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MQ函数——一种离散数据的近似方案
摘要本文是对multiquadrics函数(MQ)优点的一系列研究的第二篇。 MQ是一种真正的散乱数据，多维空间近似方案。在前一篇文章中，我们发现MQ是一种非常精确的插值和偏导数估计方案，它适用于各种二维函数的插值和散乱数据的估计。Madych和Nelson的理论表明，对于MQ所属的所有条件正定函数的空间，都存在一个半范数，该半范数被这些函数最小化。 本文用MQ作为抛物型、双曲型和椭圆型泊松方程的空间逼近格式。我们证明MQ不仅非常精确，而且比有限差分格式更有效，后者需要更多的操作才能达到相同的精度。
引言
在前面的文章[1]中，我们证明了multiquadrics (MQ)是二维曲面及其偏导数的极好逼近。我们提到了弗兰科的工作[2]。我们参考了Franke[2]的工作，他使用各种精确的测试函数测试了29种不同的空间近似技术。 他总结说，在所有测试的方法中，由Hardy[3，4]开发的MQ的性能优于所有测试的方法。同样，Stead[5]证明了MQ在具有显著曲率的曲面上得到的偏导数估计是优秀的。她建议对相对平坦的曲面采用二次近似，对于中到高曲率采用MQ函数。
MQ成功的理论依据是Micchelli[6]和Madych和Nelson[7]提出的。Micchelli[6]证明了MQ系数矩阵对于不同的点总是可逆的。Madych和Nelson[7]证明了对于MQ所属的条件正定函数的空间，存在一个半范数，并被这些函数最小化。 在前面的文献[1]中，我们证明了MQ可以通过允许形状参数r2随基函数的变化而获得非常高精度的逼近。通过数值实验，我们发现在以下展开时，得到了最佳的结果。
r 2 ( j ) = r 2 min ( r 2max/ r 2min )(j-1)(N-1), j = 1, 2 ,hellip;,N ,
给rmax2和rmin2输入参数, 使用等式（1），MQ扩展被给定为
，
当
g(x - xj) = [d2(x - xj) rj2] 1/2
d2(x - xj) = (x - xj)2 (y - yj)2 . . . .
用基函数求解一组线性方程组，求出系数(aj)。 例如，对于传统MQ，我们解决了
以及给出的f(x~)=F(x~)。使用MQ的特殊精度是通过将原始集转换为更分散的集合和域分解来实现的。这些方案大大改善了MQ系数矩阵的条件数。
Madych和Nelson[6]考虑插值的一般情形，其中包含一个次多项式，其次数小于给定的固定整数m。
其中aj和ka必须满足
本文用MQ作为空间近似，而不是标准的局部多项式逼近。结果表明，MQ大大减少了空间截断误差，消除了均匀网格化、数值扩散和信号色散的限制。我们证明了MQ对于固定节点欧拉计算、变间距移动节点问题和二维散乱数据问题是一个很好的逼近。我们将证明MQ在抛物型、双曲型和椭圆型Poisson方程上的良好工作。MQ结果不仅比有限差分结果更精确，而且MQ计算效率更高，因为获得高精度的结果仅需要少得多的节点值。
2.MQ在偏微分方程中的应用
2.1线性平流扩散问题
文献[8]包含了求解线性平流扩散方程的各种方案，并取得了不同程度的成功。我们提出了一种基于MQ的欧拉框架隐式时间推进方案，证明了在MQ表示中加入数值扩散是不必要的。此外，我们的MQ方案对于0.5-10.0的单元格Peclet或雷诺数是相当准确的。我们将我们的方法与有限差分(FD)方法进行了比较，发现MQ优于有限差分(FD)方法。
下面的运动前沿问题，摘自Adams[8]，有一个解析解。我们求解了以下平流扩散方程
具有初始条件和边界条件
其中x和t是空间，时间坐标, U是一个恒定的输入速度，D是扩散系数
