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自然边界元法分析V形切口的热应力奇异性
摘要：当点接近边界时，由于通过高斯积分计算近奇异积分的准确性，传统边界元方法在内部点处的热应力的精度会变差。本文提出了一种热应力自然边界积分方程，其中将超强近奇异积分还原为强近奇异积分，然后用正则化方法进行处理。因此，可以将其用于模拟非常接近V形切口顶点的附近的高应力梯度。一旦产生了沿等分线并非常接近切口尖端的热应力，随后引入应力方法以计算应力奇异阶数和热应力强度因子。本文克服了数学上和物理上的奇异性难点，即近奇异积分和奇异应力场的评估。通过给出基准模型验证了该方法的有效性，分别分析了对称V形切口和倾斜V形切口的热应力奇异性。该基准实例表明，热应力本性边界积分方程可以成功使用。通过与传统的热应力边界积分方程进行比较，可以计算出更接近边界的热应力。与有限元法相比，确定了本方法的应力奇异阶数和热应力强度因子的准确性，大大减少了计算量。
关键词：V形切口，应力奇异性，热应力强度因子，近奇异积分，边界元法
1.介绍
由结构或/和材料不连续性引起的热应力集中通常出现在电子设备，焊接结构和复合材料的构造中[1-3]。当板承受的热载荷导致温度(如图1a)改变时，V形切口尖端附近的应力集中不等效于由等效机械载荷(如图1b)引起的应力集中，其中是热膨胀系数,E是材料弹性模量。当使用位移法时，分别如图1a和图1b所示的V形切口的计算的应力强度因子绝对不同，并且当使用应力法时，随着切口深度的增加，它们逐渐彼此严重偏离。此外，被钝口削弱并按几何比例缩放的两个分量具有相同的理论应力集中系数值。但是，由尖锐的V形切口削弱并按几何比例缩放的两个组件具有不同的切口热应力强度因子[4]。尽管专注于V形切口热应力奇异性的研究可以追溯到1960年代[5,6]，但如今仍然值得研究。
有一些数值方法，例如有限元法和哈密顿方法，以计算裂纹[7-10]和V形切口[11-17]的热应力强度因子。边界元法是进行数值评估的有力工具，也可用于分析V形切口尖端附近的奇异性热应力[18-26]。当源点靠近边界元素但不在边界元素上时，源点与集成节点(场点)之间的距离r非常小，即。在这种情况下，由于积分核分别包含,和项，因此在热应力边界积分方程中将出现非常强，很强和很弱的近奇异积分。在传统的边界元法中，随着内点接近边界，应力的精度变得越来越差，这是由于近奇异积分的计算困难。但是，非常接近切口尖端的应力的准确性是确定热载荷下V形切口的应力奇异阶和应力强度因子的关键问题。使用边界元方法对V形切口进行奇异性分析的首要任务是处理边界积分方程中的近奇异积分。
最近开发的方法分别处理超强近奇异积分和强近奇异积分[27-38]。作者认为，从数学意义上讲，奇异积分是奇异的，而在物理学意义上，则不是奇异的。这两种接近奇异的积分可以一起处理[39]。在此，通过将两个新的自然边界变量引入到热弹性位移导数边界积分方程中，将超强近奇异积分转换为强近奇异积分。然后，将新创建的强近奇异积分与原始积分相加，并通过作者在[40]之前提出的正则化方法进行处理。由于近奇异性降低了一个阶次，因此可以成功地使用新建的热应力自然边界积分方程来计算更接近切口尖端的热应力场。然后基于获得的在近尖端区域的热应力场，采用应力法分析V形切口的热应力奇异性。在提出了基准模型以研究本方法的有效性之后，建立了对称和倾斜的V形切口模型来计算应力奇异阶和热应力强度因子，并将其与有限元方法进行比较。与有限元法比较，验证了本方法的准确性，明显减少了计算量。
2.评估自然边界变量
对于具有均匀温度变化的二维热弹性，不考虑体力的位移边界积分方程可写为
（1）
其中i，j=1,2，x是一个场点。y是一个源点；是奇异系数，它取决于材料常数和点y处边界Gamma;的局部几何形状；和分别是边界Gamma;上的位移和牵引力分量；T(x)和分别是边界Gamma;上的温度梯度和常温梯度；整数A中的，，和的表达式列在附录A中。使用惯常的标准Euler表示法来表示重复的下标。
