国际工程数值方法杂志，卷。 282361—2381(1989)
悬索运动荷载作用下的动力分析
台湾台南城贡大学海洋工程系7010I，
陈吉庆
航空研究实验室，航空工业发展中心，I。
摘要
研究了悬索在移动荷载作用下的动力特性。首先，采用更新的拉格朗日公式和有限元方法推导出了下垂悬索的性质矩阵，从而定义了离散的运动方程。然后，将雅可比方法应用于悬索固有频率和振型的测定。 采用牛顿拉弗森迭代法结合纽马克直接积分法，得到了下垂悬索的动载荷诱导的动力响应。 动载速度、轴向刚度与索重的比值（AE J “My” L）、动载质量与索重的比值等相关因素的影响是动力分析的关键。
导言
与其他工程结构相比，电缆结构最主要的特点之一是它的灵活性，这也是为什么它有几个特殊用途的原因。 100多年来，悬索问题一直是研究的热点，尤其是与悬索桥的设计有关的问题。 “2。由于悬索桥弯曲的灵活性，索体在达到平衡结构之前会经历较大的位移，在进行索体结构分析时，通常需要考虑几何非线性。”
大多数早期的研究人员，如欧文，2普格斯利 * 和欧文和辛克莱，试图通过分析来解决电缆问题。 近年来，随着数字计算机的出现，人们提出了许多数值方法。 在《参考文献3》的介绍中，Ozdemir 对 Leonard、Henghold 和 Russell7、Gambhir 和 Batchelor 提出的一些有代表性的方法作了简要的回顾。 西部 CT AL9 所提出的方法也是值得提及的；他们将悬索视为由有限个无摩擦销连接的直杆组成的连杆机构，并用传递矩阵法确定悬索的固有频率和振型。
教授
助理
0029-5981/89/112361-21$10.50
1989年的约翰威利和儿子公司。
1988年4月25日收到
1989年1月4日回复
大变形（非线性）问题通常由总拉格朗日法（T.L.）或更新的拉格朗日法（U.L.）求解，而使用一种形式而不是另一种形式的唯一优势在于其更大的数值优势。 “本论文采用了 LU..配方。” Ozdemir “已经表明，为了保证节点弧保持不变的元素中的应变为零，应该引入一个分离的形状函数（拉格朗日插值函数）。 他的方法也在这里被采用。
上述工作都是为了确定悬索结构的静力平衡结构或固有频率。 关于电缆结构的强迫振动响应的信息是有限的，特别是与移动载荷的动态响应有关的信息。 Fryba 用傅里叶有限正弦变换和 Laplace-Carson 变换 (忽略移动载荷的质量)和 Green 函数 (忽略字符串的质量)解决了弦受移动载荷作用时的振动问题。 使用类似的技术，史密斯 “通过考虑由于弦的质量和移动载荷而产生的惯性效应，研究了带移动载荷的拉伸弦的动力学行为。 指出 Fryba 和 Smith 都提出了相同的假设，即弦中的位移非常大，运动载荷很小，因此弦的张力保持不变，使动力响应保持不变；这似乎与大多数工程问题不一致。 在实际中，悬索的布袋与跨径的比例可能是1： 8或 LAS2 与电缆张力的配置有关；这是本文的研究主题。
首先，利用 U.L.公式和有限元方法导出了性质矩阵和广义加载向量，建立了运动方程； 其次，采用改进的牛顿迭代法确定了电缆的静态平衡构型。 在此基础上，利用雅可比方法对悬索进行了自由振动分析，最后利用新的马克直接积分法和牛顿-拉弗森迭代法确定了悬索在移动荷载作用下的动力响应。
本文的重点是研究影响悬索动力响应的因素：轴向刚度与总索重之比、动载荷质量与总索重之比 (m,/° RIT 'L)和无因次移动速度
负载 (r = r,/y 'l)。
数值分析一开始，首先解决了几个特殊的问题，发现所得到的结果与已有的结果吻合较好。
基本假设
与大多数现有的工作类似，本文的结果是基于以下 ASU 选项获得的。 ” '
- 该电缆具有良好的柔韧性，只能在与截面垂直的方向传递应力，弯曲力矩、剪力和扭转力矩都是可控制的。
- 正应力在横截面上是均匀的。
- 变形过程中交叉区域保持不变。
- 阻尼效应可以忽略不计。
悬索的 DYNA-MIC 分析
2363
坐标系统与记数法
在接下来的开发中，图1中所示的固定笛卡尔坐标系统被用作全局坐标系统和符号的约定，[A 如下。'
左上标（i，）表示与配置相关的时间。
数量 A 发生；左下标（2）表示与测量量 A 的引用配置相关的时间。
括号（k）中的右上标表明，在迭代求解方案中，数量 A 与中间配置相关联；右下标 (i)表示向量或二阶张量 A 的分量。
对于 t — f 的情况，可以省略 eFT 下标（i，），因此 “a —”、“a”。
运动方程
给出了三维物体在 I AT 时的应力平衡方程。
(1)
在哪里我；— — 柯西应力张量的笛卡尔分量，即身体的 P 质量密度，
B：单位体积的物体力分量，xj = 物体的加速度矢量。
方程（1）乘3U；并将部分积分在卷 “*” U 之上，得到
(2)
在哪里
(3)
' *' S _ 'Z' Th-Bu-;
d
Z 'A ' “P“ B;-“*“ S;)6U D 'V
图1. 固定直角坐标系中电缆的运动
其中；= 变形张量的分量；U，uy = x 中的位移；-，xy-方向；
A _ 表面积；t；_-和11= 外部虚拟工作的牵引组件。 通过使用下列关系，
方程式 (2)简化为
在
位 x _ b (Kronecker Delta)和 'PD' U _
* 'PD' * 'U.
