu1,2, Slotine3,4 和阿尔伯特-Laacute;szloacute; Barabaacute;si1,2,5

我们对自然或技术系统的理解的最终证明反映在我们控制它们的能力上。尽管控制理论为转向工程和自然系统向理想状态提供了数学工具,缺乏控制复杂自组织系统的框架。在这里, 我们开发分析工具来研究任意复杂定向网络的可控性, 识别具有时间依赖性的驱动节点集控制, 可以指导系统的整个动态。我们将这些工具应用于几个真正的网络, 发现驱动节点数主要由网络的程度分布决定。我们表明, 稀疏在许多实际复杂系统中出现的非均匀网络是最难控制的, 但密集和均匀的网络可以使用几个驱动节点来控制。相反, 我们发现在无论是模型还是实际系统, 驱动节点都倾向于避免高级别节点。

根据控制理论, 一个动态系统是可控制的, 如果, 与合适的输入选择, 它可以从任何初始状态驱动任何在有限 time1–3中所期望的最终状态。这个定义同意我们的直观的控制概念, 捕捉引导系统的能力通过 appropriatemanipulation 对理想状态的行为几个输入变量, 如驱动程序提示汽车移动与想要的速度和在期望的方向通过操纵踏板和方向盘。虽然控制理论是一个数学上应用于电气工程的高度发展的分支机构电路, 制造过程, 通信 systems4–6, 飞机,航天器和 robots2,3, 有关可控性的基本问题在自然界和工程学中出现的复杂系统抵制进步。困难植根于一个事实, 即两个独立的因素有助于可控性, 每一个与自己的层未知: (1) 系统的体系结构, 由网络代表封装哪些组件相互作用;(2)捕获与时间相关的交互的动态规则组件。因此, 只有在 systemswhere 才能取得进展。这两层都有很好的映射, 例如同步 networks7–10的控制,小生物 circuits11 与通信速率控制networks4–6。拓扑量化的新进展复杂 networks12–16的特征对因子 (1) 有一定的影响,促使我们怀疑一些网络是否更容易控制比其他人以及网络拓扑如何影响系统的可控性。尽管有一些开创性的概念 work17–23 (补充信息, 第二节), 我们继续缺乏对这些问题的一般答复。大加权和定向网络的问题, 其中最常见的出现在复杂的系统中。

网络可控性

大多数真实系统是由非线性过程驱动的, 但可控性非线性系统在许多方面结构上类似于线性 systems3 的, 促使我们开始我们的研究使用规范线性、时不变动力学

dx (t)

dt ~ Ax (t) zBu (t) eth;1THORN;

当向量 x (t) 5 (x1 (t),.., xN (t)) t 捕获的状态N 节点系统在时间 t。例如, xi (t) 可以表示金额通信 network24 中通过节点 i 的通信量或转录因子浓度在基因调控 network25。n 3 n 矩阵 A 描述了系统的接线图和相互作用力量在组分之间, 例如交通论个人沟通环节或监管力度互动。最后, B 是 N 3 M 输入矩阵 (m # N), 它标识由外部控制器控制的节点。该系统是

控制使用与时间相关的输入向量 u (t) 5 (u1 (t),...,uM (t)) t 由控制器强加 (图 1a), 在一般情况下相同信号 ui (t) 可以驱动多个节点。如果我们想控制一个系统, 我们首先需要确定的节点集, 如果由不同的信号驱动,可以提供对网络的完全控制。我们会叫司机节点 '。我们特别感兴趣的是确定最低由 ND 表示的驱动程序节点数, 其控制足够完全控制系统的动态。

等式描述的系统 (1) 据说是可控制的, 如果它可以从任何初始状态驱动到任何期望的最终状态在有限时间, 这是可能的, 如果和只有当然后3毫微米可控矩阵

C ~ (B, AB, A2

B、..., AN{1

B) eth;2THORN;

有完整的排名, 即

等级 (C) N eth;3THORN;

这代表了可控性的数学条件, 并且是称为卡尔曼可控秩 condition1,2 (图 1a)。在实际术语, 可控性也可以被摆 asfollows。确定最小驱动节点的数目, 如方程 (3) 满足。例如,方程 (3) 预测在图1b 中控制节点 x1 的输入signalu1 offersfull 控制系统, 作为节点的状态 x1, x2, x3x4 是由信号 u1 (t) (图 1c) 唯一确定的。相比之下,控制图1e 中的顶部节点不足以完全控制, 因为差异 a31x2 (t) 2 a21x3 (t) (其中共同作用是 A 的元素) 不是唯一由 u1 (t) 决定 (见图1f 和补充信息第三节。A). 为了获得完全控制, 我们必须同时控制节点 x1 和 {x2、x3、x4} 之间的任意两个节点 (参见图 1h, 我为一个更复杂的例子)。

