英语原文共 14 页
全张量重力梯度数据的平移不变小波去噪
Zhang Dai-Lei1 ,Huang Da-Nian1 ,Yu Ping1 ,Yuan Yuan2,3
摘要
从现场资料来看，全张量重力梯度仪数据去噪涉及到详细的信息，特别是混合高频随机噪声的数据，提出了一种基于平移不变小波的混合阈值降噪方法；通过自适应阈值去除随机噪声，保留数据细节。这是一种基于信号和随机噪声对应的小波系数能量分布的混合阈值滤波方法。由于平移不变小波会抑制伪吉布斯现象，所以混合阈值法比传统阈值法更好地分离小波系数。根据小波系数在各个分解尺度上的具体特征，采用了自适应贝叶斯阈值对小波系数进行处理，采用二维离散小波变换对网格数据进行降噪来提高计算效率。模型和实际数据的去噪结果表明，与高斯区域滤波器相比，该方法抑制了高斯白噪声，保留了重力梯度仪数据中的高频信息。利用平移不变小波实现了满意的去噪效果。
关键词：张量，重力梯度，去噪，阈值，平移不变小波
前言
全张量重力梯度仪(FTG)数据对油气勘探具有重要意义(DiFrancesco, 2013;菲茨杰拉德,2009)。与重力信号相比，FTG信号的频谱更有利于地质目标的定位。FTG数据受高斯白噪声影响(Lyrio et al.， 2004;Dransfield和Chrisenten, 2013)。FTG数据除了不相关的高频噪声外，还包含平均水平位移和相关的噪声(Barnes and Lumley, 2011)，由于重力梯度仪仪器(GGIs)的固有噪声和GGIs的飞行载体的加速度和旋转干扰而导致。这个转变也被称为动态诱导误差(Dransfield and Chrisenten, 2013)，相关噪声是由温度、气压等环境变化产生的。通过重新设计重力梯度仪仪器 (Lee, 2001)和应用分段线性漂移校正方法(Barnes and Lumley, 2010)可以来减少偏移和相关噪声。去噪FTG数据需要在保持信号细节的同时去除高频白高斯噪声。
为了解决这个问题，Li(2001)和Barnes and John(2011)采用等效源法抑制重力梯度数据中的噪声;然而，他们发现去噪结果会受地质模型网格大小的影响。(Sanchez et al.(2005)和Pajot et al.(2008))采用最小二乘法处理磁张量数据和FTG数据并且通过微分势场重新计算张量分量，从而去除了部分噪声。基于笛卡尔解的拉普拉斯约束滤波(Yuan et al.， 2013)成功地去噪了张量分量，但由于重力势解决时产生的误差，高频数据发生恶化。Pilkington和Shamsipour(2014)引入克里格法和方向滤波来降低重力梯度数据中的噪声;然而，我们需要减少一些客观存在的过程。
小波变换可以从多个角度上分析信号，并定位在特殊的坐标。因此，信号和噪声可以根据能量分布进行区分。Boschetti et al.(2001)和Liang(2011)分析了势场数据的小波分解和重构的物理特征，论证了小波变换在势场中的应用。Fedi等(2000)采用基于小波的方法定义局部阈值参数，以最小化小波系数。然而，正交小波由于缺乏平移不变性而引起了信号混叠。在FTG数据的分解中，这种情况发生在有梯度的区域，尤其是在波峰和波谷之间。Lyrio et al.(2004)假设信号和噪声可以在小波域中使用合适的阈值进行分离。虽然这种方法是自动化的，但很费时间。此外，由噪声级和数据大小确定的通用阈值在所有条件下都不能很好地工作。
最后提出一种基于平移不变小波的FTG数据去噪方案来解决这一问题。建立了新的阈值，并对小波系数和阈值进行了处理。该方法采用多尺度小波分析的方法对实际的FTG数据进行降噪处理，而且和高斯滤波方法进行了比较。结果表明，TI小波的去噪效果较好。将二维离散小波直接应用于网格数据，从而利用Mallat算法提高了计算效率。
混合自适应阈值
