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一种基于Nos-FOAM-SJTU 求解器的不规则波生成方法
摘要
本文提出了一种通过naoe-FOAM-SJTU求解器在数值水槽中生成长峰不规则波的方法。naoe-FOAM-SJTU 求解器是利用开源工具OpenFOAM开发的。该求解器将RANS方程作为控制方程，采用VOF法捕捉两相流自由面，通过在水池入口处施加边界条件产生入射波群。本文提出了一种基于海浪谱的修正方法，使测量谱接近于目标波谱。该程序可根据浪高仪在数值波浪水槽中测得的波高自动调节生成的波浪参数。经过3-4次迭代，测得的波谱与目标波谱吻合较好。为了验证该方法，选取了几种波谱在数值波浪水槽中进行验证，并对实测结果与目标谱进行了比较。为了研究实际情况，对改进的Wigley船模在不规则波中进行了数值模拟。通过傅立叶分析处理波浪引起的船舶垂荡和纵摇运动以获得船舶运动响应，结果显示与理论解具有良好的一致性。
关键词：不规则波；海浪谱；RANS方程;流体体积（ VOF）; OpenFOAM；naoe-FOAM-SJTU 求解器
1.引言
近年来，计算流体力学（CFD）这一研究工具在海洋工程和近岸工程等领域得到了广泛的应用。基于CFD计算方法，船舶在规则波中的耐波性研究和数值检验工作一直受到许多研究者的密切关注。Sato 等 (1999)预测了Wigley船模和系列60船模在规则波中的纵摇和垂荡耦合运动，在N-S方程中把船舶运动项作为质量力处理。Orihara 和Miyata (2003) 基于重叠网格系统进行了集装箱船顶浪运动的数值模拟，重点研究了船舶附加阻力和运动响应。Yang 等 (2006)利用VOF方法同时进行了LNG船内的晃动液体和船周围的外部海浪的数值模拟，在船舶内外部区域通过有限元法离散不可压缩欧拉方程、N-S方程来求解，并采用任意欧拉拉格朗日法（ALE）模拟船舶运动。Carrica等通过单相水平设置的方法生成规则波顶浪，并基于重叠网格技术对DTMB 5512 船模进行了数值模拟。虽然大多数的CFD研究都在规则波的条件下进行，但它们对真实海洋环境的模拟有一定的局限性。真实的海浪由多种不同频率的波成分组成，而规则波只含有一种频率。基于规则波叠加的方法，计算每种波频率时计算机都要运行一次，一个完整的运动响应曲线至少需要数十年的计算测试。近年来，在不规则波中通过CFD计算方法进行真实流体与结构物相互作用的研究工作受到越来越多的重视。Carrica 等 (2008)采用重叠网格技术和有限差分法模拟了不规则波斜浪来研究船舶突然横转现象。Mousaviraad等(2010) 开发了生成瞬时波和调和波群的程序，通过一次运行估算响应幅值算子。
然而，与传统的势流方法相比，CFD方法出现严重的数值衰减问题。例如，如果网格密度不够大，入射波波幅会随着传播方向不断减小。由此所得的波幅远小于目标值，而波峰接近目标值。一种解决办法是沿着波传播方向增加表面附近的网格密度。然而，这种方法的缺点是在减少时间步长的同时增加了计算时间，对于不规则波来说，这个问题更为严重，因为它包含了广泛的波频率，保持所有不同成分波的波幅是很难解决的问题。
本文提出了一种基于海浪谱的不规则波修正方法，该方法能在波浪接近浮体时保持波浪振幅接近目标值。此方法首先在物理波浪水槽中得到应用。这种方法实质上是一个迭代过程，根据数值水槽中实测波高能自动调整波浪谱输入值。经过3到4次迭代后数值收敛，测量的波浪谱与目标谱非常接近。为验证该方法的有效性，进行了几种不同波谱的测试，最后， 在数值波浪水槽中对改进的Wigley船模进行了不规则波数值模拟，研究了船舶的运动响应并与已有的测量结果进行了比较。