要将等式 (2) 和 (3) 应用于任意网络, 我们需要知道每个环节的重量 (即, 共同活动), 这对于大多数的意图图 1 ：

控制一个简单的网络。a、小网络可以由输入向量 u 5 (u1 (t), u2 (t)) t (左) 控制, 允许我们移动它从它的初始状态到状态空间 (右) 的一些期望的最终状态。方程 (2) 提供了可控矩阵 (C), 在本例中具有完全等级, 表示系统是可控制的。b、简单的模型网络:定向路径。c, 最大匹配的定向路径。匹配的边是以紫色显示, 匹配的节点是绿色的, 不匹配的节点是白色的。的唯一的最大匹配包括所有链接, 因为它们都不共享共同的开始或结束节点。只有顶部节点是无与伦比的, 所以控制它的收益率对定向路径的完全控制 (ND 5 1)。d, 在 b 中显示的定向路径中, 所有链接是至关重要的, 即, 他们的删除消除了我们控制的能力网络。e、小模型网络: 定向星。f、最大匹配定向星。只有一个链接可以是最大匹配的一部分, 这产生三个无与伦比的节点 (钕 5 3)。三不同的最大值匹配表示三个不同节点配置可以充分发挥控制。g, 在定向星, 所有链接是普通的, 即, 他们的删除可以消除一些控制配置, 但网络可以控制在

他们的缺席与驱动程序节点数量相同。h, 小例子网络。i, 只有两个链接可以成为网络最大匹配的一部分在 h 中, 产生四个无与伦比的节点 (钕 5 4)。都在一起四此网络的不同最大匹配。j, 网络有一个关键的链接, 一个冗余链接 (可以删除, 而不影响任何控制配置) 和四普通链接。

网络要么是未知的 (例如管理网络), 要么是已知的仅近似地和是时间依赖性 (例如互联网交通)。即使所有的权重是已知的, 强力搜索要求我们计算 2N 2 1 不同组合的 C 的秩,对于大型网络来说, 这是一个计算困难的任务。为了绕过测量链路权重的需要, 我们注意到系统 (A, B) 是 #39; 结构 controllable#39;26, 如果有可能选择A 和 B 中的非零权重, 使系统满足等式

(3). 结构可控系统可以被证明是可控制的几乎所有的重量组合, 除了一些病理的情况下,当系统参数满足时发生零度量某些意外的 constraints26,27。因此, 结构可控性有助于我们克服我们内在的不完全知识的链接重量在..。此外, 由于结构可控性意味着线性化 systems28 连续体的可控性, 我们的结果可以还为大多数非线性的可控性提供了一个充分的条件systems3 (补充资料, 第三节。A)。为了避免对驱动程序节点的强力搜索, 我们证明了维护完整所需的输入或驱动程序节点的最小数目网络的控制是由 '最大匹配' 决定的。网络, 即不共享开始的最大链接集或结束节点 (图 1c, f, i)。中的链接, 则表示节点匹配。最大匹配点;否则, 它是无与伦比的。因为我们在补充信息显示, 结构可控性问题映射到网络上的等效几何问题:我们可以获得对一个定向网络的完全控制, 如果而且只有当我们直接控制每个不匹配的节点, 并且有定向路径从输入信号到所有匹配的 nodes29。的可能性使用此映射确定 ND 是我们的第一个主要结果。作为该有向网络的最大匹配可以用数字识别在 mostO (N1/2 升) steps30, 其中 L 表示链接的数量,映射提供了一种确定驱动程序节点的有效方法用于任意定向网络。

真实网络的可控性

我们利用上面开发的工具来探索几个真正的网络。为其多样性选择了网络:例如, 基因调控网络的目的是控制细胞过程的动力学, 所以它有望演变为一个结构, 从控制角度来说是有效的, 可能意味着少量的驱动节点 (即小钕;钕N). 相比之下, 万维网或引文网络的可控性没有已知的角色, 甚至很难猜到。最后, 它可能会争辩说, 社会网络, 鉴于他们认为中立 (甚至抵抗) 控制, 应该有一个高, 因为它是需要单独控制大部分个体控制整个系统。我们使用映射到最大匹配来确定表1中网络的最小驱动程序节点集 (ND), 这一趋势无视我们的期望: 作为一个群体, 基因调控网络显示高钕 (, 0.8), 表明有必要独立控制大约80% 节点, 以充分控制它们。在相比之下, 一些社会网络的特点是一些最小和值, 表明一些人原则上可以控制整个系统

鉴于重要的角色集线器 (高度的节点) 在维护网络的结构完整性, 防止故障和attacks31,32, 在传播 phenomena32,33 和 synchronization8,34, 它是自然的, 希望控制的枢纽是必不可少的控制网络。为了检验这个假设的有效性, 我们将节点划分为按其程度分为三组, k (低, 中

