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7.1 前言
当梁受力时，它原本直的纵轴线变形弯曲，这叫做梁的挠度曲线。在这一章，我们将讨论计算梁的挠曲线方程的方法以及确定沿着梁的曲线具体点的变形。变形量的计算对分析超静定量至关重要，下一章将对此进行说明。另外，通常必须计算变形量来保证它们不会超过最大容许值。这种情况在建筑设计中会出现，因为大变形在结构中通常伴随着外观不良和太过于灵活，所以在建筑设计中通常会有有一个变形上限。在机械设计和航空器设计中，控制变形量在保持空隙和防止不良的振动中是非常重要的。
7.2挠曲线的微分方程
为了获得梁的一般挠曲线微分方程，让我们考虑在图7-1中所示的悬臂梁AB我们把固定端作为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。和在先前的讨论中一样，我们假定xy平面是一个对称平面并且所有的荷载作用在这个平面内；因此xy平面也是挠度所在平面。在梁上距离原点为x的任意点m1(如图7-1a)的挠度用upsilon;来表示。它代表从x轴到变形曲线的这个点在y轴方向上的变形量（或位移）。对于我们所选的轴，向下弯曲为正，向上弯曲为负。当挠度upsilon;表示为x的方程时，我们便得到挠曲线方程。(图7-1梁的挠曲线见原文)
梁的轴线在任意点m1旋转的角度theta;是x轴与挠曲线切线之间的夹角。（图7-1b）顺时针时转角为正，x轴和y轴的方向如图所示。现在考虑第二个点m2，在挠曲线上，m1和m2之间的距离为ds，在平行于x轴的方向上到原点的距离为x dx。在这一点的挠度为upsilon; dupsilon;。dupsilon;是当m1移动m2时挠度的增量。另外m2点旋转的 角度为theta; dtheta;，其中dtheta;是旋转角的增量。在点m1和m2，我们可以构造这些切线的法线，这些曲线的交叉点决定曲率中心orsquo;，orsquo;到曲线的距离即曲率半径rho;。从图形中我们可以看出rho;dtheta;=ds；因此曲率kappa;（相当于曲率半径的倒数)由以下方程给出：
kappa;== （7-1）
曲率符号的规定在图表5-5中给出。注意到正的曲率与正的数值dtheta;/ds相一致，这说明当我们沿着梁的x轴正向移动时角度theta;增加。我们从计算中可以得到挠曲线的斜率是一次导数dupsilon;/ds。从图7-1b我们可以看出因为dx是无穷小的，所以可以看作挠曲线的斜率和旋转角theta;的正切值等价。因此方程（7-1）和（7-2）的
=tantheta; theta;=arctan （7-2a，b）
得出仅仅依据几何条件，因此可以适用于各种材料的梁。另外，对于斜率和变形量的大小是没有限制的。大多数的梁当作用载荷时旋转的角度非常小，因此它们的挠度曲线非常平，所以它们的曲率也就非常小。在这种情况下，角度theta;是一个非常小的物理量，我们可以取一些近似值来简化方程。从图7-1b我们可以看出
ds=
又因为当theta;很小时costheta;asymp;1，我们得到
dsasymp;dx （a）
因此，方程（7-1）变成
kappa;== （7-3）
另外，因为当theta;为很小的物理量时tantheta;asymp;theta;，我们可以简化式（7-2a）如下：
theta;asymp;tantheta;= （b）
对于旋转角度很小的梁，旋转角度和斜率可以被看做是相等的。（我们要注意到旋转角度要用弧度表示）取theta;对x的导数，我们得到
= (c)
现在把这个式子和式（7-3）联合，我们得到
kappa;== （7-4）
这个方程组把梁的曲率与挠度联系起来，在旋转角度很小的情况下它适用于任何材料的梁。
如果梁由线弹性材料组成而且符合虎克定理，曲率是（见式5-9）
kappa;== （7-5）
式中M表示弯矩，EI表示称为梁的抗弯刚度。要注意式（7-5）既适用于大的也适用于小的旋转角。弯矩与曲率符号之间的关系见图5-11 。联合基于小的旋转角度的式（7-4），式（7-5）可以表示为：
= （7-6）
这就是梁的挠曲线的基本微分方程。在弯矩M已知的情况下这个方程可以和任意一个特殊情况结合起来求旋转角theta;或者挠度。总之，关于式（7-6）的符号规则如下：（1）x轴向右为正，y轴向下为正；（2）当theta;自x轴正向顺时针旋转时为正；（3）挠度upsilon;向下时为正；（4）当梁的顶面产生压缩时，弯矩M为正；（5）当梁弯曲下时挠度为正。如果弯矩M的正负号规定与此相反或者y轴（由此挠度upsilon;）以向上为正方向，那么（7-6）中的符号应该把减号改为加号。如果弯矩M和y轴的方向全部改变，那么这个方程不需要改动。
取方程（7-6）对x的积分，然后带人方程q =-dV/dx和V = dM/dx (见方程 4-1和 4-3),我们得到：
= （7-7）
= （7-8）
其中V代表剪力，q代表均布荷载的强度。根据数学方法和个人便利通过解(7-6) 到(7-8)任意一方程便可求出挠度upsilon;。关于M,V和q的符号规定，已在见图7-2中。
