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圆柱阵列上波浪力的近似计算
P. McIVER 和 D.V.EVANS
布里斯托大学数学学院 布里斯托 BS8 1TW，英国
下面给出了估计一组固定的直立圆柱体上波浪力的近似方法。该方法基于大间距近似，并涉及用平面波代替散射波。与精确方法相比，即使间距很小，该方法仍能显示出良好的结果。下面介绍了一组五个圆柱体的一些新结果。
介绍
虽然在估计单独直立圆柱体上的波浪力方面花费了相当大的努力，但是人们对相邻圆柱体对波浪载荷的影响的关注较少。由于许多海上结构具有许多圆柱形支撑，因此能够评估它们之间的相互作用对任何一个支撑上的水动力的影响显然是重要的。
在线性波理论的限制范围内，并且在忽略粘性影响的情况下，Ohkusu和Spring和Monkmeyer提供了表达式，它至少原则上可以计算任意一组圆柱体中的任意一个圆柱体上的波浪力。Ohkusu使用多体散射的方法，其中通过分别考虑圆柱组内的每个散射事件来确定全散射波场。对于两个以上的圆柱体，速度势的解决方案很快变得不适用。Spring和Monkmeyer为包含未知系数的总散射波场构造了一个更简单的形式，这些系数可以通过求解某个矩阵方程来确定。尽管两种方法原则上都可以应用于任意数量的圆柱体，并且可以产生任何精度的结果，但Spring和Monkmeyer的方法更适合于计算，因为它更直接。
在本文中，提出了一个近似方法，该方法在广泛的参数范围内与Spring和Monkmeyer相比有优势，但具有制定简单和计算效率高的优点。该方法基于Simon最初与多个波能发电装置组成的阵列理论有关的想法。从一个圆柱体散射的发散波被另一个圆柱体附近的适当幅度的平面波替代。一旦确定了等效平面波的幅度和相位，问题就简化为平面波对任何给定圆柱体的影响。该方法被证明是一个大间距的近似计算，并且其被开发以得到比Simon所使用的更精度的结果。目前只研究了从水的自由表面延伸到（水平）底部的任意固定直立圆柱阵列上的水平波绕射力的情况；然而，一旦水动力学特性已知，该方法也可应用于任何固定或漂浮体所组成的阵列。本文结果与Spring和Monkmeyer更精确的表达方式进行了比较。在确定了平面波近似方法的精度和效率之后，得到了关于五个有规律间距圆柱体的有趣情况的新结果。
公式
考虑由一组N个固定的、刚性的、露出水面的直立圆柱体被放置在均匀深度d的水中的规则平面波的散射。选择笛卡尔坐标系，使用底部的水平面中的x轴和y轴以及垂直向上的z轴。图1给出了一个水平截面的草图。半径为aj的第j个圆柱的横截面的中心位于点（xj，Yj）处。相对于这一点，场点P具有极坐标
（rj，theta;j），其中，theta;j从正y轴沿顺时针方向测 量。 第k个圆柱体的中心相对于第j个圆柱体具有坐 标（Rjk,Xjk）。
y
p
！XJ，YJ）
(3
X
图1. 一般问题的定义草图
假定流体是无粘性的，不可压缩的，并且运动是无旋 的，从而可以通过满足流体中拉普拉斯方程的速度势Phi;T （x，y，z，t）和适当的边界条件来描述流体。这些是通 过固体边界的无流动条件，自由表面状态，其在通常的线性化假设下可应用于未受扰动的自由表面上，以及远距离处的
