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使用多种振动测量设备对有复杂约束的拉索及体外预应力筋的张力测量
摘 要
一种结合了振型比与模态频率的新概念最近被应用于斜拉索索力精确测量的研究。在有效振动长度的优化中对两端对称边界约束进行了严格限制。然而，实际情况中肯定有存在一些明显不对称边界约束的情况，例如斜拉索中的附加阻尼器和被中间隔板所影响的体外预应力筋。为了解决这一难题，该法通过引入形状函数中的位移参数来有效考虑非对称边界约束，使其在现有研究中更具适用性。与该新公式相关的更复杂的非线性优化过程的上的数值困难首先被讨论，然后进行了大量的数值研究、实际验证和实际应用。
关键词：张力；斜拉索；体外预应力筋；有效振动长度；振型比；不对称边界
第一章 绪论
斜拉索力的准确估算在斜拉桥健康监测中具有重要作用。同样的意义也适用于加强箱梁桥的体外预应力筋的张力测定[1，2]。工程实践中曾采用液压千斤顶、应变计、载荷传感器和埋入式光纤布拉格光栅(FBG)等传感器来评估斜拉索或外索的张力。这些永久性设备通常面临精度的质疑、高成本、复杂的制造等问题，或者随着时间的推移而恶化，从而阻碍它们的广泛应用。由于钢材料的磁导率对其存在的应力敏感，弹磁传感器(EM)也被开发出来，用于在许多情况下的张力测量[3-7]。然而，这项EM技术通常需要在实验室或现场进行精细的校准测试。
由于其操作简便，适用范围广，环境振动法在监测拉索或外筋张力方面比在施工[ 2, 8, 9 ]或运营阶段[ 10 - 13 ]中提到的静力法更为常用。首先，这种方法经常通过传统的接触式传感器或先进的非接触式传感器来识别拉索频率。然后用预先确定的公式或数值模拟来估计张力。根据弦理论，将拉索或外筋简单地建模为具有铰边界条件的横向振动弦，得到只需给定振动长度和单位长度质量的解析公式。后来的研究试图通过进一步整合弯曲刚度 [ 19 - 23 ]，重力垂度[ 24 - 26 ]，以及复杂的边界条件[ 27 - 31 ] 的影响，用更多的分析或经验公式来提高这种方法的准确性。另外的数值方法也试图用有限元（FE）分析来寻找张力、弯曲刚度和其他参数的最佳值，使得所有识别的模态频率都能最好地拟合[ 12, 32 - 35 ]。
除了力求建立更全面的模型外，仔细选择合适的参数值，以忠实地反映实际振动行为，对提高环境振动法的精度可能具有同等重要的意义。在实际应用中，橡胶约束和特殊锚固系统通常安装在拉索两端。对于外筋，常采用中间横隔板来改变筋的方向，从而在箱梁内提供最佳的预应力。这些设计无疑增加了边界条件的不确定性，模糊了有效振动长度的选择，这是确定张力的一个特别敏感的参数。因此，精确决定索力计算公式中涉及的有效振动长度是一项具有挑战性的任务。即使在相应的有限元分析中可以直接模拟拉索、拉索、橡胶约束和中间隔板长度的数值方法，仍有必要用有效的弹性参数或筋与隔膜之间的详细接触来模拟橡胶约束。但不幸的是，这些参数在实践中无法方便地加以评估。
为了更有效地解决索力计算中遇到的建模和参数问题，作者最近提出了一种将模态形状比与模态频率相结合的新概念，开发了一种简便、准确的斜拉索力测定方法[36-38]。首先，对斜拉索[18]的多个同步振动信号进行处理来得到每个可观测模态在不同传感器位置的振型比。然后将这些振型比与基于轴向张拉简支梁模型的正弦振型进行比较，得到最优的有效振动长度，使所有考虑的振型的总平方误差最小。在这两年中，其他研究者也开始探索类似的概念[39-41]。有了有效振动长度下，利用确定的索频和解析公式，可以用简单的线性回归技术求解索力和挠曲刚度。在该方法中，有效振动长度优化过程中的一个关键问题是通过选择已知的索中点作为正弦形状函数的参考起点来描述传感器位置。在此情况下，它等价于假定模态形状函数相对于索中点的对称性。换句话说，这种方法施加了对两端几乎对称的边界约束限制。
虽然在大多数实际设计中，索锚系统可能离对称简化不远，但也有一些明显不对称边界约束的情况，特别是在斜拉索桥面端安装附加阻尼器的情况下。此外，在箱梁中间的中间横膈膜上使用不同类型的偏置器来改变外筋的线向，可能会引起更复杂的约束。针对这些困难，在本文的研究中进一步推广了最近发展起来的方法，在正弦形状函数中引入了额外的原点移动参数，有效地考虑了非对称边界约束。本文首先讨论了与该新公式相关的更为复杂、敏感的非线性优化过程的数值困难，然后进行了广泛的数值研究、实际验证和实际应用。
第二章 有效振动长度的确定方法