开源软件OpenFOAM被用作数值模拟的研究平台。由于OpenFOAM的使用是免费的，且源代码向所有用户开放，因此它已广泛应用于船舶和海洋工程领域。Jacobsen等（2012）在OpenFOAM上开发了一个波浪生成工具并采用松弛算法生成各种波型。陈等（2014）应用OpenFOAM探讨了垂直穿透圆柱表面上的波浪与结构物的相互作用，重点讨论了圆柱上的波浪载荷，并与实验结果进行了比较，吻合较好。Higuera等（2013）基于OpenFOAM 开发了主动吸收式造波边界条件，这一边界没有增加计算域，实践证明，它比海绵层方法更有效，该方法能够在长时间模拟中保持波高不受干扰。
在本文中，由两相流不可压缩RANS方程求解器（naoe-FOAM-SJTU求解器）执行计算工作，该求解器是基于OpenFOAM开发的。求解器的结构如图一所示，除了OpenFOAM上原本的求解方法，如：有限体积法，流体体积法，网格变形法，我们开发了一个造波和消波模块以及一个6自由度模块。OpenFOAM上这两种新的模块与原来的方法相结合，该求解器不仅可应用于波浪与结构物相互作用的模拟，还可以用来预报运动响应。在以前的工作中，已经验证了该求解器能有效解决一系列船舶和近海水动力问题。在本文中，波浪生成模块增加了基于海浪谱的修正方法。可以在下面的章节看到有关的详细介绍。
2.数值方法
2.1控制方程
不可压缩的RANS方程为控制方程，表示如下：
; (1)
(2)
上式中，U是速度场；Ug 是网格节点速度；是动压力，从总压力p中减去静压力得到；rho;是两相混合密度；g是重力加速度；是有效动力黏性系数，其中v和分别是运动粘性系数和涡流黏度，由k-omega; SST湍流模型得到；是海绵层对衰减波反射的源项；是表面张力的源项。这两个源项将在接下来的章节中讨论。动量方程和连续性方程由PISO算法求解，同时采用Rhie 和Chow提出的同位网格消除压力振荡。
本文使用VOF方法捕获自由液面。在这里对这种方法仅有一个简单的介绍，具体细节可以参考Rusche(2002) 和Berberović等的研究(2009)，VOF输运方程表示为：
(3)
alpha;是一个体积分数，定义为网格内该流体体积占整个网格体积的相对比例，它的值介于0到1之间，alpha;的定义式见公式（4）。式（3）中的 是一个适用于压缩界面的速度场，由于项，项只对界面区域产生影响，Berberović 等（2009）研究了的详细表达式。此外，公式（2）中的表面张力项定义为，为表面张力系数，本文中取值为0.07kg/s2;为界面曲率，其大小由体积分数alpha;决定，如式（5）所示。
(4)
(5)
2.2造波部分
通过施加边界条件来产生波浪，即通过给定式（3）VOF 方程中的alpha; 和式（2）RANS方程中的U(u,v,w)，实现数值造波，不规则波可简化为一系列规则波线性叠加而成。
(6)
上式中，是瞬态波高；u(x, z, t) 和 w(x, z, t)分别是x方向和z方向的速度分量；下标i表示每一个波分量；是波幅；是波数；是波浪自然频率，是遭遇频率，两者关系如下式：
, (7)
在这里，是波浪的方向，在本文中取为0，表示顶浪； 是船舶的前进速度。式（7）可以重新表示为：
, (8)
其中， , 。
通过施加水槽入口处的速度U和体积分数alpha;的边界条件来生成波浪，对于速度边界条件，可以直接采用公式（6）中的u, w表达式作为Dirichlet边界条件。alpha;这一边界条件比u, w更复杂，流体边界线位于界面以下则alpha;=0，否则，alpha;=1。穿过界面的流体边界线将网格分隔为两部分：在之上的部分和其它在之下的部分。由于alpha;是每一流体域的体积占比，可简化表示为：
