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基于边界元法等几何求解器的T样条船形优化
K.V. Kostas , A.I. Ginnis, C.G. Politis, P.D. Kaklis
希腊雅典国立技术大学海军建筑与海洋工程学院
英国斯特拉斯克莱德大学海军建筑系，海洋与海洋工程系
摘 要
在这项工作中，我们提出了一个基于T样条的参数化船体模型和Isogeo-metric分析（IGA）流体动力学求解器来计算船波阻力的船体优化过程。实船的表面包含一个具有特殊点的三次T型样条，除实现了G1连续性的特殊点附近外，确保了各处C2连续性。所采用的船舶波浪阻力求解器基于Neumann-Kelvin公式对相关问题的求解，其中得到的边界积分方程使用高阶并置边界元方法进行数值求解，该方法采用IGA概念和T-spline表示法对船体表面的表示。随后将流体力学求解器与船参数模型一起整合到适合本地和全球船体优化的适当优化环境中，以满足最小阻力标准。
关键词：T样条;波浪阻力;形状优化;船体
- 绪论
由于计算机辅助船舶设计（CASD）对效率和稳健性的需求不断增加，现有的建模、分析和评估技术正在不断发展，以便为设计过程和最终产品提供改进方案。 幸运的是，当前的运算能力已经可以运用到尖端的计算流体动力学（CFD）求解器的使用中，并将其与先进的几何建模技术和优化策略相结合，这种组合提供了显着的帮助以满足当代计算机辅助系统设计（CASD）的苛刻要求。
在船体设计方面，优化船体的阻力和降低燃料消耗一直是一项主要任务。此外，由于船体设计是大多数船舶设计任务的先决条件，因此尽早完成这项任务对船舶设计是非常重要的。目前的工作重点是开发适当的船体水动力学优化过程，结合现代优化技术——全参数化的T样条船体模型和BEM水动力学求解器，这两者都是由内部开发的。需要注意的是，水动力求解器采用休斯等人提出的等几何分析（IGA）的概念， [1]，其目的是通过将几何图形（船体）的CAD模型与解算器进行精确的联通，从而能够将分析与CAD进行内在整合。此外，Bazilevs等人[2]和斯科特等人 [3]已经证明了IGA结合T-splines技术的有效使用[4,5]。在IGA的背景下，形状优化已经在各种作品中被呈现，例如在[6-8]中用于2D情况并且在[9]中用于3D情况。在这些例子中，控制点直接用作形状优化参数，而在我们的例子中，由于船体形状的复杂性的限制，我们开发了一个参数模型，它使用具有物理意义的高级参数来生成实船模型，因此，下表面表征的控制点由这些参数间接控制。
第2节介绍了构建参数船体模型的方法。该方法在Rhinoceros R [10]建模环境中进行了材料化，借助其脚本功能和Autodesk 的T-Splines Plug-In在Rhinoceros 中的使用。应该指出的是，参数化建模的功能不受上述软件工具的影响;它是使用Rhinoscripting编程语言自行开发的。早期尝试建造船舶参数模型的原因是由于Lackenby通过修改棱形系数、浮力中心以及母体平行中间体的范围和位置来获得船体变型，随后通过使用B样条技术将该方法推广到改善参数模型的几何覆盖范围，例如Harries和Nowacki [13]，Kim [14]，Abt和Harries [15]，Harries [16]和Ping [17]。在我们以前的项目[18,19]中，借助CATIA R [20]建模环境开发了一个船舶参数模型（SPM），从而得到船体的多补丁NURBS表示。该方法以一系列已有的、基于单独的船体设计的内部参数作为开端，并逐渐生成控制曲线网络，且适当增加了相应的交叉切线带，船体的表面结构因此被简化为一系列局部的Hermite插值问题，再将这些问题通过CATIA工具解决，产生了船体的切向连续（G1）NURBS多贴图表示。在这项工作中，为了消除由多修补NURBS表示造成的缺陷，我们使用T-样条技术来构建SPM，该方法再次生成一个已有的内部参数列表，并从母船的形式中提取。两种类型的参数都用于参数化构建控制笼，该控制笼确定非结构化T型网格的拓扑结构，并用作所生成的三次T样条曲面的控制“多面体”。该结构使用Autodesk的T-Splines Plug-In功能为船体表面生成适合分析的T型样条网格，与其相应的NURBS多斑块表示（G1连续性）相比，所产生的表面具有更高的平滑度（C2连续性）（除出现G1连续性的非特殊点附近），见[3]。