在方程式 (5H)中，S;;_ 第二 Piola-Kirchhoff 应力张量和 IJ 分量
= 格林-拉格朗日应变张量的分量。
对于一维电缆元件，可以使用 Arclength s 作为唯一独立的
时间的变量，并且，根据以前的假设和方程 (7)，有
12
T NN21
d '' * 's
D rsquo;s
指出格林-拉格朗日应变张量的分量是由格林-拉格朗日应变张量定义的
' *,',P (d 'x,d' “*';)—— (d'” ° '.x)2-(d')2
用方程 (4)代入方程 (8)给出
什么是 D 型灰化结构的运动方程，这里的 Z
'*' r _ '*' t-;B U；D '' * 'A (13)
在方程 (12)和 (13)的推导中，'* *'/'d' '*' u = 'p d' u 和 '' * 'x 的关系
使用了 “*” II。
悬索的 DYN-A-MIC 分析
2365
从此
“ “ t ”nn t“ nn ”nn (S FFI)
从方程式 (10)中
在哪里
'','T =,ENN CONN
d #39;x，DTI
dsd
= '*' 的线性分量
1du,dv,= ' *' s 的非线性分量
的复数
二维
通过将方程（14）和（15）替换为方程（I2）并使用近似关系
““n” “ann” “ 'Ann'，'Enn #39;s model'。在这里，一个人获得了1英镑的杨氏模量。
更新的拉格朗日公式的运动方程如下：
'P' * 'I' Ijjiiyed ° V 、FI、E NN、ANN D 'V ' Fknn D 'U _' * — 'Ann,E NN D' V
有限元分析
本节通过应用虚功原理推导单元性质矩阵和广义力向量，从而建立离散的运动方程。
元素坐标和位移
在前面的问题的公式中，一个固定的笛卡尔坐标系统被引入为全局坐标系统（见图1）。为了方便地推导出电缆单元的元素性质矩阵，还引入了局部坐标 R，如图2所示，其中 S-Arclength（时间唯一独立变量）和 n _ total 的节点数。
如果它，(r)，n —1，2，hellip; 表示对应于 n 个节点的坐标 “x” 的形状（或内插）函数，然后表示元素之间的坐标 “x；(r)和
图2. N 节点电缆单元与局部坐标 R
节点坐标 “X” 由
在其中，左边的上标我注意到了时间。
从方程 (19)中，我们得到了 “U，(r)” 与节点位移 “U” 之间的关系
同样，元素位移由 i =0增加到 i = i AT
X
“. x,(r)—'x(r)_''，(r)u，
用矩阵形式写出方程 (19)和 (21)
'.x (r)-/(r)' J U (r)-/(r)u
= 元素坐标向量 u (r)= (u (r))= (u (r)u2 (r)=
单元位移
2
'3
'2'
= 节点坐标向量
n = 节点位移增量向量
H[R] — —/I，(R)Jin (R)。 H (amp; #8482;!1= 形状函数矩阵
I _2-$-单位矩阵
在方程 (24}— (27)中，符号 ()表示列矩阵。
ELERTEENF 长度
如果 “s” 表示从第一节点到电缆元素在 I 和/i 时的第 n 节点的 Arclength（见图2）和 (r)表示相应的形状函数，那么从 LST 节点到电缆元素的任何位置的 Arclength 都是由
或者以矩阵的形式在哪里
lt;=1
方程 (32)中的 'S' 值由
海峡张量分量
将方程 (22)和 (23)替换为方程 (16)和 (17)，就可以得到
d #39;x,dv,= 'b#39; u
的复数
在哪里
1
2d s d s2
。
“BL —”
博士
D rsquo;s
二度
，BN，—
D rsquo;s
最后两个方程中的 (DR/D JS)值可以从方程 (31)中得到
利用方程（35）和方程（36）给出的关系，可以得到方程（18）中的内部虚功。结果是
外部虚拟工作
在本研究中考虑的外力包括身体力和集中移动载荷。如果移动负载 J 在任意时刻的位置位于 r = r，则总的外部虚拟 W 'ORK 是
其中，= u (r)= h (rd)t/和 fp 表示电缆结构单位体积的重力。
惯性力作用下的虚拟功
这里考虑的惯性力包括 ONC 由于电缆本身的分布质量和由于移动载荷的集中质量。
IL X（S ”F）表示移动载荷的位置矢量，位于带 Arclength S _ S 的电缆上的点上，时间 I（见图3），那么移动载荷的相应加速度由“ * ”给出。
hellip; hellip;
D ”
：X (S)、T B 'T)(44)
2
2
在哪里
De,— — 移动负载速度
'1
图3。 在质量为 m 的移动载荷作用下的电缆结构，
运动方程和单元性质矩阵和力矢量
如果将由惯性力或移动载荷引起的虚拟功与方程 (18)左侧的第
D #39;s DR
dr
D rsquo;s
博士
'*' f _ h t '*' FQ A
d
d '' * 's
-//'(r,)m r,
d ' *' s
dr
DR H '(r)' * 'F
2
d
D #39;s
//(r)'' X
d #39;x
d '*' x 博士
博士
h,(r)' *' x
从方程（5355）可以得到质量矩阵、 M、线性（或材料）刚度矩阵、 K L 和非线性（或几何）刚度
英语原文共 21 页
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