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靠近固体边界的刚性板和弹性板的水下冲击响应的解析模拟
本文推导了靠近固定边界且受到指数冲击载荷作用的弹性水背衬板响应的解析解。分别研究了两种情况：刚性板和弹性板，其中弹性板由两个通过弹簧和阻尼器连接的质量单元来描述。解析解推广了泰勒提出的漂浮空气背衬板（ABP）模型（1963年，“水下爆炸波作用在平板上的压力和冲量”）和刘、杨提出的水背衬板模型（WBP）（2008年，“受水下冲击载荷的水中平板的瞬态响应：一种分析观点”；2010年，“考虑压力初期作用下冲击结构的相互影响”）。本文研究了以下五个参量的影响：（a）后板距固定边界的距离d；（b）板的流固耦合（FSI）参数phi;；（c）板的刚度，由系统的固有频率T描述；（d）板的材料阻尼系数CD；（e）压力初期的上升时间theta;r。结果表明板的前、后表面的压力响应极大地受到距固定边界的距离、流固耦合参数、冲击衰减时间与结构固有周期的比值和入射压力上升时间的影响。研究表明，结构阻尼（假定为典型的材料阻尼系数5%）的影响，相比于其它四个参数而言，事实上是可以忽略的。
1 引言
泰勒是第一个建立空气背衬、无限大刚性平板受指数衰减压力冲击载荷时的流固耦合响应的解析解的人。最近，水背衬结构，即完全浸没在水中的结构，受到越来越多的关注，其可能受水下冲击和爆炸载荷。刘和杨[2]研究了支持条件对水背衬板流固耦合响应的影响。他们的研究结论认为水背衬板相较于空气背衬板，具有更高的前表面压力、更低的净压力差异、更长的空化起始时间和更小的速度与位移。文献[3] 研究了压力初期时间对弹性水背衬板的冲击响应的影响。研究结果表明，对于空气背衬板和水背衬板，压力初期（或增长）时间的增加会减小入射压力峰值，且会缩短加速时间。压力的逐渐减小和加速度的减缓对水背衬板而言被认为更加重要的。刘和杨[3]系统地研究了弹性对空气背衬板和水背衬板的冲击响应的影响。研究结果表明，板的入射压力随着板的刚度与厚度的增加而增加，而板的动量随着板厚的增加而增加、随着板刚度的增加而减小。张和巴特瑞[4]研究了板的刚度和阻尼特性对空气背衬板和水背衬板的冲击响应的影响。他们的研究表明，前板的位移和速度随着板的刚度和阻尼的增加而减小。
除解析研究之外，还存在许多关于板的水下冲击或水下爆炸响应的数值模拟的研究工作。马基宁[5] 在冲击加载阶段利用平面波近似来模拟流体，并且将其结果与使用不同空化模型所得的结果进行比较。研究结果表明，对于作用在结构上的冲击压力而言，空化增长引起的驱动压力是最重要的影响因素。并且，重复加载时间对于结构响应是极其重要的。在文献[6]中，马基宁利用有限元方法建立了一种数值方法来研究考虑流体空化的夹心板的流固耦合响应。研究结果表明，夹心板的位移与作用在夹心板前表面上的压力之间有很强的相互作用。斯普雷格和吉尔斯[7,8]引入了空化声谱单元（CASE）法，利用流场分离、谱流体单元、非保形流固耦合、时间步子循环和非反射边界条件，高效地模拟了水下冲击响应问题的流固耦合响应。刘等[9]建立了一种强耦合的欧拉-拉格朗日数值求解器，来研究水下冲击与可变形的复合结构之间的相互作用。这个求解器用文献[10]中的实验结果验证了。他们发现，具有塑性变形能力的高柔性牺牲泡沫表层，通过减小结构获得的净能量的大小和速度，有助于减轻冲击荷载。杨等[11]利用二维欧拉-拉格朗日数值方法来研究轻质夹层结构受到水下爆炸载荷时的瞬时响应。他们得出的结论认为，可以利用流固耦合来减少传递到夹层结构上的冲击动量。数值模型的优势是它们可以捕捉到一般的三维水下结构的复杂流固耦合响应，包括流体空化的影响、空泡塌陷引起的二次重复加载、各向异性和非线性材料行为以及结构失效机制。然而，简化的解析解在初期设计中仍然很有用，因为其可以显著节省计算成本、快速得到解的范围，并且可以用于验证数值模型。
本文工作的目的是推广刘和杨[3]提出的解析解，以考虑板附近固定刚性边界的影响，例如当螺旋桨或舵靠近船体的情况。研究以下五个参数的影响：（a）后板距固定边界的距离d；（b）板的流固耦合参数phi;；（c）板的刚度，由系统的固有频率T描述；（d）板的材料阻尼系数CD；（e）压力初期的上升时间theta;r。
