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研究改进的响应面法对基于加权回归重力坝抗滑可靠性的分析
陈建云，许强，李晶，范淑丽
（中国大连理工大学沿海与近海工程国家重点实验室，大连116023）（大连理工大学土木水利工程学院，大连116023）
摘要：本研究的目的是设计和构造一种改进的响应面法(RSM)，基于加权回归分析混凝土重力坝的抗滑可靠性分析。简要分析了传统响应面法的局限性和缺陷。首先，在小实验点的基础上，研究了一种具有奇异值分解技术的改进响应面法。然后，在加权回归和偏差系数修正的基础上，采用该方法，减少迭代次数和实验点，提高了测点的计算方法。最后通过一个测试实例验证了该方法的有效性。与其他传统算法相比，该算法具有一定的优势:该算法不仅节省了算法运算，而且大大提高了计算效率和存储效率。
关键词: 响应面法(RSM)，可靠性，重力坝，奇异值分解，加权回归，偏差系数
绪论：结构可靠度分析的基本目的是获得结构系统不确定设计参数的概率响应，如荷载、材料参数（强度、弹性模量、泊松比等），以及形状尺寸等。对于可解决问题的方法中，响应面法（RSM）是最强大的一个方法（刘和摩西1994）。响应面法的理论和方法得到了显著的发展在最近的20年里。尽管从理论的角度来看，该领域已经达到了一个阶段，在这个阶段中，各种各样的方法正在广泛应用，而用于分析大型结构的响应面法仍然是一项复杂且困难的任务。为了解决这个问题，我们进行了一系列严格的测试。摩尔和萍（1999）根据所提的sigma;方法和f -投影法，建立了在驻点和交替点上的平均响应不同的置信区间，并比较了覆盖概率和区间宽度。郑和大卫(2000)提出了一种改进的响应面法，并将其应用于加筋板结构的可靠性分析。关和梅尔彻斯（2011）评价了响应面参数变化对结构可靠性的影响。尤恩和蔡（2004）通过有效地评估概率约束，提出了一种混合的均值（HMV）方法，在设计优化（RBDO）的基础上，来实现高效和稳定的可靠性。古普塔和曼诺（2004）利用响应面法研究了非线性结构在高斯激发下的冯米斯极端压力。戈梅斯和阿瓦克（2004）比较了响应面法和人工神经网络（ANN）技术。凯玛兹和麦克马洪(2005)提出了一种叫做ADAPRES的新响应面，采用加权回归法进行回归分析。王等人(2005)提出了一种自适应设计方法，克服了在非线性有限元分析中，当加载在序列中应用时，可靠性分析的解决方案最初发散的问题，并提出了若干建议，以提高响应面法的鲁棒性。江等人(2006)改进了该方法以适应响应面的不确定系数。金和袁(2007)提出了基于最小二乘支持向量机(LS-SLM)的响应面法，针对具有隐式性能函数的可靠性分析问题。Chebbah(2007)处理了管状流体成形参数的优化，以减少在成形过程结束时可能发生的缺陷，如颈缩、响应面法起皱等。陈等人（2008)提出了一种基于响应面法的神经网络模型，并结合统一设计方法对结构的预判失效概率进行了分析。加文和尤尔 (2008)采用了高阶多项式近似于真实的极限状态，与最近提出的聚焦于样本点位置的算法相比，证明了随机响应面法的准确性。祖等(2008)在组件和系统两级给出了一种精确的、高效的蒙特卡罗模拟方法，用于基于有限状态的可靠性分析，使用了故障指示函数的响应面近似。阮等人(2009)提出了一种数值设计的自适应结构，在该结构中，响应面采用加权回归技术，使拟合点根据距离真实失效面的距离和距离估计设计点的距离进行加权。然而到目前为止，最可靠的方法如一阶可靠性方法（洪等人；1999），二阶可靠性方法（科伊卢格鲁和尼尔森，1994年;德·基利亚恩和达科森，1998年），加权回归法（邱和奥拉西姆，2004；特里安塔费洛普罗斯，2006）以及空间减少加权回归法（赵和陆，2006）都不能够被用来分析大的结构。这些传统的可靠性方法有两个方面的缺陷。一方面，有限状态函数经常是隐式的当我们使用有限元方法去分析结构。这使得困难的去得到基于任意可变的隐式的极限状态函数的偏导数。另一方面，为了克服上面所提到的缺陷，一些可靠性方法使用多项式响应面函数去符合隐式的极限状态函数，但是基本随机变量的数目是非常的大的当我们分析大的结构。这些可靠性分析方法需要更多的试验点去确定这些任意随机变量的不确定系数。由此可见，在这个过程中，这些方法的计算效率和春村效率非常的低的。在一些大的结构中甚至不能够获得足够的试验点的。因此这些可靠性的分析方法只能够用来分析小的结构。
本文从样本点回归、实验点的选取、权重矩阵的确定方法以及检验点的计算方法等方面建立了改进的响应面法。我们证明了改进后的响应面法可以用来分析大型结构。然后用该方法对某混凝土重力坝的抗滑可靠性进行了分析。最后给出了一个测试实例，验证和分析了该方法的收敛性和稳定性。
2建立了基于加权回归的改进响应面法
在这一节中，我们改进了基于加权回归的响应面法，并使该方法适用于大型结构如重力坝。与传统的算法相比较该算法具有较好的收敛性和稳定性，大大提高了计算效率和存储效率。
2.1建立响应面函数
使用二阶多项式响应面函数ỹ(x)为了使得符合隐式的极限状态函数g(x),我们将得到如下：