给出了两种情况的精确解：Dgt;0和D=0
当Dgt;0，我们有：
f(x, t) = 0.5[erfc(w 1) exp(ux/D)erfc(w2)],
当
w 1 = (x - ut)/2
w2 = (x ut)/2
erfc是一个互补的误差函数
当D==0时，我们有：
f = 1, for x lt; ut
= 0, otherwise
对流扩散方程可以很好地描述fd或mq近似。 如
当
I是单位算子
用标准隐式逼近方程(12)给出
当
和
我们收集类似的条件来获得
当
和
给出了高级时间解通过
在符合边界条件的情况下，
f(0, t ) = 1,
f ( L , t) =0
首先考虑对流扩散方程解的有限差分逼近。空间坐标x是一致离散的
对流项的中心差分近似和对流项的迎风差分近似
for 1lt;jlt;N
以及边界
Wf1 = Wfu = 0
算子H和H_的矩阵表示如下：
其中是以时间tn处f的已知值给出的列向量, fn 1是通过求解一个三对角线性方程组而得到的。
由于三对角矩阵的逆一般都是满的，我们发现用三对角算法求解未知数所涉及的运算较少，通常需要8N运算。再考虑平流扩散方程的MQ表示与解。
继Madych和Nelson[7]之后，我们用MQ基函数和附加多项式展开了任意连续函数f。可以证明，下面的线性多项式展开和MQ展开给出了：
当
和
将膨胀系数{aj}转化为离散化集合的线性方程组,f,{fi},1le;ile;N的值被以下式子给出
系数矩阵的第i行由
Gi,1=1,
Gi,2=xi
由于G对于不同的点是非奇异的，那么请参见Micchelli[6]
a=G-1f
为了构造平流扩散方程的解，我们得到了fi关于x的第一和第二偏导数:
当
和
对f的第i个值使用操作符表示法
当
Wi1=0,
Wi2=-u
在所给出的数值例子中，我们求解了欧拉框架中的平流扩散方程，该方程的空间节点是固定的。与有限元近似一样，我们假定空间基函数是固定的，且展开系数随时间变化。 即
aj= aj(t)
在此近似下，平流扩散方程为
或相当于
Gda/dt=wa
我们选择用下面的近似隐式求解方程(38)
和
得到
写作
我们有
假设
是非单数的
联立
a=G-1f,
我们得到
当
然而，对于所有内部节点1lt;jlt;N，平流扩散方程都有边界条件
f(0,t)=1，
f(L,t)=0,for tgt;0.
这些边界条件可以很容易地通过将矩阵P扩展为具有这样的边界条件来实现
P1,1=1
P1.j=0, for 2le;jle;N,
和
PN.j=0, for 1le;jle;N
PN.N=1
注意，通过使用基函数的偏导数，我们可以很容易地在x=0或x=L上对x的偏导数施加边界条件。
和文献[1]中的例子一样，我们使用区域分解将整个矩阵分解成一组七个重叠的段，每个段包含九个节点值。因此，每个段都是81个元素的完全块矩阵。所有部分有567个元素。用加权平均法对左右两个解进行混合。
我们使用MQ和FD方案进行了一系列计算，其中下列参数保持不变：U=1.0，Delta;x=0.05，N=51，Delta;t=0.002，tfinat=1.000。我们只改变了扩散系数，D：0.1，0.01，0和0.001。结果表明，对于迎风fd格式，有效扩散系数的计算结果如下：
当
表1显示扩散系数、单元格Peclet数和有效fd扩散系数的变化情况。
由于单元格Peclet数随网格大小线性变化，对于D=0.001的情况，Delta;x应该是0.002而不是0.05。图1-3显示了时间上的fd解决方案，t=1.0，对于D=0.1，0.01和 0.001是由长长的虚线给的。精确解是用实线给出的。随着扩散系数的减小，图显示了网格细化的必要性。对于MQ和FD方案，我们都使用了0=0.5的隐式时间格式。