本文工作的一个重要潜在应用是作用在水下海洋结构物上的冲击碰撞的实验研究。可以改进德什潘得等[10]和埃斯皮诺萨等[12]描述的试验设置来模拟水背衬结构而不是空气背衬结构的水下冲击响应。然而，由于壁端和目标板之间为有限距离，壁端对系统流固耦合响应的影响是不能被忽略的。因此，解析的研究水下结构距刚性边界的距离的影响有帮于指导未来的水下冲击/爆炸研究。
2 公式
2.1 控制方程
2.1.1 模型建立及假设
本文研究并比较了两种模型。第一种模型涉及距固定固体边界（如刚性壁）距离为d的刚性水背衬板的水下冲击响应。
第二种模型如图1所示。
图1. 受到来自左边的指数衰减冲击波且靠近固定边界的水背衬板的示意图
它由两块质量分别为m1、m2的刚性板组成，这两块板通过一个刚度为k的弹簧和一个阻尼系数为Cd的阻尼器连接，后板背距固定的、完全反射的边界的距离为d，受入射冲击载荷作用。
来自左方的入射冲击压力可定义为
式中p0为峰值压力，theta;为特征压力衰减时间，c为水中的声速，t为开始加载后所经过的时间，x为波的传播方向。应指出的是，此模型是针对于板的一维响应，求解时假定线性声学流的假设是有效的，且忽略流体空化的影响。
对于这两个模型而言，其响应都可以分为两个部分。设后板与固定边界之间的距离为d。冲击由板传递至固端壁再传递回板的时间为t0，若板为固定的，则t0等于2d/c；若板是可以自由滑动的，则t0小于2d/c。解的第一部分涉及的是反射冲击波到达后板之前的阶段（0lt;tle;t0），且解的第二部分只涉及当波由固定边界反射回来之后的阶段（tgt; t0）。由于方程是线性的，这两个解可以叠加，以求得完整的解。解1只考虑入射冲击载荷且无固定边界的情况。解2只考虑反射波而不考虑初始入射波的情况。
0lt;tle;t0时的解与解1是相同的。tgt; t0时的解可以由t时的解1和（t-t0）时的解2（从t-t0=0开始）相加而得到。完整的解可表示为
式中psi;表示要求解的变量，如位移、速度、动量、加速度或压力，psi;（i）代表第（i）部分解。
对于刚性板模型而言，初始条件是
式中u、、分别为板的位移、速度和加速度。
解1的控制方程是
式中phi;为水背衬板的流固耦合参数，其定义为：
式中rho;为水密度。解1的推导细节可以在刘和杨所著的文献[2]中找到。
解2的控制方程是
式中Ptrans为由固定边界传递而来的压力。其可以用解1的结果求得
利用由方程（4）给出的初始条件和方程（2）、（3）给出的关系式，通过求解两个控制方程可得到压力、速度和加速度。
反射冲击波到达板背表面的时间t0由方程（9）给出。
当0lt;tle;t0时，如同刘和杨在文献[2]中推导的，解可由下式表示。
当tgt; t0时，通过组合第1部分的解和第2部分的解，正如方程（3）所示，其解可表示为
2.1.2 弹性板模型
柔性板模型如图1所示。两块质量分别为m1、m2的刚性板，通过一个刚度为k的弹簧和一个阻尼系数为Cd的阻尼器器连接。入射压力载荷作用在入射板的左边，且固定边界是在后板右边距离为d的位置。两块板的初始位移和速度都为0：
如同刚性板模型，解可被线性地分解为两部分。解1描述了只考虑入射冲击载荷而无固定边界的情况。解2涉及了当冲击波由固定边界反射回到板上且不考虑初始入射载荷的情况。
对于解1，控制方程可表示为
式中m1、m2为质量，u1、u2为位移，phi;1=2rho;ctheta;/m1和phi;2=2rho;ctheta;/m2分别为前板和后板的流固耦合参数，F为材料阻尼和结构弹性引起的力。
解2是作用在后板上的波压力等于Ptrans（t）且不考虑作用在前板上的初始入射载荷的情况。这个解是由如下控制方程给出：
式中反射压力可由下式计算
反射波到达后板的时间可由下式给出
通过求解出解1和解2，且根据方程（2）和方程（3）叠加这两部分解可以确定模型的完整的解。本文使用MATLAB中的ODE45求解器进行计算。它使用了变步长的朗格-库塔方法来解微分方程。