斜拉索系统通常由三个部分组成：(1)中间的一个自由长段；(2)两端有两个锚固区；(3)前两个部分之间有两个过渡区。锚固区和过渡区的组合通常称为锚固装置。在锚固装置的前端通常安装柔性橡胶约束，以减小锚固端的弯曲应力，集中拉索，缓解疲劳问题。由于锚固装置复杂，其详细设计随供货商的不同而不同，在进行索力分析时，很难准确地确定边界条件，并成功地模拟出靠近两端的截面。对于外筋，箱梁内的中间隔板改变筋的方向也会造成非常复杂的情况。尽管如此，已有研究表明，锚固装置对锚索振动的影响仅限于锚固端附近的有限范围[36.38]。中间隔板对外筋振动的影响也具有类似的特征。因此，索或筋中间的初始自由长段截面应可靠地由具有轴向张力的简支梁模拟。剩下的唯一关键问题是如何确定该模型的有效长度。
2.1 数值模型
考虑受轴向力T的简支梁，该模型的模态频率的解析公式为：
其中L表示梁长度，m表示单位长度质量，E表示杨氏模量，I表示均匀截面的面积转动惯量，是k阶模的固有频率(Hz)。此外，与每个模态频率相对应的振型以正弦函数的形式存在：
2.2模态振型比的利用与估计
值得注意的是，振型方程(2)仅依赖于振动长度L；另一方面，公式（1）涉及三个参数，即使m的可靠值在实际应用中很容易评估。进一步检查方程(1)，通过对(1)目标函数的优化，当只有模态频率可用时，只有T/和EI/这两个独立量能被有效地确定。因此，如果事先不知道振动长度L，直接从方程（1）估计索力是不可行的。但是，公式（2）揭示了一个启发性的线索：只要在不同的位置上的振型比是可得的，有效的振动长度就可以独立地确定。因此，为了估计模态形状比，需要进行多次同步测量。虽然在土建结构环境振动参数识别中经常采用功率谱密度(PSD)函数，但本文采用离散傅里叶变换(DFT)方法，方便地识别出与各索模型中对应的模态频率和振型比。假设y(，t)，y(，t)，hellip;，y(，t)是n个信号在同一拉索或外筋的n个不同位置同时进行测量，只考虑具有重大贡献的m个最重要的模式。通过这些测量，k阶模型在n个测量点处的模式形状矢量可以根据Y()，Y()hellip;Y()在处的傅里叶变换来估计，并表示为：
其中表示k阶模态在的对应振型值，,分别代表m个模式的模态阶数。应该注意的是，(，)，y(，)，hellip;，y(，)中的任意一个都可以作为方程（3）中的公共分母(，)。由于振型比理论上是真实的，所以从公式（3）得到的估计值的实部就作为振型比，虚部用来反映测量的有效性。
对于建筑物或桥面板测量的情况，功率谱密度(PSD)函数可能更倾向于突出可能出现的模糊频率峰值。然而，根据弦理论，斜拉索的模态频率基本上遵循一个算术序列。这种等距的频率分布，加上极轻阻尼(通常低到0.1%)的特性，使得用密度泛函理论(DFT)简单而准确地识别拉索频率和振型比，正如学者们最近 [36-38]所证明的那样。此外，基于公式（3）,用功率谱密度(PSD)函数来估计振型比有一个优点，即可以用结果虚部作为判别成功与不成功识别的指标。
2.3 对称和非对称公式
通过在梁模型的一端设置原点，为自变量创建一个0的范围, 来获得方程（2）中的正弦形状函数。然而，在确定索力时，模型的振动长度以及相应的边界点仍有待确定。为了克服描述测量位置的困难，学者们最近提出[36-38]原点偏移到两端橡胶约束前边缘之间的中点，这一点可以在不预先知道振动长度的情况下确定。这种坐标变换来自两端的对称锚固约束假设，偶数阶振型保持为正弦函数，奇数阶振型变为余弦函数，均在范围内。换句话说，理论模式形状向量可以在中由如下表示：
其中表示k阶模式的振幅系数，并定义函数Cosin(·)
:
在确定索有效振动长度的优化过程中，必须定义一个合适的误差函数作为目标函数。L的最优值是通过比较公式（3）各主要模态方程的模态形状比估计值与理论模态形状函数的对应值来使总误差最小化。因此，优化的客观误差函数以前被定义为[36-38]：
应该注意的是，方程（6）中存在m 1个未知系数，包括m个不同的振幅系数和L。
推广了公式（4）中用等式表示的对称公式，引入了原点移动参数，使每个正弦波形状函数都能自由地向锚固端移动。此外，在这个不对称公式中，还作了另一次调整，为每个模态指定一个独立的振动长度，以创造更大的灵活性来匹配振型比。通过这两个修改，可以将用于优化的总误差函数重新定义为：
并且，正值表示相应的形状函数向右端移动。需要特别强调的是，在方程（7）中总共有3m个未知系数，方程（6）中总共有m 1个未知系数。然而，如等式（8）所示，每个模式的三个未知参数与其他模式的参数无关，并且可以从每个模式的误差函数中得到。因此，这种新公式增加的参数并不会在优化过程中增加计算量。相反，将各种模式的有效长度分开将大大提高这一方法的效率。