当y为内点时，奇异系数等于1。在这种情况下，等式(1)成为内点的位移边界积分方程，写为
（2）
通过将式(2)相对于坐标微分，可以如下求出内点的位移导数边界积分方程
（3）
根据等式(3)，利用二维热弹性胡克定律，可以推导出传统的内点热应力边界积分方程，并写为
（4）
式(3,4)中的积分核和式(4)中的初始热应力的表达式在附录A中列出，从中可以看出的1/阶奇异性弱，和的1/阶奇异性强并且的1/阶奇异性超强，并且r是从源点到场点的距离。当源点接近但不位于积分元素即时，包含这三种奇异阶的积分称为近奇积分，因为使用高斯积分时，被积分数的大小可能会很大。
将Kronecker运算符和置换符号(i.e.，,)分别乘以等式(3)的两侧后，可以得到
（5a）
（5b）
其中upsilon;是泊松比，G是剪切模量。当源点接近边界积分元素时，换句话说，，等式(5)右侧的第一和第二积分分别表现出弱近奇异性和近似强奇异性。为了区分是否存在近奇异的积分的边界，将等式(5)中的积分近奇异的边界表示为Gamma;1，将另一部分称为Gamma;2，如图2所示，其中和分别是边界Gamma;1的起点和终点，eta;和tau;分别是沿着边界的法线和切线方向。此外，等式(5)中的积分被划分为近奇异部分和非近奇异部分。
为了替换等式(5)中的偏导数，分别定义了两个新的边界变量，分别是自然边界变量和，分别为
（6）
引入和后，可以将等式(5)重写为
（7a）
（7b）
当热弹性问题中的自然边界变量在边界上离散时，可以从等式(7)得出。
3.建立热应力自然边界积分方程
在本节中，将给出用自然边界变量和表示的热应力边界积分方程。
公式(3)中的积分核可以写成相对于tau;的负偏微分，如下所示
（8）
其中
（9）
根据部分积分，有
（10）
将式(8)引入式(10)，可以得到
（11）
当式(11)被替换时，式(3)可以改写为
（12）
此外，将方程(12)引入胡克定律后，可以在内部点获得热应力边界积分方程，该方程表示为
（13）
公式(13)中的表达式是1/的函数，可在附录A中找到。式(4)中的近似超奇异的积分核在式(13)中已转换为近似强奇异的奇数，这意味着奇异性降低了一个阶。但是，在等式(13)中出现了一个新变量，该变量以前从未解决过，应该用已知的边界变量替换。通过注意下面的关系
（14）
可以将等式(13)中右侧的两个强近奇异积分加在一起并用和表示如下
（15）
将(15)式重新插入到(13)式中
（16）
式(16)称为热应力自然边界积分方程。的表达式可以在附录A中找到，它是1/的函数，并且相应的积分仅表现出弱近奇异性。由于最大奇异性是积分核的近奇异性，因此与传统热应力边界积分方程等式(4)中的近似超强奇异性相比，等式(16)中的奇异性减少了一个阶。
但是，如果直接通过8-point高斯积分来计算等式(16)中的边界积分，则由于存在强近奇异积分，当内点接近边界时，热应力的结果将变差。我们提出了一种正则化算法，在该算法中，通过重复部分积分，将近奇异性项从积分符号中移出，以处理近奇异积分[40]。在此介绍该正则化算法，以评估在热应力自然边界积分方程中出现的强近奇异积分。
4.确定热应力强度因子
在以V形切口尖端为中心的极坐标系统Orho;theta;中(见图1a)，可以用级数渐近展开式分别表示V形切口顶点附近的和的奇异性热应力场
（17）
其中rho;是到切口尖端的径向距离，是应力奇异度阶数，M是截断的序列项数，此处设置为奇数，和是应力特征角函数，表示热应力强度因子。对于对称变形模式()
（18）
对于对称变形模式()
（19）
通常，只有前两个主应力奇异阶位于(0,1)中，这使热应力场奇异。当对数取等式两侧的对数，式(17)分别产生
（20a）
（20b）
从式(20)可以看出，应力奇异域中的和是线性的。由等式(20a)和等式(20b)表示的直线的斜率分别为和。直线和与垂直轴的交点分别为和。通过将奇异渐近展开技术与插值矩阵方法[41]结合起来，我们得到了V形切口的特征角函数和。因此，可以从上述直线与垂直轴的交点确定应力强度因子和。
