基于车桥耦合的预应力桥梁与车辆动响应分析
摘 要：桥梁中预应力的作用会影响桥梁以及行驶在桥梁上车辆的动力响应。本文建立一座具有偏心预应力的连续梁桥模型，以及具有4个自由度的半车模型来模拟车辆在桥上的行驶工况。基于虚功原理，本文拟建立一种考虑预应力效应的新型车桥模型，展开对预应力连续梁桥和车辆耦合响应进行了研究。模型的正确性和准确性通过文献资料和Abaqus模型进行分析验证。基于已建立模型，利用Newmark积分法进行了数值模拟，同时，对桥梁跨数、跨径、偏心距和预应力幅值的影响进行了参数研究。结果表明，预应力对车辆的最大垂直加速度具有显著影响，这一结论为检测预应力的变化提供了一个良好的指标。
关键词：预应力梁桥；车桥耦合；动力冲击系数；振型
1 引言
公路桥梁是现代基础设施的重要组成部分。在役桥梁的安全性是政府机构和公众关注的焦点。桥梁安全度是为实现安全承载预期交通流的保障，它可由一些具有一定破坏性的和非破坏性的方法进行评估。本文建立了预应力桥梁和车辆的动力响应模型，并将该模型作为一种用于检测预应力损失的结构健康监测工具。
目前，车桥耦合已经有了许多研究成果。Zhu和Law研究了连续梁桥和车辆的耦合作用，他们利用正交板理论和模态叠加技术，分析了在不同车道上的单车或多车在不同车道上作用时桥面的动力情况。不同车辆行驶速度下的动态冲击系数也得到了总结。Yang和Papagiannakis研究了组合梁桥和车辆的耦合作用，并发现桥梁采用FRP（纤维增强复合材料）的桥面铺装会提高桥梁动力冲击系数。Green和Cebon研究了公路桥梁对重型车辆载荷的动力响应，并在桥梁跨中位移动态变化的实时测量和桥梁跨中位移的预测研究上取得了较完善的成果。Kocaturk和Simsek用建立Lagrange方程的方法，解决了简支梁受到偏心压力和简谐运动的集中力作用时的动力响应。Khang等人通过使用子结构的方法，研究了在移动荷载的作用下，预应力连续梁的横向振动，但并没有考虑偏心预应力作用。Cai等重点研究了采用动力冲击系数对桥梁性能评价的影响以及风、桥梁计算跨径对车桥耦合的响应作用。但是，偏心预应力作用对连续梁桥和车辆的动力响应的影响在上述研究中并没有得到开展。
目前的研究是对预应力连续梁桥和行驶在桥面的车辆的动态响应进行研究。本文建立一座具有偏心预应力的连续梁桥模型。一种具有4个自由度的半车模型来模拟车辆在桥上的通行的状况。基于虚拟工程原理，建立了一种考虑预应力效应的新型车桥模型。在建立模型的基础上，利用Newmark积分法解决车桥耦合响应分析。通过数值模拟，桥梁跨数、跨径、偏心距和预应力幅值的影响得到了分析和讨论。本文的研究结果将有助于定量分析该领域预应力的损失。
2预应力桥梁和车辆的动力行为
2.1预应力桥梁的动力方程
在图一中，一座两跨偏心预应力连续梁桥被简化为一座受到一个集中力S和两端受到弯矩的连续梁
基于模态叠加原理，梁的动挠度w(x, t)可以表示为
(1)
式中，Wi(x)、qi(t),和N分别是梁的第i个模态函数、相应模态振幅和所选择的模态数。
根据虚位移原理，外部虚工作所做功delta;WE和内部虚工作所做功delta;WI相同。
(2)
虚位移delta;qiWi(x), i = 1,2,. . .,N与假定形函数一致。外部虚工作所做功是(delta;Win,delta;WP,delta;WC,delta;WS and delta;WMo )工作叠加，并由惯性力（）、移动荷载()、阻尼力（），预应力（S）、弯矩(Mo)表示，可写作下式：
(3)
式中：
(4)
是每单位长度的梁的质量；omega;i, zeta;i, cbi分别是梁的第i模态的固有频率，阻尼比和阻尼系数; 是车辆轮对和桥梁之间是第k个相互作用力; 是第k个相互作用力的作用位置;表示Dirac函数; 表示对x的一阶导数。
弯矩作用的内力虚工作可以表示为：
(5)
式中， EI 是梁的抗弯刚度系数。 是 对x的二阶导数。
将公式(1)和公式（3–5）代入到公式 (2)中， 等号两边同时消去可以得到：
(6)
式中：
(7)
和是对时间t的一阶导数和二阶导数。
对于N个独立的虚位移, i = 1,2,hellip;,N,存在N个由方程（6）所表达的虚工作方程。它们在矩阵中表达如下：
(8)
式中：
(9)
方程(7)中的Mb,Kb,Cb,KG分别表示桥梁的质量、刚度、阻尼和几何刚度矩阵，它们的第(i,j)个元素则在方程7中计算; ,是Q关于时间t的的一阶导数和二阶导数;Ft1，Ft2是在方程(9)中所显示的车桥耦合作用中前后轮位置所产生的作用力。mf, mr, mc, s1和s2是图2所示的车辆的参数;g是重力加速度。
实际上，由于梁两端的轴向力(S)和力矩(Mo)，预应力梁桥在移动车辆作用下振动之前有初始的挠度(w0)。桥的初始挠度可以由方程8，t=0时刻的表达式和下式方程(10)确定:
（Kb-KG）Q0=WMo (10)
omega;0=WQ0
式中：
(11)
2.2预应力桥梁的模态分析
对于梁的自由振动，它的垂直位移可以表示为
(12)
式中，omega;是振动的固有频率，并且。
梁的模态函数W(x)可以用一系列的级数表示
(13)
式中，phi;m(x)是满足梁的边界条件的假定容许函数，Am是破坏系数。phi;m(x)的选择遵循Zhou提出的方法，该方法提出phi;m(x)由自由振动梁的特征函数和多项式组成。值得注意的是在这里本文是把弯矩(Mo)作为一种作用力，而不是边界条件。
现在用Rayleigh法来确定预应力束的固有频率和振型。
(14)
将方程(14)代入方程式 (13)，并对每一个Rayleigh系数Am都进行一阶求导，将会得到一个矩阵形式的特征值方程，如下:
（K-omega;2M）A=0 (15)
式中：
(16)
（i=1,2,...,m; j=1,2,...,m）
m是假定的可接受函数的个数；,分别是关于x的一阶和二阶导数。
固有频率omega;和系数Am可以由方程(15)决定。同时，梁W(x)的振型数可以通过方程(13)来确定。
2.3车辆模型
为了更好地理解车桥耦合作用，在目前的研究中采用图2所示的半车振动模型。该车辆模型有4个自由度，对应于车辆车身的垂直位移(zc)、横向轴扭转(theta;c)、前轮(zf)和后轮(zr)的垂直位移。应用Lagrange法，可以推导出半车模型的运动方程，并以矩阵的形式表示：
(17)
式中：
(18)
,分别是Z对时间t的一阶和二阶导数；mc, Ic, mf, mr分别表示一半车身质量、一半的车身质量的横向惯性矩、一个前轮的质量以及一个后轮的质量；ks1, ks2, cs1, cs2分别是前、后悬架的刚度和阻尼系数；kt1, kt2, ct1, ct2分别是前、后轮的刚度和阻尼系数;s1，s2分别是车辆重心与前轴和后轴的距离; w1, w2在前、后轮的位置对应的桥梁的挠度; ,则分别是w1, w2对时间t的一阶导数。注意
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