2.4 最优张力和弯曲刚度
得到最佳有效振动长度后，各模态频率仅为张力T和弯曲刚度EI的线性函数：
随后，利用最小二乘法从识别出的模态频率中方便地求解这两个剩余未知量的最优值。
第三章 数值探究
赤陆大桥首次采用基于对称公式[36，38]的斜拉索模型进行数值验证，对新发展的非对称计算方法进行了数值研究。这座桥是一座两跨120 m 120m)的斜拉桥，连接着位于台湾中部的两座城镇。赤陆大桥共有34对斜拉索.。本文利用SAP 2000软件，建立了最长的R33索和最短的R01索的有限元模型，输入参数列于表1。应该注意的是，输入的索力和弯曲刚度是从实际测量[38]中识别出来的。R01和R33的有限元模型分别由500和2500等间距的桁架单元组成，每个单元的长度约为5cm。如图1所示，在两个橡胶位置附近的两个相邻节点上另外连接一对线性弹簧，模拟橡胶在横向和旋转方向的弹性约束。此外，在下一节段中，取弹簧单元(R 01和R 33的最佳刚度系数分别为5.0和1.5)，对识别的拉索频率进行最佳拟合，然后在第节段中对不同的边界约束进行变化。
3.1优化中传感器位置对收敛性的敏感性
利用上述有限元模型，通过在SAP 2000中进行模态分析，得到相应的模态频率和模态形状向量，在实际应用中其作为识别的模态参数。在此基础上，根据3个传感器通常足以达到较好的精度[38]，并考虑到在实际应用中仅能方便的在靠近桥面板的位置进行测量，因此，在本数值研究中，首先选择与可达测量位置(距左侧橡胶1.5米、3.0米和4.5米)对应的3个节点的模态形状比来确定有效振动长度。
虽然公式（7）提供了一个广义的公式来处理非对称边界约束，虽有可以利用公式（8）对每个模式进行分别优化的优势，但它也给优化过程中的收敛带来了一个主要的数值难题。相对于任意合理的初始猜测都能得到快速、光滑收敛的处理对称边界的公式（6），有移动参数，用来处理非对称边界的公式，导致了对初始猜测极为敏感的更为复杂的优化问题。为了证明这一困难，对拉索R01的情况，在实际可行的范围，中，按照优化中规定的值，在m=1,的情况下的误差函数，绘制在图（2）中拉索R33的情形也绘制与图（3）。从这两幅图上可以看出，基本上是d和L的光滑函数，具有峡谷的形状，但它的值在d-L平面上沿直线突然下降，斜率为正。仔细观察这条深沟，可以发现它的粗糙程度，特别是在全局极小值附近。从数学上讲，全局极小值被许多不规则的局部极小值所包围。因此，从不同的初始猜测开始的优化过程最终会收敛到不同的局部极小值，而全局极小值则特别难以得到。进一步比较图（2）与图（3），揭示了拉索R33的误差函数具有更广泛的局部极小范围，从而为优化的收敛性提供了更严格的条件。此外，我们还可以考虑到，包括全局极小值在内的大多数局部极小值都位于极窄的带内，在d-L平面上有一个正斜率。这一现象说明了在不同的初始猜测下，优化得到的d和L的收敛值本质上是成正比的。换句话说，存在无限对的d-L值，使振型比保持类似的优良匹配，且这些有效振动长度的合格值通常随着相应的移位参数的增大而增加。
尽管如此，再增加一个靠近右端的传感器将完全改变整个场景。如果进一步考虑距右橡胶1.0 m节点的模态形状比，则分别在图（4）图（5）中显示电缆R01和电缆R33的误差函数分布。从这两个图可以明显看出，图（2）与图（3）中“崎岖的峡谷转化为一个“光滑的山谷”，只有一个最小点。因此，从所有不同的初始猜测开始的优化过程将直接收敛到全局极小值，而不会再有任何困难。这种数学趋势表明没有世界上没有免费午餐。更具体地说，在不对称边界约束下，仅凭所有的都限制在斜拉索或拉索的一侧的传感器，不可能准确地估计出有效振动长度。至少一个传感器需要放置在斜拉索或外筋的另一边，以防止模式形状长度的发散。这一事实可以从模态拟合的角度来解释。以符合R33拉索一阶振型的拟合为例，图（6）表明几条正弦曲线出色地拟合了靠近左端的3个给定的振型比。这些曲线的误差函数的值都很小，无法区分哪一条曲线对有效振动长度有最佳拟合。然而，在靠近右侧的另一个模态形状比的作用下，这些正弦曲线的拟合误差可以毫不含糊地排列，从而使最优振动长度立即显现出来。在此基础上，对传感器的配置进行了数值研究和实际应用。
3.2 不同边界约束条件下的验证
为了在不同的边界约束条件下验证了该方法的有效性，
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