, (9)
其中，是流体域的总面积，是位于以下部分的面积。
在有前进速度的海洋结构物的计算中，数值水槽的坐标系随结构物不断移动。因此波频要求从自然频率w变换为遭遇频率we：
, (10)
上式中， 是以遭遇频率为变量的谱密度函数，U0是运动结构物的前进速度，是波浪的方向，g是重力加速度。
每一波成分的波幅ai由谱密度函数 计算：
, (11)
可以随意选取每一波成分的相位，在本文中，根据下式计算：
, (12)
上式中，是式（6）中出现的相位，是波长，是波数。通过傅立叶分析处理波高和波浪运动的结果。每一成分波的频率可由下式给出：
, (13)
上式中，为基频，为正整数， 是自然波频率，角频率，取样周期由下式定义：
， (14)
每一组成波的波浪周期由下式定义：
(15)
联立式（14）和式（15），我们可以得出：
(16)
因此， 是 的整数倍。如果仅计算一个取样周期内的函数，波浪衰减理想上为0。
一个取样周期的实测波振幅和每一成分波的波浪谱可由下式获得：
; (17)
, (18)
其中， 和 按下式定义：
(19)
上式中，是在特定位置测量的波高值，是取样周期，是每一成分波的波频。
2.3波浪谱修正
在计算过程中，本文提出了一种基于波谱的修正方法来修正波形生成参数。这种方法使在波浪探头处测得的波浪谱与目标谱吻合。此过程可以表示为：
, (20)
上式中，是输入谱，是修正后的波谱，用于在下一个取样周期中生成不规则波，是目标波谱，是波浪水槽中的测量波谱。
在数值波浪水槽中设置浪高仪，在计算过程中，浪高仪记录瞬态波高值并通过式（18）计算波浪谱，波浪谱经过修正后重新将数值传给造波机。造波机控制所有的波生成参数并根据公式（20）修正输入波谱。此外，为了提高算法的稳定性和收敛性，在计算过程中引入了松弛算子：
, (21)
在本文中，取 ，造波机用修正的波谱代替旧的波谱 。经过3到4次迭代，测得的波浪谱接近目标波谱。最后，我们可以使用修正的输入波谱产生不规则波并在放置浪高仪的位置生成。此过程的流程图如图2所示。
图3表示波生成模块的代码结构。该模块是基于OpenFOAM开发的，由面向对象的编程语言C 编写。此图中所有的节点被概括称为类，其中有两个节点：浪高仪和造波机，它们直接由CFD求解器的主要功能命名。浪高仪可以测量波高并计算测得的波谱，造波机是波浪制造模块的控制器。在这里提出了一个抽象的基础理论：波浪理论，它提出了三种波的生成方法，这三种波分别是规则波、孤立波和不规则波。前两种波将不在本文中讨论，因为本研究工作没有用到它们。因此，我们重点研究不规则波。在不规则波这一类中，提出了波谱这一抽象基础类别，其中有几种常用的波谱，如JONSWAP谱、ISSC谱和P-M谱。波谱计算了谱密度函数，波振幅和相位，并把这些数据返回到不规则波类这一结点。此外，不规则波还对波谱进行修正，即从不规则波中接收目标谱，根据波高仪中接受的测量波谱，向控制器即造波机输出修正后的波浪谱。
2.4消波
为了在水槽出口处吸收反射波，将一个称为海绵层的阻尼区设置在水槽末端以避免发生波浪反射。有学者曾提出用海绵层法来消波（曹等人，2011），并用实验证明了此方法的有效性。在式（2）中添加源项以吸收波浪水槽出口处的波浪，用公式表示为：
(22)
上式中， 是海绵层的起始位置； x是位于海绵层的网格单元的位置；是海绵层长度；是一个速度项的无因次系数来计入波阻尼的影响，在本文的研究中，取20；在海绵层的表达式中包含一个参考速度以控制流速，并在出口处指定特定的速度，保持计算域的质量守恒。
3.试验情况
3.1 JONSW
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