摘 要
在本文中，作者分析了J. P. Benoit和V. Krishna（1987）的动态模型中的一个有限类型的均衡，其中企业在进行价格竞争的重复游戏之前选择其操作规模。 Benoit和Krishna建立了所有公司在所有的共谋平衡中拥有过剩的能力。 由于作者对价格过剩能力与勾结之间的关系感兴趣，他们研究了哪些企业在价格上默默地勾结而不是在投资决策中的平衡。 宾夕法尼亚大学经济系1990年，大阪大学社会经济研究所研究所。
1.引 言
最近，社会中又重新燃起了了对于寡头理论的巨大研究热情，对这种复苏的动力来自于对寡头垄断市场的动态方面的考虑。引起了极大关注的两个特定主题是企业在重复游戏中串通的能力设定和决策的时间 - 特别是投资决策 - 的作用决定了寡头垄断的结果。
在这篇文章中，我们建立并分析了benoit-krishna 均衡的一个子集模型，并着重探究产能过剩和在价格串通程度——能在市场中被长期维持的——之间的关系。因此在建立模型时，我们只集中分析一特定级别的均衡并在该级别内区分不同种类的均衡（基于架构串通程来划分级别）。特别的，我们假设任何随着不同产能选择而产生的价格战的威胁会在企业做出投资决策后被重新谈判决定。
鉴于这些企业即使可能进行价格串通，在产量上也不能勾结，因此我们将我们的限制性集体称为“共同”平衡。我们的论文的主要重点是利率或产能成本变化对产能过剩水平与价格串通持续的程度之间的影响。这种研究范围的划定是源于企业的普遍行为：企业经常在一些战略层面上相互竞争，同时选择与其他人合作（Scherer1980; Brander和Har-ris1984; Fershtman和Mu11erl986）。显然，企业认为协调诸如投资、广告和研发支出等长期变量的决策比决定短期价格和产出等短期变量更为困难。在期刊cherer（1980，pp。370_71）中学者引用了几个企业在价格或产量上勾结串通而不是在投资上勾结的例子，其中包括在20世纪60年代的氮肥和合成纤维行业以及20世纪50年代的塑料和烟草行业。此外，我们知道，即使在公开勾结串通的情况下（如1920年代和30年代的德国水泥投资者，或者20世纪30年代的德克萨斯州工业企业），公司也会发现产能上的勾结串通的难度超乎想象（Brander和Harrisl984）。
竞争对手们在每一个领域而不是全部的维度中勾结的行为已经被Brander和Harris（1984）定义为“混合游戏”。尽管他们出于经验主义注意到了其间的相关性，混合游戏在理论科学界内并没有得到很多关注。虽然我们在本文中没有尝试解释为什么企业不协调投资决策，但我们认为，这种现象以习惯的性质广泛存在证明了我们需要进行试验探究来调查导致这种情况的均衡性质。
本文描述了一个两阶段游戏的次级纳什均衡，在该博弈中，第一阶段企业其中首先选择产能水平，然后在第二阶段，签订共同协议并维持协议中的最高价格。通过首先求解最大可持续价格和利润水平作为行业产能水平的函数来计算半共同平衡。然后，我们减少形式的薪酬从而确定纳什的平衡能力。
2．产能过剩与勾结
在我们的模型中，串通水平（由于诸如利率等外部参数的变化）的增加总是伴随着行业产能水平和产能过剩的增加而增加的。 这有点令人惊讶，因为传统寡头垄断理论的众所周知的原则之一就是认为更大的产能过剩能力会削弱相互勾结共谋的协议。 因此，传统观点认为，产能过剩能力和串通水平是负相关的。 它认为，由于公司可以通过削弱共同的价格来占据大部分市场份额，因此拥有大量产能过剩的公司有强大的欺骗行为，。 几乎没有或完全没有产能过剩的公司没有动机削弱共同价格因为它在技术上是不可行的（或非常昂贵的）。
3. 模型
考虑到市场中的两家公司生产崭新的产品并参与以下两阶段的非合作博弈：在第一阶段
每个玩家同时独立地在（零时间）以每单位c的成本购买和装机容量。产能是无限的，不贬值且只能在博弈开始时的零时间买到。在第二阶段，企业在价格上竞争并生产产成品以供订购。我们假设任何一个车间的产量都被控制在产能限制内。因此，产能的真正含义是通过对任何企业的产出量设立上限从而来代表该企业生产规模。
如前文所述，我们假设企业只能在价格上勾结串通而不能在产能上进行勾结。同时，我们知道在静态或有限阶段模型中，其中的子博弈具有独特的纳什均衡，由于追求利益最大化的企业主导的非合作博弈，勾结共谋的结果不能实现均衡。行业中对于反复博弈的基本观点是，如果一个市场情况无限重复，即使一个公司没有明确地表达要勾结串通，它也可能进行价格串通。因此，为了确保勾结结果的出现，我们假设价格博弈是无限反复的。
为了总结和形式化所呈现的模型行为，我们用pi;ic表示企业i在垄断点（p1，p2）上获得的每个时期的利润。 用pi;ich表示企业i在最佳联盟时间（p1，p2）时赚取的每个时期的利润; 用pi;iN表示企业i在固定的纳什均衡中每个期间利润获得的利润和利率，r为利润率。 串通勾结的净收益由以下公式表示：
（1）
在（1）和下面的公式中，我们给定参数范围，如Zi中的p1，p2，K1，K2和r以及Omega;中的K1，K2和r）。如果Z1gt; 0，则公司i进行了串通勾结。我们假设Omega;表示在半勾结协议中的价格集合：
