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区间有限元法及其在抗滑稳定性分析中的应用
邵国建、苏静波
摘要：通过区间值函数和实值函数的关系探讨了区间相关性导致的区间的问题；给出了区间扩张换算的方法；以论文的观点为基础，提出了以单元为基础的子区间摄动有限元的计算公式，其考虑了子区间数目，并给出了近似计算公式。同时对计算精度和提高计算效率的方法进行了探讨。最后，以子区间摄动有限元法和抗滑稳定性方法为基础，给出了稳定系数计算的范围，为合理估计评价结构的抗滑稳定性提供了依据。
关键词：区间相关性，区间扩张，计算精度，区间有限元，抗滑稳定性
中国图书馆分类号：O242.29, TU441.35
数学主题分类2000版：65G40
数字目标标识符(DOI)：10.1007/s 10483-007-0413-y
引言
近年，极限平衡分析法和数值分析法在抗滑稳定性分析中应用广泛。极限平衡分析法较为简单便捷，在滑动面确定后能有效确定安全系数。数值分析法的精确度取决于输入参数和本构模型的选择。在实际工程问题中，计算参数的精确值较难获得，但参数的上下限则较容易给出，且易于为工程师所接受。如果要全面地估计结构响应，把不确定参数作为区间数进行区间分析较为合理。
近来，不确定结构的区间分析受到众多学者关注。其主要应用包括：区间静力响应问题，区间动力特征值问题，区间可靠性问题，区间反演问题。
区间有限元法由区间分析法和传统有限元方法相结合而成。根据线性方程组摄动思想，邱志平等人提出了区间有限元摄动法。对于位移的上下限，这种方法忽略了某些存在于相关刚度矩阵和荷载向量之间的相互作用，导致了计算精确度的降低。从自由度着手，Mcwilliam提出了一种新的计算方法。而从单元的角度着手，陈塑寰、杨晓伟提出了另一种新方法。这些计算方法考虑了相关刚度矩阵和荷载向量之间不确定参数的相关性，并得出了合理的上下限。然而当区间界限较大时，这些方法很难应用于得到一个精确的上下限。
在本文中，我们通过区间值函数和实值函数的关系探讨了区间相关性导致的区间扩张问题，
给出了区间扩张换算的方法，以论文的观点为基础，提出了以单元为基础的子区间摄动有限元的计算公式，其考虑了子区间数目，并给出了近似计算公式。同时对计算精度和提高计算效率的方法进行了探讨。最后，以子区间摄动有限元法和抗滑稳定性方法为基础，给出了稳定系数计算的范围，为合理估计评价结构的抗滑稳定性提供了依据。
1 区间扩张及其处理方法
1.1 区间扩张
区间扩张可以通过区间值函数(1)和实值函数(2)确定。
通过下例[18]说明
给定区间值函数(3)、(4)和实值函数(5)
公式(5)中可得实值函数的值域为[minus;7,minus;22/9]。 公式(3)和公式(4)可得区间值函数值域为[minus;12,minus;4/3]和[minus;7,minus;22/9]。因此可以推得，区间计算因区间参数的相关性导致区间扩张。区间参数出现得越少，区间计算的相关性越少。当区间参数仅出现一次时可以得到更为精确的值域。因此可得出下式
1.2 区间扩张的处理方法
对于区间值函数和实值函数，，,将区间数分成N个子区间
对任意，子区间都存在，使，最终使，减少了区间扩张。
对区间值函数进行一阶泰勒展开，得
其中
于是可将区间值函数转化为另一个参数只出现一次的区间值函数。通过公式(4)可得知，这样能得到更精确的值域，且当较小时公式(7)的误差很小。
事实上，上述两种方法联合可降低可能的区间扩张，对于函数，，
f(x)的真实值域是[-0.25,0]，直接使用区间算法计算得出的值域是[minus;0.5,0]，当子区间个数为8时，使用子区间算法得出的值域是[minus;0.281,0]，当子区间个数为256时，使用子区间算法得出的值域[minus;0.251,0]，使用摄动法算出的值域为[minus;0.313,minus;0.063]，子区间个数为8时使用子区间摄动法得出的值域为[minus;0.251,minus;0.001]。
因此可见，子区间法和摄动法都能减弱区间扩张，且子区间法与摄动法结合的方法可以在子区间数目较少时得出更准确的值域。
2 基于单元的子区间摄动有限元法
在常见的结构分析中，有限元公式是KU = R。但对于一些具有如弹性模量、密度、外荷载、几何尺寸等不确定性区间参数的结构系统来说，有限元公式为
根据上述对于区间扩张的解决方法以及文献[6]提出的基于单元的区间有限元公式，为获得更准确的区间响应，下面列出基于单元的子区间摄动有限元法公式。
设不确定区间参数向量为：
规定所分子区间的数目为，则有
对于每一个，单元劲度矩阵和单元荷载向量分别为，对其进行一阶泰勒展开，得
其中。
根据通常使用的有限元法可得，整体劲度矩阵和整体荷载向量表示为
其中
如果把和看作的微小摄动量，根据摄动公式
和区间扩张理论，静力位移的一阶不确定量为
其中，和是和的扩充矩阵和向量。可以得出区间参数结构静力位移的上下限为
类比通常使用的有限元应力公式
考虑子区间单元摄动法，公式(21)可变为
其中为单元弹性区间矩阵，为单元结点位移区间矩阵，为应力转换区间矩阵，为应力转换矩阵。可得出结构的应力区间为
由于的解答过程与和有关导致其相关性上升，最后使应力区间的精度低于位移区间。