和高)。如图2a 所示, b 显示两个规范网络模型(Erdo˝s–Reacute;nyi35,36 和 scale-free15,37–39), 驱动节点的分数是低 k 节点之间的差异显著高于集线器。在图2c 中,我们绘制驱动节点的平均度, AElig;kDaelig;, 作为一个函数的表1和多个网络中每个网络的平均度、AElig;kaelig;模型。在所有的情况下, AElig;kDaelig;要么大大小于或可比AElig;kaelig;, 表明在实际和模型系统中, 驱动程序节点倾向于避免集线器。

为了确定网络可控性的拓扑特征,我们使用完全随机化的方法对每个真实网络进行随机化将网络变为定向的过程 (rand)Erdo˝s–Reacute;nyi 随机网络与 N 和 L 不变。对几个网络与原始网络的 ND 没有关联及其随机对应物的 ND (图 2d), 表明完全随机化消除了拓扑特征,影响可控性。我们还应用了保度 randomization40,41(兰德度), 保持在程度, 亲属, 和 outdegree,

考特, 每个节点不变, 但随机选择节点彼此之间的联系。我们发现这个程序不改变和显著, 尽管观察到的差异和六订单的震级 (图 2e)。因此, 一个系统的可控性在很大程度上编码的基础网络的程度分布, P (亲属, 考特),这是我们第二次也是最重要的发现。表明, ND主要由传入和传出链接的数量决定每个节点都有并且独立于这些链接指向的位置。

一种可控性分析方法

学位分配的重要性使我们能够确定和对具有任意 P (亲属, 考特) 的网络进行解析。使用该腔 method42–44, 我们导出了一套自洽方程(补充资料, 第四部分), 其输入程度为分布, 其解决方案是所有的平均钕 (或 nd)网络实现兼容 P (亲属, 考特), 这是我们的第三个关键结果。如图2f 所示, 解析预测和同意完美与钕兰德度 (因此是很好的协议精确值, ND真实), 提供一个有效的分析工具来研究

表 1 |本文分析了真实网络的特点：

图 2 |描述和预测驱动节点 (ND)。a、b、角色模型网络中的集线器。条形图显示驱动程序节点的分数, fD,在两种网络模型中的低、中、高级别节点中,Erdo˝s–Reacute;nyi (a) 和无标度 (b), 从 5 104 和AElig;kaelig; 5 3 (c 5 3), 表明驱动程序节点倾向于避免集线器。Erdo˝s–Reacute;nyi 和无标度网络是从静态 model38 生成的, 结果是平均100认识。图中显示的误差线 (s.e.m.) 是小于符号。c、驱动节点的平均度与实数和模型网络中所有节点的平均度, 表明在实际系统由驱动程序节点避免集线器。d, 驱动程序节点数,钕为完全随机化的网络版本获得的表1与精确值相比,真正。e、驱动程序节点数、钕兰德度, 获得的程度保持的随机版本的表1中显示的网络, 比较 withND真实的 f。钕用腔法计算分析, 与钕相比较兰德度。在d–f, 数据点和误差条 (s.e.m.) 从1000认识被确定了的随机网络。

各种网络参数对 ND 的影响。虽然腔方法不提供一个闭合形式的解决方案, 我们可以推导出热力学中钕对关键网络参数的依赖性限制 (N R #39;)。例如, 我们发现, 对于定向 Erdo˝s–Reacute;nyi网络和衰变为。

在 cR 极限中具有与方程 (4) 相同的AElig;kaelig;依赖性。方程 (5) 预测 cc 5 2 是可控性的一个关键指数一个无限的无标度网络, 只为 c。cc 我们能通过节点的有限子集控制整个系统 (即,

钕, 1)。对于热力学极限中的 c# cc, 所有节点都必须单独控制 (即, 钕 5 1)。我们注意到 cc 是不同的从 c 5 3, 这是一些网络的关键指数由发散 ofAElig;k2 驱动的现象存储, 从网络健壮性流行 spreading31–33,45。检查分析的有效性预测, 我们确定的AElig;kaelig;依赖性和数值Erdo˝s–Reacute;nyi 和无标度网络, 确认渐近AElig;kaelig;的指数依赖性与方程的预测(4) 和 (5)。此外, 预测的和值是在优秀的与 c 的数值结果的协议。3 (图 3d, e)。近 c 5 2,然而, 与腔法预测的相反, 从确切的nD 值是由于在 cc 5 2 中突出的程度相关, 并且可以通过强加一个学位切断在建设中消除无标度 networks39,46 (补充资料, 第四部分。B)。

方程 (5) 也表明, 钕随着 c 的增加而减小 (对于固定AElig;kaelig;), 表示钕受程度异质性的影响

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