（2）
最后，如果我们假设 F（pi;1c，pi;2c）表示卡特福利函数（F1gt; 0，F2gt; 0），则最优可持续价格向量由以下解决最优化问题的公式给出：
（3）
公式（3）的解决方案取决于博弈第一阶段中由公司选择的产能。 我们假设pi;1-c（K1，K2）和pi;2-c（K1，K2）表示在求解公式（3）时在价格矢量上的被评估的卡特收益，同时令和p1c（K1，K2）和p2c（K1，K2）表示这些价格。 现在我们可以在两阶段博弈中对该均衡下定义（对利率r的固定值）：
定义。（K1*，K2*，p1*,p2*）在满足以下条件时为半勾结均衡：
公式（a）简单地说明了p1*和p2*用来求解公式（3）给出K1*和K2*。 考虑到随后的定价行为，公式（b）中的限定条件保证（K1*，K2*）能构成产能中的纳什均衡。
4.价格子博弈中的均衡
在本节中，我们主要计算求解公式（3）中的的价格矢量并将其作为衡量行业产能的函数。我们假设令D（p）表示市场需求曲线，P（x）为逆需求曲线。 窒息价格P（0）被假定为有限的。同时，我们假设P（x）在一些有界区间[0，x-]上是严格为正的，在该区间内它是可双重连续可微分和严格减小的（对于xge;x-，P（x）equiv;0来说）。此外，我们还假设收益函数（xP（x））是单峰函数，在xm处获得唯一的最大值，并且该函数在[xm，x-]上必须为凹函数。在不超过产能限定的情况下，每个企业的产品可以以零成本生产输出。这些假设意味着存在一种独特的纯策略数量设定均衡，并且能允许我们在定理l——制定价格均衡点（可能是混合策略）同时也是勾结协议情况发生的威胁点。
在定价博弈中，公司可能会选择设定不同的价格。那么我们假设客户首先从较便宜的供应商处购买。当价格最低的供应商不能满足这一需求时，有些客户将只能从剩下的企业里寻求服务。这些公司的实际售卖数量取决于未购买商品等待服务的客户群。对此，我们做出了一个简单的假设：一个低价售卖商品的公司为意愿支付价格最高的消费者服务。因此，i如果pilt;pj，iisin;{1,2}且j不等于i，企业j面临着不确定的需求：
（4）
获取的收益如下：
企业i获得的利润为：
当p1=p2时，企业以适当的方式瓜分市场份额。
为了求解公式（3），我们必须对两家公司的pi;c，pi;ch和pi;N进行计算。 这个任务通过定理l来简化。首先，我们必须引入一些附加符号。 假设B（x）= maxp [p（D（p）-x）]，且vi（K1，K2）表示企业i的极值收益，即：
5.二阶段博弈的纳什均衡
在时间为零且希望企业j装机Kj单位的产量时，企业i应该购买多少容量的产能？ 为了回答这个问题，请注意，对于任意值的Kj，其利润由下式给出：
图1中的反应函数具有异常的形状;它在点a改变了倾斜方向，线性特征和凹凸情况。当产能成本和利率下降时，这些特征最为明显，因此我们将主要关注这一情况。当产能价格较低时，企业在大多数情况下忽略了产能成本。因此选择一个能够支持协商的产能，并为其提供大量的行业利润。接下来让我们来看一下两个最好的企业行为反应点，如图1中的K1所示。因为r较低，垄断价格在K2 = K1时可维持。由于K2上升到K1以上，公司的利润有所改善（因为其份额增加）。但同时，公司1的市场份额下降，从而使公司更倾向于勾结串通进一步的的，K2的增加必须伴随着价格的下降。从这一点上来看， K2的增加确实增加了企业2的利润，但同时由于最大可持续价格的下降，企业2的利润又会回落。 因此K2的最优值是能平衡这两种反补贴力的特定点。该值由K2*（K1）表示。
现在假设K1增加Krsquo;1。 显然，在点（Krsquo;1，K2*（K1））处，较高的价格是可持续的。这意味着K2的最佳值随着K1的变化也变大了，并解释了为什么反应函数 向上倾斜并超过点a。 还提供了为什么反应函数在除了（1,1）外道德所有点均呈45°倾斜的原因。
在区域oa中，反应函数向下倾斜。 在这个区域K1是小值且K2必须也是小值如果要保持勾结持续存在（否则，其中一个企业会因为利润过于低而选择勾结串通和欺骗）。 定理5公式（b）表明当K1和K2都是较小值时，静态纳什均衡和半勾结均衡一致（即K1 K2le;xm ）。 因此，每个企业以产能销售产品和以市场出清价格售卖。 然后，总利润由公式pi;2c（K1，K2）=K2（1-K1-K2）给出。该函数在K2 =（1/2）（1-K1）时达到最大值。 当产能成本足够低以至于能被忽略不计时，此时也是K2能达到的利润最大化值。 随着K1增加，（1/2）（1-K1）下降，解释了区域oa中的函数向下倾斜的情况， 这个属性也是从静态纳什均衡反应函数中继承而来的。
k2
45
K2*(K1)
O
a
K1 K1* 1 k1
图1
利率的上涨和产能的成本价格以相似的方式影响着企业的两阶段反应函数。 由于交叉报复效应，利率的上涨降低了资本化价值，从而使得支持协议这一举动变得更加困难。如果串通价格试图继续在平衡点上延续，那么行业必须变得更加对称。 因此，K2 的最优值随着r的
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