第3节致力于介绍CFD求解器的基本特征。 CFD波浪阻力求解器是基于Brard [24]引入的Neumann-Kelvin公式在相关问题的应用; 另见[25]， 所得到的BIE使用更高阶并置的BEM（采用IGA概念）进行数值求解，并通过T-Spline Plug-In的IGA输出功能提供适合的T-样条曲线进行表示，然后进行搭配点计算的分析; 见[26]。 本节还对内部开发的基于T-样条曲线的IGA-BEM求解器进行了详细介绍，并进行了测试。
第4节介绍了集成SPM、基于T-spline的IGA-BEM求解器和用于设计具有最小阻力的船体的modeFrontier [27]的优化库的优化环境。
第5节设置了集装箱船的两个优化案例（本地/全球），并作了介绍介绍。第一个案例针对给定排水量下的最小波浪阻力进行球鼻艏优化（局部优化问题）；第二个案例涉及全球船体最小化问题，包括两个目标函数：总阻力及偏离参考船的能力，即船的载重量。
2. T-样条曲线船舶参数化模型
在本节中，我们介绍了一种在Rhinoceros 建模环境中构建典型船体参数化模型的方法，借助其脚本功能和Autodesk R的T-Splines Plug-In在 Rhinoceros 中的应用。 Rhinoceros是一种暴露的基于NURBS的表面和实体建模器，其功能广泛，而T-Spline插件为Rhinoceros添加了T-spline支持，Rhinosros借助Rhinoscripting实现了生成T-spline船体参数模型的方法。
最终，通过各种脚本语言在Rhinoceros中提供的自动化应用，可以很容易地构建优化过程中所需封装器的初始框架; 见第4和第5节。
典型船体的基本形状特征包括：
- 将船体划分为三个主要部分，即船首，船中和船尾；
- 全局尺寸（例如垂线之间的长度（Lpp）、船宽（B），型深（D），吃水（T））以及表征上述每个船舶划分部分的尺寸（例如在船中范围内）；
- 是具有边界（例如船尾轮廓，船首轮廓）或形状转变特征（例如FoS（平面）和FoB（船底）曲线）的一组控制曲线；
- 用于表征船舶功能、结构和流体动力学的局部几何特征，例如水线入口的弓形角、球顶位置、舱底半径，轴高度。
在上述粗略的形状描述和一组母型船体的基础上，设计了暴露的和内部的参数的列表。暴露的参数可以从参数化建模工具的外部进行访问，并启动建模程序，最终生成相应的船体模型。而一些内部参数从参数化工具的外部是不可见的，其用于控制表面构造过程并最终保持母船的基本形状特征，暴露和内部参数的默认值是从母船上得到的。此外，需为每个参数分配一个变化域，以确保建模精确性，同时避免无效的几何模型（例如自交叉），这些范围可以被认为是置信区间，且必须通过参数化模型的大量实验来定义，最后，SPM倾向于在可能的情况下使用无量纲参数，以避免参数之间的相互依赖性。由于参数是全局性的，暴露的参数可以分为四类，与船舶的船中，船首和船尾区域有关。属于全局组的参数对应于船舶的主要尺寸，其影响具有全局性，例如Lwl、B、T；参见图1。第二类包括参与船舶中间部分生成的参数，例如Mid L、Mid Pos，尽管这些参数不是全局性的，但这些参数的影响是全局性的，因为船中部分是船体参数模型构造的主体。其余两个类别分别对应船舶的船首和船尾部分，更具局部特征，因为它们分别定义船首和船尾部分的形状，参见图2。暴露参数的总数为24，分为：全局性参数3个，中部参数9个，其余参数7个，5个为船头和船尾部分。使用暴露参数和内部参数来参数化地构建控制笼，该控制笼基本上决定了T型网格的拓扑结构并且用作所生成的T样条曲面的控制“多面体”，具体而言，控制笼是T形三次样条的T形网格，不包括定义边界条件的面的外环。
控制笼由其顶点的连通性和位置唯一确定，连接性与船型有关，并定义拓扑结构。另一方面，顶点坐标取决于参数，并与相应的拓扑结构一起定义最终的船体形状。具体而言，如果X表示具有X Rm的参数的向量，m是参数的总数，则T样条控制点1，即控制笼顶点bi被定义为bi（X）=（bi x（X），bi y（X），bi z（X）），其中bi （x，y，z）（X）是参数矢量X的设计者定义的多项式函数，例如图6。
SPM控制笼创建过程
尽管整个控制笼都是船体表面定义所必需的，但是为了简单起见，我们分三部分讨论它的结构细节，即分为船中部，船首部和船尾部。
船中部的笼结构：
对于中间部分的构造，我们使用六条横向折线，每条折线包含六条线段，这些折线的相应顶点与纵向连接线（红色）相连，如图3所示。上述折线限定了平行中体，并控制船舶的侧面和底部的前后平坦部分，即船体平面（FoS）和底部平面（FoB），具体而言，控制横向折线如下：