图4-6显示了用实线表示的精确解，用短虚线表示的MQ解决方案。
MQ解决方案在D=0.1、0.01和0.001中运行。在D=0.1和0.01时，MQ的结果很好，而D=0.001的结果在锋利的前沿显示出良好的一致性，但在出现舍入的端点上则不是很好。图7显示了D=0.001的有限差分解的结果，它使用纯中心差分算法运行。注意前面的提醒。图8显示了结果，对于D=0.01和Delta;x=0.05问题，结果以55%的中心差和45%的上旋方式运行。注意到额的急剧减少。图9显示了D=0.001使用FDS、55%中央差分和45%向上差分的结果，对于网格间距Delta;x=0.005，总共执行510个点。
对于使用510个点的D=0.001的情形，FD结果与MQ结果的精度相当，为51个点。在每个时间步骤中，MQ解决方案都需要567个操作。使用Thomas的三对角矩阵算法的运算数大约需要8N操作或4080操作。在这种情况下，MQ的效率大约高出7倍。然而，图8显示，粗网格上的FD比MQ更有效，为FD方案提供了中心和逆风差之间的稳定平衡。
在这组平流扩散问题中，我们在MQ和FD空间格式中都采用了相同的二阶精确克兰-尼科尔森时间积分格式。在FD计划中， 由于稳定平流项需要一定量的上旋量，所以采用了迎风和中心差分的加权平均值。此外，FD结果对单元格Peclet数le;5.0是比较准确的。另一方面，MQ不需要向上缠绕，并且对于所有的单元格Peclet数字都是准确的le;50.0。我们的操作计数表明，对于低单元Peclet数，FD比对给定网格的MQ更有效，但是MQ对于较大的单元Peclet数更准确和有效。此外，在输入边界条件x=0.0时，我们对输入边界条件进行了扰动，并将边界值从1.0更改为1.0001，并运行了计算单元Pecle的fd和mq格式。
数值是5.0。在这两种情况下都没有看到数值不稳定性，而且解在图形上与图2和图5是无法区分的。
提出的一个自然问题是MQ的行为，因为扩散系数趋于零，从而产生一个倾向于阶跃函数的前部。我们观察到，使用MQ时，冲击前后的平坦区域是非常混乱的。这些变形区域需要非常大的R2参数基函数，这反过来又会产生非常病态的MQ系数矩阵。 因此，平坦的区域非常混乱。我们建议将表现为阶跃函数的区域近似为阶跃函数，并使用移动节点方案，参见参考文献[9]。
2.2 动态一维Neumann冲击波
需要解决的问题是冯诺依曼[10]的一个一维球对称问题.。在半径为1的球体中，气体突然加热，形成激波。在激波之前，u=p=0，气体密度为1。冲击背后的压力是100 当y=5/3理想气体时，密度为4。由于球形散度，激波后的气体速度和压力最终衰减，但密度保持在4。y=5/3气体的精确时间变形解见文献[11]。
从原始因变量出发，动量和总能量密度可以由以下给出：
m=pu,
E=p/(y-1) 1/2pu2.
在球面坐标系中，守恒方程是
在原点，动量分布在r=0时是不对称的，而p和E是对称的。r=0时的边界条件为。为了避免原点的奇异性，对(2/r)项调用L`Hopital`s规则。
方程式(54)-(56)可以简要地写成：
其中U=[p,m,E]和F是对应通量的向量。我们有两个来源的截断误差，一个来自空间差分，另一个来自时间积分方案。在这个运用中，我们希望最小化沿特征传播的空间截断误差。之所以选择这个模型问题，是因为我们可以比较三个问题的精确解。非线性方程组与数值解的耦合，是一类涉及耦合、非线性偏微分方程的典型流体力学问题。
为了使时间截断误差最小化，我们选择了一个移动节点格式，从而使方程(57)变为：
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