3 子区间数目的计算方法
对于弹性情况和单区间参数结构，假设不考虑不确定的荷载参数区间，根据公式[18]，为了获得足够的计算精度，公式如下
随机选取单元，可求得的值，
令
如果足够小，则子区间的数目L应满足
其中，是C的对应值，Delta;a是结构参数区间偏差，n是有不确定参数的单元数，是公称位移矢量。一般对于区间有限元法来说，整体劲度矩阵、位移响应均值和整体劲度矩阵的逆矩阵需要先行计算出，这样公式[25]的计算就会简化，通过可以由和给定的偏差得出。
对于多参数问题来说，根据公式[27]，参数分割子区间的数目满足
其中是第r个参数区间的偏差，是第r个参数区间的子区间数目，m是不确定结构参数的个数。
4 抗滑稳定性安全系数区间计算
4.1 点抗滑安全系数
点抗滑安全系数可由下式计算
其中，，c为材料的黏聚力，为材料的内摩擦角，和分别是滑动面上的正应力和切应力。根据区间有限元法可求得滑动面上的正应力区间和切应力区间。可得
其中，当时取，当时取。为点抗滑安全系数区间。
4.2 整体抗滑安全系数
整体抗滑安全系数由下式计算
通过区间有限元法计算滑动面上的单元正应力区间和切应力区间。可得
5 计算案例
为了演示该种计算方法，以下两例作为计算案例。
例1:
如图1所示6杆组成的桁架结构，不确定参数是杆的横截面面积和外荷载。桁架的弹性模量
E = ,L =1m，杆1、2、3、4的横截面面积均为,杆5、6的横截面面积为,外荷载。
令 = 0.05, 计算得。因此参数区间没有分割。将计算所得位移列于表1。
由表1可以看出，当考虑了劲度矩阵中参数之间的关系时，区间计算结果显著改善，计算结果非常接近实际区间，在案例中两种计算方法使用的时间大致相同，但以单元为基础的子区间摄动有限元法更加复杂。在复杂的工程问题中，当子区间数和包含不确定参数的单元数增加时，计算所需的时间也会增加。
表1 桁架结构位移计算结果表
|
名义均值 |
区间摄动法 |
Monte-Carlo法 |
基于单元的区间有限元法 |
||||
|
0.8585 |
0.69 |
1.03 |
0.8176 |
0.9024 |
0.8161 |
0.9080 |
|
|
0.3267 |
0.26 |
0.40 |
0.3136 |
0.3401 |
0.3135 |
0.3399 |
|
|
0.8958 |
0.73 |
1.07 |
0.8538 |
0.9408 |
0.8523 |
0.9393 |
|
|
-0.3111 |
-0.38 |
-0.24 |
-0.3240 |
-0.2984 |
-0.3239 |
-0.2982 |
|
例2 :
图2所示为上部结构和地基的系统。其中上部结构的参数为弹性模量E = 、泊松比，自重,水平分布力F为300kN/m。地基的参数为弹性模量E = 、泊松比。假定软弱夹层的弹性模量为区间变量，软弱夹层的参数为弹性模量E = 、泊松比、自重为、黏聚力
c = 0.1 MPa 、内摩擦角，软弱夹层的厚度为0.02m。
运用基于单元的子区间摄动有限元法分析上部结构与地基的接触面受力情况和抗滑安全系数，，在在确定有限元计算时，软弱夹层的弹性模量被选为区间变量的两个端点。坐标系以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，单元网格图如图3所示。共计60个单元和80个结点，其中软弱夹层被分为4个单元，地基和地面采用链杆约束。
设 = 0.05,计算得 。把参数区间分割成64个子区间。将区间有限元和确定性有限元计算所得应力的对比列于表2和表3。软弱夹层的点抗滑安全系数对比列于表4。
从表2和表3中可以得出，应力区间比确定性有限元方法计算的上下限宽。这主要是因为由于最终获得的应力区间是由弹性区间矩阵和应变转换矩阵相乘计算而得，而位移区间矩阵和弹性区间矩阵有相关性。从表4可看出，区间计算所得抗滑稳定性安全系数区间包括了确定性计算得出的安全系数，这给合理确定评价抗滑安全系数提供了基础。
6 结论
从区间有限元法出发，利用区间扩张的摄动法和子区间处理法，本文提出了基于单元的子区间摄动有限元法。数值模拟中证明了该方法有效。处理含有不确定参数的单元较少时计算速度非常快且结果准确，但对于含有较多不确定参数单元的问题，如何提高计算效率还有待研究。
本文中，区间分析法被用于分析抗滑稳定性问题，这可以增加抗滑稳定性安全系数的区间范围，并对合理确定评价结构抗滑稳定性提供了依据。本文中弹性模量仅作为区间参数，实际上，泊松比、黏聚力和内摩擦角等都可以作为区间参数。
参考文献
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1998. 152(3/4):361–372.
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1999, 16(1):1–10 (in Chinese).
[4] Mcwilliam S. Anti-optimization of uncertain structures using interval analysis[J]. Computers and Struc
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