一旦通过第2节中提出的方法计算了应力奇异区域中的热应力和，就可以从等式(20)中内插应力奇异阶和热应力强度因子。为了使选择用于计算准确的热应力强度因子的节点位于奇异应力场的主导区域内，我们首先给出切口尖端附近的和的图，然后在和线性区间上选择多个连续的节点。之后，使用最小二乘法[42]确定应力奇异阶和相关的热应力强度因子，其中
（21a）
（21b）
其中N是选定内部点的数量；和分别是第n个内点的rho;和；是选定方向，在该方向上评估内部点的热应力。
5.数值示例
评估V形切口热应力强度因子的过程可以总结如下。首先，可以根据常规位移边界积分方程(1)计算结构边界上的未知位移分量和牵引分量。其次，根据自然边界积分方程(7)求解自然边界变量。然后，通过将位移分量，牵引力分量和自然边界变量引入热应力自然边界积分方程(16)中，计算出内点的热应力分量。最后，从等式(20)对V形切口的应力奇异阶和热应力强度因子进行插值。
例1.使均匀升温的板
为了检验所提出方法在计算靠近边界的内部点的热应力方面的效率，以图3所示的受均匀温度升高影响的垂直边约束方形板作为基准模型进行了测试。温度变化量设置为；弹性模量E=210GPa并且泊松比upsilon;=0.3；热膨胀系数ａ=1.2。在边界上离散了32个均匀的线性边界元素。测试了沿着对角线AB到达拐角点A(2m，2m)的内部点的热应力。
应用了三个不同的项目来计算内部点的热应力场。第一个称为不带正则化的CBEM，其中高斯积分用于计算常规应力边界积分方程(4)中的超强近奇异积分。第二种称为带正则化的CBEM，其中正则化算法[40]用于处理传统应力边界积分方程(4)中超强近奇异积分。最后一个表示为带正则化的NBEM，其中正则化算法[40]用于计算热应力自然边界积分方程(16)中的强近奇异积分。
计算得出的靠近拐角点A的热应力如图4所示，从中可以看出，没有正则化的CBEM的结果在x1=x2时开始分解，而具有正则化的CBEM的结果在x1=x2时变得无效。相反，NBEM用正则化方法评估的结果在x1=x2时仍然是准确的。可以得出结论，通过比较传统的边界元法，使用热应力自然边界积分方程来计算更接近边界的内部点的热应力。
例2.对称V形切口的热应力奇异性分析
我们来考虑一个板，该板被一个单边V形切口削弱了，该切口在其两端受到约束并且温度变化均匀(见图1a)。板的厚度设置为1mm，高为200mm，宽为40mm，材料常数中E=210GPa，upsilon;=0.3，ａ=1.2。
在边界元法(BEM)模型中离散了180个线性元素，并选择了沿V形切口平分线的19个内部点来计算热应力。有限元方法(FEM)也可用于分析该模型，以提供结果供参考。FE分析使用商业FE代码Ansys版本12.1进行。在有限元模型中，总共使用了7606个有限元，其中三角形元素选择在切口尖端附近，而四个节点平面元素则远离切口尖端。使用IntelCorei7-4790CPU时，BEM的成本时间为0.852秒，但是FEM的成本为3.230秒。可以看出，BEM的计算工作量要比FEM的计算工作量小得多，这要归功于以下声明的精度。
沿等分线并靠近V形切口尖端的对的双对数分布绘制在图5中，其中选择了三个不同的打开角度作为示例，并通过当前边界元方法计算了19个内部点的热应力。从图5可以看出和之间的关系是线性的。众所周知，这些直线的斜率是应力奇异阶，并且这些直线与垂直轴的交点反映了热应力强度因子。表1列出了不同切口开度所计算出的应力奇异阶数和热应力强度因子，其中相对误差定义为
（21）
通过使用插值矩阵法求解奇异特性微分方程，参考文献[41]还提供了V形切口的应力奇异阶，这些阶也列于表1中，以供参考。可以观察到，与参考值相比，BEM和FEM的结果至少精确到两位数。从表1还可以发现，BEM的热应力强度因子与FEM的热应力强
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