2.1.3 压力初期形式
本文也研究了压力初期形式的影响。包含了压力增长阶段。根据刘和杨在文献[2]中的研究，入射压力可定义如下
式中theta;r为压力上升时间，且theta;d=theta;为压力衰减时间。C为水中的声速，p0为压力峰值。
推广刘和杨所著的文献[3]中提出的解析解，对于固定边界附近、受入射压力作用（如方程（25）和方程（26）所示）的刚性板的情况，其解可表示如下
式中theta;r为入射压力的上升时间，phi;r=2rho;ctheta;r/m为在压力上升阶段的流固耦合参数。相似地，theta;和phi;为压力衰减时间和压力衰减阶段的流固耦合参数。A和B为两个常数：
方程（27）和方程（28）与刘和杨所著的文献[3]中的结果是相同的。通过将方程（28）和方程的结果相加来求解方程（29）。方程（30）是方程的解。压力的结果可以表示如下：
3 结果
本节研究了以下五个参数的影响：（a）后板距固定边界的距离d；（b）板的流固耦合参数phi;；（c）板的刚度，由系统的固有频率T描述；（d）板的材料阻尼系数CD；（e）压力初期的上升时间theta;r。水密度rho;取1000kg/m3，水中声速c取1400m/s，钢料密度rho;s取8000 kg/m3，压力衰减时间theta;取0.001s。对于刚性板模型，板厚h取0.2m。因此，单位面积的质量为m=1600kg/m2，且除非另有说明，根据方程（6）可取流固耦合参数phi;=1.75。对于弹性板模型，前板和后板的板厚值取h1=h2=0.1m（即每一板厚都为刚性板板厚的一半）。因此，其质量为m1=m2=800kg/m2，流固耦合参数取phi;1=phi;2=3.5。为了研究压力初期阶段的影响，压力上升时间设为theta;r=0.0001s，其导致相应的压力初期阶段的流固耦合参数的值为phi;r=2rho;ctheta;r/（m1 m2）=0.175。压力衰减时间theta;和流固耦合参数phi;与没有压力初期阶段的情况取值相同。
3.1 距固定边界的距离对刚性板响应的影响
首先研究了固定边界对刚性板模型的压力和速度响应的影响。选用了四个不同的d值来进行比较：d/ctheta;=1，3，5和infin;。对于每个d值，相对应的冲击波由刚性边界反射回板的时间为t0，使用方程（9）计算。通过将所有系数代入方程（10）至方程（17）中，板前表面和后表面的速度和压力可以求得。
对于d=infin;和d=ctheta;，图2和图3给出了phi;=1.75的刚性板的前表面压力、后表面压力和净压力以及板的速度的时间历程。在反射波到达之前，固定边界对压力和速度的初始响应没有影响，即图2和图3所示的结果与0lt;t/theta;lt;t0/theta;的解是相同的。
图2 距固定边界无限远的刚性板的前表面、后表面、净压力和速度的时间历程（phi;=1.75，d=infin;）
图3 距固定边界d=ctheta;的刚性板前表面、后表面、净压力和速度的时间历程（phi;=1.75，d=infin;）
当t/theta;gt;t0/theta;时产生差别，因为此时反射波会到达板的后面。对于d=ctheta;的情况，t0/theta;=1.9996，非常接近于2，其原因是在低的phi;值下，板在初始冲击下只有小量的位移，这相应于非常重的板或非常短的初始衰减时间theta;。正如图3中所示，板前面和板后面的压力增长都是由反射波引起的，但板后面的压力增长更快，且压力值更高，这是因为反射波首先到达板后面。净压力差成为负值（即板被推向初始冲击方向），这引起了速度的减小，且速度从t/theta;gt;2.46时刻开始变为负值。应指出的是，t/theta;=2.46亦相应于板后面的峰值压力作用的时刻。当t/theta;gt;2.46时，板开始朝着初始冲击方向往回运动（因此速度为负值），这是引起板后面压力减小而板前面压力增加的原因。
图4和图5中分别展示了phi;=1.75的刚性板模型在距固定
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