- 船首部分是船中前部的边界，并开始于从船中到船首的形状过渡区域；
图1.暴露的全局和中间部分参数。
图2.暴露的船首和船尾部分参数。
图3.中型船舶结构。（为了解释这个图例中的颜色引用，读者可以参考这篇文章的web版本。）
- 船尾部分类似地定义了船中后部的边界，并启动了从船中到船尾的形状过渡区域。
- M1，M2，M3和M4对应相同的L形折线，由7个顶点定义，M1的情况见图6，假设对于一个三次样条，保证直线段的存在由四个连续控制点的共线性，四个L形区域连同红色正交区域（连接区域）连接线控制了这样的边界，所谓平行中体，即具有恒定截面曲线的船体部分，见图3。
船首和船尾在船的侧面和底部都有一个平面部分，因此它们与M1，M2，M3，M4的相应部分一起确定了船舶侧面和底部的平面性。具体而言，4times;4控制点（给定四边形拓扑结构）的平面性保证了船的平坦部分和平坦部分的平面元素的存在。例如，共面的船首部分，M3，M1和M2的上部产生平面的前部，而M1，M2，M4和船尾部分产生FoS的后部。
船首和船尾部分的笼结构：
船首部分（见图4）包括球首的上部和平行中间体的过渡部分。船首部分与在船舶首垂直（FP）纵向位置产生的FP一起控制从船中到船首的形状过渡。船首轮廓与球首1,2条折线一起限定了球鼻艏的形状，红线再次连接上述折线对应的顶点。
图4.船首部分笼结构
图5.船尾部分笼结构
图6. M1折线
船尾部分（见图5）主要由船尾部分，尾垂线AP和船尾轮廓折线定义。AP定位于船舶的后方（AP），并与船尾部分一起控制船中至船尾的形状转换。 对于船尾形状，也使用了横梁折线。
船尾和船首部分的拓扑结构不是严格的四边形，因此产生了特殊点和T形接头。
3.IGA-BEM波浪阻力解算器
对于波浪阻尼解算器，基于等值几何分析（IGA）的高阶边界元法（BEM）被应用于边界积分方程（BIE）（1）的数值解，详见[21]。
图7. 船体表面的Neumann-Kelvin问题的几何配置。
IGA方法最初在有限元法的背景下[28,29]，由Hughes等人提出[1]。
根据Baar和Price [25]中的公式，Neumann-Kelvin问题（见图7）等效地表示为在湿表面S上定义的弱奇异BIE和相应的水线l：
其中mu;是纽曼开尔文格林函数G（P，Q）的密度，G（P，Q）是格林函数的正则部分，-U表示船的稳定前进速度，表示特征波数，g表示重力加速度。根据上述积分方程的解，可以得到速度、压力分布、船波形和船波阻力等各种量。
IGA尝试根据用于表示体边界几何的基础来定义所讨论的边界值问题的近似场量。在边界积分方程（1）的情况下，因变量是分布在主体边界S上的源-汇密度mu;，后者被精确和有效地表示为T-样条表面，参见[3,21]，如下：
其中是T网格中控制点数或T网格顶点数；是元素e的参数域；是有限T样条基函数在域内的取值，是元素的数量。根据IGA概念，未知的源-汇表面分布mu;近似于用于体边界表示（2）的相同的T-样条的基，即：
其中，插入Eq。（3）进入BIE（1）我们得到：
其中：
是诱导速度因子，表示F相对于A的梯度。
现在我们便可以搭配方程式。（4）通过指定配置点，j = 1 ,hellip;,，在S上。对于光滑的船体，这些点被选为T型网格的非特殊顶点和非常规顶点的1环搭配点，如[3]中所定义；对于非结构化网格，T形连接点和特殊点的情况，这个搭配点的定义是对Greville abscissae的推广。然而，当T样条没有T形结点或特殊点时，文献[3]中描述的1环配置点等价于二维Greville abscissae。这样，我们就以未知系数获得以下线性方程组：
在等式中，包含有计算导致速度因子（方程（5））中的积分集中于B#39;ezier元素上的积分。此外，由于这些奇异积分是在Cauchy主值（CPV）意义上定义的，所以我们采用以下技术来进行精确和稳健的数值计算：我们排除邻域，其中围绕配置点处的奇点 ，并确保在奇点附近的积分区间的大小趋于0，如。 关于奇异积分的处理和达到的收敛速度的更多细节可以在[30]中找到。为了保持一个统一的数值计算方法来计算CPV积分，我们需要确保配置点位于B#39;ezier元素（而不是边缘）内。如果情况并非如此，我们会适当调整相应的搭配点。
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