辐射条件。
幅度A、角频率omega;、波数K的平面波从由图1中的所定义的方向入射到圆柱体阵列上。波被散射所产生的波浪场将由速度势所描述：
其中
这里K是方程的正实解：
关于入射波在没有圆柱体的情况下对于Phi;T的贡献是：
论文于1983年6月收到。书面讨论于1984年6月结束。
其中相位在原点被选择为零。
0141-1187 /84/020101-07
copy; 1984 CML Publications 应用海洋研究，1984年，第6卷，第2期 101
波浪力在圆柱阵列上的近似值：P. Mciver和D.V.Evans
定义相位因子：
使得 可以用与第j个圆柱体相关的局部极坐标 表示。从而：
又可以写成
其中Jn是第一类n阶贝塞尔函数。例如参考Gradshteyn和Ryzhik第973页的方程MO27。
描述由第j个圆柱体散射的波场的拉普拉斯方程的适当解决方案是：
n=-oo
并且满足大距离的辐射条件。这里Hn是第一类Hankel函数 - 为了方便起见，我们通常忽略上标。没有流通过圆柱的边界条件要求
其中rsquo;表示关于相关参数的导数。
由等式（3）和（7）中给出的总的速度势
，系数Anj由方程（8）给出，这一方程首先是由MacCamy和Fuchs提出，用于计算通过单个圆柱体的平面波散射。
平面波近似计算
将单个圆柱体的结果概括为任意数量的圆柱体的困难来自于发生在圆柱体之间的多次散射事件以及关于如何总结对给定圆筒所造成的影响的问题。然而，清楚的是，使用上一节的结果计算任意数量的入射平面波在给定圆柱体上的影响是直接的。
这里的目的是用另一个圆柱体上的等效平面波替一个圆柱体的散射波，以便可以估计这种散射波的整体效应。在应用于一般情况之前，该方法最好仅使用两个圆柱体进行说明。
参照图2，考虑由Q1散射出的波引起的任意点P处的速度势。这通常可以写成如下形式：
对于一些系数Bn。 通过对贝塞尔函数使用格拉夫加法定理（p.979，方程WA394（6）），这个表达式可以用以Q2为原点来重写。因此在目前的符号中：
（10）代入（9）和交换相加结果的顺序得到：
图2.中心坐标变化的定义草图
现在对于KR取较大值时，参考文献4, p.962, 方程WA221(5):
所以
其中相关参数取近似值：
其中
在（13）中关于 的第一项近似值已经在（13a）中表示为复振幅S的平面波，从Q1的方向接近Q2。从（6）可以看出，用n代替-n并且根据 。
此 外，幅度S正好是由（9）给出的在Q2处计算的势能的值。出于这个原因，这个第一项近似值将被称为Q2处散射势的“平面波近似值”。这意味着对于大的KR，Q2处的圆柱形波的波峰在Q1处从圆柱体散射，已经被直线化，并且由在Q2处从新的起点测量的具有相同幅度和波长的平面波代替。因此对于这种程度的近似，入射在给定圆柱体上所产生的任何散射波现在可以被等效平面波替换。这正是西蒙首先采用的近似方法。这里还将考虑下一层次的近似，包括（13）中的参数D，这将被称为平面波近似计算的第一次修正。
N个圆柱体的总散射势的近似计算
上一节中的结果现在被应用于图1中多个圆柱所示的一般情况，标记为j和k。 根据方程（5）和（6），从角度x规定的方向入射到第j个柱面上的单位振幅的完全一般的平面波具有速度势：
并产生散射势：
.