小波变换是一种时间频率变换，通过将一个函数分解成由特定母小波的平移和扩张得到的加权小波和。对于函数f(t)，其连续小波变换为(Mallat, 1999)
(1)
母小波是一个正交函数,用比例因子a和平移因子b确定psi;(t)的延伸和位置。参数a、b离散为a = ，b = ka，其中m，kZ。设s (t)为长度为的信号，则小波系数为(Mallat, 1999)
(2)
一般被认为是s(t)带有母小波(Mallat, 1999)扩张，平移和标准化的形式的卷积积分。在0，t,，nt,的等距点的位置给定信号s(t)，j = 0, 1, 2, hellip;, J–1 和 k = 1, 2, hellip;, 的一阶被用来算小波接下来，s(t)为(Ismail and Khan, 2012)
(3)
其中(t)为尺度函数，为尺度系数为对应的小波系数。基于式(3)，推导出矩阵M(x, y)二维离散小波变换的表达式
(4)
其中k、l分别表示X、Y方向的平移，i = h、v、d分别为水平、垂直、对角方向的子带小波系数。
Coifman和Donoho(1995)的研究表明，当信号中存在奇点时，通过使用TI小波和一系列移位并对最终结果进行平均，伪迹最小。考虑一个等间距信号，时移()= 其中Sh用h表示圆位移, 用移位、计算和等方法去噪信号,不变表示为(Coifman and Donoho, 1995)
(5)
其中为去噪信号，T为阈值小波去噪方法。当奇点存在时，应用不同h的移位(h是移位量的集合)，得到(Coifman and Donoho, 1995)
(6)
通过对去噪和循环移位的结果进行平均，弥补了正交小波变换中位移不变性的不足。对于长度为n的信号，有n个不同的循环位移结果。对于矩阵mn，有mn个可能的结果。包括计算中的所有位移都会增加计算成本。实际上，一个实验表明，使用可能的循环移位的一个小子集可以得到满意的结果。
常用的阈值方法有硬阈值法和软阈值法。硬阈值化将绝对值小于阈值的所有小波系数设置为零，同时保持其余系数不变。硬阈值化的表达式是
(7)
软阈值是(Donoho, 1995)
(8)
其中，和为阈值前后的小波系数。由式(7)和式(8)可以看出，硬阈值化会产生不连续，并导致伪吉布斯现象。此外，硬阈值法通常以平滑为代价保留峰值，可能会夸大变换系数之间的微小差异，其幅度接近阈值t。软阈值法去除了大部分高频，但存在过平滑的风险。根据Johnstone(1994)和Donoho(1995)的研究，小波变换将信号能量集中在大的小波系数上，并将噪声能量分布在整个小波域中。因此，我们提出了结合硬阈值和软阈值的优点，弥补其固有缺陷的混合阈值方法。混合阈值化方程为：
(9)
aR是缩小的因子并且让值控制在（0， infin;）（见-WTm曲线在图1中)混合阈值时alpha;趋于0变成了软阈值,当alpha;很大时变成了硬阈值。一系列混乱的1024个点是用来查找相应的alpha;值的。小波sym4和混合阈值,通用阈值,应使用不同的alpha;值降噪信号。计算去噪结果的均方误差，如图1b所示。alpha;的最优值大约是3（从0到8个采样的整数）。上述组合用于降噪另一个信号与20%的白高斯噪声。结果如图2所示，可以清晰地看到TI小波在去噪方面优于正交小波的优点。
利用小波变换，信号能量集中在较粗的尺度(低频)和较高的系数上，而噪声能量分布在整个范围内。因此，小波系数的小振幅主要归因于白高斯噪声，通过将这些系数设置为零，得到去噪后的信号。通用阈值的计算是基于信号的统计量，包括了数据的大小和噪声水平。这个公式是表示噪声水平和高斯白噪声的标准差, N是离散序列或矩阵行和列的乘积的信号长度。在实际应用中，由于噪声水平未知，使得归一化小波系数在最细尺度(对角方向)上的中值绝对偏差为。由高斯分布得到0.6745，对于信号{xi}，其中位数绝对偏差为MAD= (Donoho, 1995).