（注：图7-2弯矩M剪力V以及均布荷载q的符号规定见原文）
为了简化后面的讨论，我们将在字母的右上方加上小撇来表示微分号
upsilon;rsquo; upsilon;” upsilon;rsquo;” upsilon;”” （7-9）
应用这些符号，我们可以将上面得到的微分方程式表示为以下形式
EIupsilon;” EIupsilon;rsquo;” -V EIupsilon;”” q （7-10a,b,c）
在接下来的两章里，我们会用这些公式来求梁的挠度。过程由方程的逐次积分组成，并由梁的边界条件算出积分常数。
从式(7-10)的推导中我们可以看出，仅仅当材料符合虎克定理或者当挠度曲线的斜率非常小时它们才有意义。另外，我们应当看到方程的导出仅考虑了由纯弯曲引起的变形而不考虑剪切变形。尽管在极少的情况下考虑到由剪力引起的附加挠度是必要的，这些局限性对于大多数实用目的是适用的。（见章节10.9）
曲率的准确表达式
如果挠度曲线斜率很大时，我们不能用式a和b给出的近似值。我们必须采用曲率的准确表达式（7-1）和角度的准确表达式（7-2b）。联立这些方程式，我们得到
kappa;==
由式7-1b我们注意到 ds2 = dx2 dupsilon;2，所以我们得到
=[1 ）2]1/2=[1 (upsilon;rsquo;)2]1/2
另外，通过微分，我们得到
（）=
把这些方程替换到曲率的表达式中
kappa;= = (7-11)
把这个式子和式7-4比较，我们看出小斜率的假定相当于略去与整体相比很小的，因此使式7-11中的分母等于一。求解梁的最大挠度问题时必须用式（7-11）（见章节7.12）
7.3用积分来弯曲变形
关于弯矩的挠曲线方程（式7-10a）可以对x积分来求挠度upsilon;。因为是二次导数，所以需要积分两次。在解题的第一步中需要借助受力图和静力平衡法来写出弯矩方程。如果当我们沿着梁的轴线移动时，作用在梁上的荷载突然变化，在荷载突然变化的两侧区域会有不同的力矩表达式。在每一个区域里，我们把弯矩的表达式带入微分方程。然后综合方程得到斜率upsilon;rsquo;，一个积分常量也会在这个过程中产生。第二个积分得出挠度upsilon;，然后另一个积分常量也会产生。因此在梁的每一个区域都会产生两个积分常量。这些积分常量可以在梁的支撑条件下upsilon;和upsilon;rsquo;固有的边界条件和积分区域相连部分upsilon;和upsilon;rsquo;的连续性条件中得出。每一个这样的条件给出了方程包含一个或多个积分常量。因为连续条件的数量大多时候和长廊的数量相一致，所以我们可以解出这些方程的常量。然后积分常量的数值可以被带回挠度upsilon;的表达式中，因此得出最终的挠度曲线方程。这种求挠度的方法有时被叫做连续积分法。下面这个例子用来说明简单梁和连续梁的解题过程。
例一
确定在均布荷载q作用下简单梁AB的挠度曲线方程。（图7.3均布荷载下简单梁的挠度）另外，确定梁的跨中截面的最大挠度delta;以及支撑处转角theta;a，theta;b。以左边支撑处为坐标原点，梁的弯矩方程为
M= －
这个弯矩的表达式由构建一个隔离体图并得到对应的静力平衡方程得到。二阶微分方程（式7-10）变成
EIupsilon;”=
方程两边同时乘以dx并积分，我们得到
EIupsilon;rsquo;=－ C1 (a)
在这里C1为积分常量。为了求出这个常量的值，我们从对称性出发，跨中截面的弯矩upsilon;rsquo;为零。因此我们得到条件
当x=时 upsilon;rsquo;=0
更简洁的表达为
upsilon;rsquo;（）=0
把这个条件带入a式我们得到
C1=
方程a然后变为
EIupsilon;rsquo;=－ （7-12）
再一次在方程两边乘以dx并积分，我们得到
EIupsilon;= C2 （b）
积分常量C2可以根据条件当x=0时，upsilon;=0，或者
upsilon;（0）=0
把这个条件代入方程（b）可以得出C2=0；因此挠曲线方程为
upsilon;=(L3-2Lx2 x3) （7-13）
这个方程可以求出在梁的轴线上任意一点的挠度。
最大挠度delta;出现在梁的跨中截面，把x=L/2代入方程（7-13）可以得到。结果是
delta;=upsilon;max= （7-13）
转角的最大值发生在梁的支承处。在左端，角度theta;a和斜率upsilon;rsquo;等价，因此把x=0代入方程（7-12），我们得到
theta;a=upsilon;rsquo;（0）= （7-15）
用同样的方法，我们可以得到右端的角度theta;b：
theta;b= upsilon;rsquo;（0）= （7-16）
因为梁和其上荷载都是关于跨中截面对称的，所以两端的旋转角是相等的。注意到当梁的两端的转角的方向如图7-3所示时认为是正向的。当然斜率upsilon;rsquo;正方向是由坐标轴的方向决定的。在此例中的梁，在A处斜率upsilon;rsquo;为正，在B处斜率upsilon;rsquo;为负，在中间截面
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