其中xj和n为基本随机变量(本研究中，基本随机变量为重力坝模型元素随机弹性模量)和基本随机变量个数; bo, bj, 和 cj是不定系数。然而，当我们分析大型结构时，基本随机变量的数量是非常大的。是不可能获得不确定系数的通过传统响应面法因为我们只能获取m个采样点,不能达到2 n 1的数量符合二次多项式响应面函数ỹ(x)。因此,我们通过m个采样点尝试使用二阶多项式响应面函数ỹ(x)最佳近似隐式有限状态函数g (x)。
我们选择m(m lt; 2 n 1)实验点xi (i=1, 2, hellip;, m),并计算隐式极限状态函数g(xi)对应于实验值点xi=[xi1, xi2, hellip;, xin]T,然后获得样本向量y=[g(x1), g(x2), hellip;, g(xm)]T。
建立b =[b0,b1,hellip;,bn,c1,c2,hellip;,cn]T作为待定的解向量,并使用m实验点x组成实验矩阵A:
通过对实验矩阵A的奇异值分解，我们得到：
在这个公式里Sigma;是个mxm阶的对角矩阵，U和V是m和2n 1阶的单位矩阵
给出的解向量b为：
设置权重矩阵M作为mtimes;m对角矩阵使m实验点xi重量值。
得到的解向量b为：
2.2权重矩阵M的建立
使用加权回归的最重要的部分是确定合适的权重因子。我们想要达到两个目标时使用二阶多项式响应面函数ỹ(x)近似隐式有限状态函数g(x)。第一个目标是将隐式有限状态函数g(x)的值设为0。第二个目标是近似于对x0点进行检查的隐式有限状态函数g(x)。他们的研究步骤如下。
在与设计矩阵对应的隐式有限状态函数的响应中，根据接近零值选取最佳设计，表明实验点接近极限状态。因此，为了实现第一个目标，我们建立了第一个优化对象函数。
此外，中心点x1在迭代过程中接近于检验点x0，这表明对中心点x1关闭的实验点应该获得更大的权重。因此，为了实现第二个目标，我们建立了第二个优化对象函数。
然后，通过以上两种优化对象函数的优点，我们发现下面的表达式适用于每个实验点的权重:
因此,我们建立权重矩阵M
2.3在初始迭代步骤中选择m实验点xi
在初始迭代步骤中，我们选择了m实验点xi为：
micro;j和sigma;j分别是基本随机变量xj的期望值和标准差;rij变量在间距[minus;v, v],v是偏差因素。
2.4偏差系数调整
在迭代过程中，偏差系数对收敛速度有影响。因此，为了提高收敛速度，我们在迭代中调整偏差系数的步骤如下：
在这里k是迭代的步骤数。
2.5检验点x0的计算方法
二阶多项式响应面函数推导演算ỹ(x)是复杂的。因此，我们采用基于拉格朗日乘数规则的改进方法如下。
通过求解约束优化问题Eq.(14)，我们可以得到设计检验点x0。
其中beta;是可靠性指标。
将公式(1)代入约束优化问题公式(14)，将约束优化问题重写为：
基于拉格朗日乘数法，我们可以重写约束优化问题公式(15)为：
展开公式(16)为：
然后求解公式(17)，我们可以得到
从公式(17)和（18）我们发现二阶多项式ỹ(x0)是单一变量gamma;的函数。因此我们得到：
通过二分法我们求解公式（19）如下：
步骤1:取两个值lambda;1, lambda;2 ，ỹ符合条件(lambda;1)times;ỹ(lambda;2)lt; 0,使lambda;=(lambda;1 lambda; )/ 2。
步骤2:当ỹ(lambda;1)times;ỹ(lambda;)lt; 0,使lambda;2 =lambda;和lambda;=(lambda;1 lambda;2)/ 2。
步骤3:当ỹ(lambda;2)times;ỹ(lambda;)lt; 0,使lambda;1 =lambda;和lambda;=(lambda;1 lambda;2)/ 2。
通过上面的迭代过程中,我们可以获得变量的值lambda;。把lambda;代入公式(18),我们可以获得x0设计检查的价值点。
2.6基于加权回归的改进响应面方法的基本步骤
基于加权回归的改进响应面方法的基本步骤如下：
步骤1:在k迭代步骤中，我们通过公式(11)和(12)获得了m实验点xi。我们计算隐式极限状态函数g(xi)对应于实验值点xi=[xi1, xi2, hellip;, xin]T,然后获得样本向量y =(g(x1)、g(x2),hellip;,g(xm)]T。我们通过公式(7)-(10)获得权重矩阵M。然后通过公式(6)得到向量b的解。
第二步:根据拉格朗日乘法规则的改进方法，得到检验点
，然后在下一步迭代中计算中心点为：
第3步:通过公式(13)获得偏差因子，并通过公式(11)和(12)获得m个实验点xi。如果可靠性指数| |beta;kminus;beta;kminus;1 | |le;ε,停止迭代过程。如果可靠性指数| |beta;kminus;beta;kminus;1 | | gt;ε,回到步骤1。
2.7 数例
我们提供了一个数值例子来验证和分析该方法的收敛性和稳定性。
建立隐式有限状态函数g(x,y)= exp(0.2 x 6.2)minus;exp(0.47 y 5.0),基本随机变量x和y服从标准正态分布和alpha;= 0.7,beta;= 0.3。我们在此方法中使用了两个实验点，与其他传统算法中的3-5个实验点相比。当使用与表1相同的初始偏差系数时，我们得到了比较结果。我们得到了初始偏差因子=3时的迭代过程，如表2所示。
表1
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