这是在特定尺度上估计噪声水平的一种有效方法，但通用阈值无法区分所有尺度上与信号和噪声相关的系数。在这种情况下，自适应阈值的效果更好。贝叶斯阈值(Donoho and Johnstone, 1994; Chang et al 2000)，利用各分解层的系数进行计算。这对于FTG数据可能更好，因为异常的边界和异常的跳跃和下降之间的边缘通常存储在不同尺度的系数中。
图1 (a) 原始系数，硬阈值，软阈值，混合阈值。黑线连接(-1,-1)和(1,1)，WTh、WTs和WTm分别为硬阈值、软阈值和混合阈值的Wij阈值;(b)混合阈值去噪结果的均方误差和alpha;不同的值 蓝线绘制每隔0.2在x轴上并且红线alpha;的整数值的地方成直角
图2 (a)原始信号(蓝色)和噪声信号(红色), (b)使用正交小波去噪信号sym4和硬阈值的原始信号(绿色), (c)利用小波sym4 TI和硬阈值的原始信号和去噪信号, (d)利用小波sym4 TI和混合阈值的原始信号和去噪信号。
假设调查数据为itimes;j矩阵，小波系数为(Chang et al. 2000)
(10)
是信号的小波变换，是高斯白噪声，用sigma;表示标准偏差， 和是独立的，
=,会在MAD中使用,在k范围里是经验估计的(Chang et al.2000)
(11)
其中k为k级各系数的平均值，Bayesian阈值为(Chang et al.， 2000)
(12)
信号的标准差为
(13)
对)进行再采样，得到，下一步对再进行采样。因此，我们得到和等等。上述矩阵形式的方程简称为
(14)
其中Gcol表示沿列的低通滤波器，Y为中间结果。设A、D为尺度系数和小波系数;下标和上标分别用于指定分解级别和详细信息。然后获得
(15)
在方程的右边,定义通用操作符Lambda;= G (G·)(此句为G和H行和列)和Lambda;X = G (G·) X = G (GX)。根据重采样(下采样)和周期延拓，四个输出矩阵的大小为m/ 2n /2，因此
= (16)
去噪
附录A中的公式(A-1)和(A-2)被视为卷积，将它们重新写成矩阵形式。假设滤波器H和G的长度分别为p和q，且p lt; m和q lt; n。
这是第一级二维小波分解的结果。在第二层，A1被视为矩阵X，在1 N的每一层，利用方程计算贝叶斯阈值，并对小波系数进行混合阈值化处理，最后利用N级原始系数和1 N级小波系数进行小波重构。
去噪的关键步骤是选择小波基函数、相应的消失矩和分解级。在实际应用中，采用不同的消去矩和分解级的组合方法对数据进行降噪，可以得到了最佳的降噪效果。基于小波的性质(Singh and Tiwari, 2006; Pan et al.，2007;Sun et al，2008)，在本研究中使用了三种不同的小波。它们在抑制高斯白噪声方面具有较好的综合性能，其性能如表1所示。
用去噪因子和均方误差来表示各组合对噪声消除的影响。去噪系数eta;被定义为(Pajot et al , 2008)
（17）
X表示噪声在某种程度上已被删除的特定的值eta;,噪声去除的百分比。如果eta;趋于零。去噪是令人满意的。去噪因子从方差的角度对其进行评估，即，信号功率;因此，它类似于信噪比。均方误差(mean squared error, MSE)是原始数据与去噪数据之间的平均偏差
（18）
表一：小波的详细说明
|
小波 |
缩写 |
格式 |
正交性 |
紧支撑资料编号：[5337] |
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