本式中使用了公式（7）中的符号。
为了计算在第k个圆柱体附近通过其等效平面波加上第一次修正来得到的近似值，（18）可以写成：
其中
方程（9）和（19）的比较表明theta;1已被 代替， 被 代替。从方程（13） - （16）可以看出散射势够在第k个圆柱体附近通过下式近似：
其中 是在第k个圆柱体中心估算的的散射势，方程（21）中的指数项描述平面波在从第j个圆柱到第k个圆柱的方向上传播，指的是第k个圆柱体中心的原点。
方程（21）中的第二项是平面波近似的第一项修正，由下式给出：
其中
其中 由等式（20）给出。
入射到第j个圆柱体上的总速度势可以分为三部分：
（i）来自圆柱组外部的入射平面波，具有以下速度势：
（ii）由于剩余N-1个圆柱散射而引起的第j个圆柱处的波场的平面波近似具有以下速度势
其中Cjk是第j个圆柱体上合成的近似平面波的复振幅，代表第k个圆柱体的散射。
（iii）散射平面波的非平面第一次校正。这取决于所有圆柱散射的平面波，以第k个圆柱为代表。从而：
总入射波场的每个分量是被圆柱体分散以产生散射场。 从方向x入射的单位振幅的平面波：
给出由 描述的散射波，如等式（7）所示。 第一修正项 的散射可以用与平面波相同的方式来确定。 假设散射势的一般形式，即：
并且没有流体通过圆柱体的条件给予入射势加上散射波场的速度势：
使用方程（27），（7），（28）和（29）总波场对应于由于散射在第j个柱面和可以被确定。仍然要确定计算第j个柱面上波浪力的复系数Cjk 。
现在，第j个圆柱的等效平面波振幅Cjk就是在第j个圆柱体上估算的第k个圆柱体的总散射波，如方程（16）所述。忽略第一个修正项的散射，这个速度势是：
类似于等式（26）。在第j个柱面处对此进行评估，提供N（N-1）个方程来确定未知系数Cjk，即：
用等式（21）的符号表示。
计算给定圆柱的水平波浪力
第j个圆柱体上的波浪力由以下公式计算得出：
其中Xj，Yj分别是波浪力x和y分量的复振幅。压力Pj由线性化的伯努利方程给出：
此处忽略了静水效应。 如果表达式（24） - （29）用于计算 然后被替换进入（33） - （35）并进行了整合，结果是：
其中
是一个孤立的圆柱体在入射波方向上所经受的力。在等
式中（36）和（37）中，相应于等式（26）中的最后一
项（对平面波近似的散射的第一校正）被省略，因
为它们可以相对于入射波显示为与等式（30）中忽略的
第一校正的散射相同的数量级。
数值程序
将实部和虚部分开，并将线性联立方程（32）写成矩阵形式：
以标准符号表示。
该解决方案使用标准库程序进行。值得注意的是，对入射角beta;的依赖完全包含在矩阵B内。因此，如果要计算特定的圆柱配置和恒定的波数，矩阵A只需要倒置一次。等式（18）和（23）中的无穷级数在得到10-6的相对准确度时被截断，足以确定所有测试案例中的波浪力都达到四位有效数字。
结果
为了评估该技术的准确性，对两个和三个相同半径圆柱上的力的计算与使用更精确的Spring和Monkmeyer的方法获得的结果进行比较。为了确保准确的比较，本文作者编制了他们的方法来计算任意数量圆柱的波浪力，然后用于确认其发布两个圆柱的数值。两个测试计算的结果在图3-8中给出。比较针对平面波近似和具有第一校正的平面波; 当与Spring和Monkmeyer的方法吻合到小数点后三位时，不会显示后者的结果。
第一种情况（图3-6）用于一对沿波浪前进方向对齐的圆柱体，如每个图的插图所示。结果以两种方式显示。首先对于固定波数Ka = 0.4（对于7米直径的圆柱体，这大致相当于深水中110米的波长），该力相对于参数Ks绘制，其中s是圆柱体的中心间距。平面波方法是一个大的间距近似法，因此，即使间距很小（当Ks = 0.8时，如虚线所示，圆柱体接触），结果与Spring和Monkmeyer的方法结果非常吻合。这个力也是针对平面波法是一个大的间距近似法，因此即使间距很小（当Ks = 0.8时，如虚线所示，圆柱体接触），结果也与Spring和Monkmeyer的方法非常吻合。这个力也是针对一个固定的s / a = 5的间距的波数来绘制的，典型的是一些离岸结构。精度保持在离岸工程师感兴趣的Ka范围内。
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或者更严格的测试是
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