深梁抗剪强度：
一个数学模型和设计公式
本文提出了一个估算钢筋混凝土深梁抗剪承载力的建议。 所提出的模型基于固定角软化桁架模型，并利用新提出的作用于梁腹板的有效横向压应力的公式。 所提出的公式是根据445个深梁实验报告中的剪切能力值并进行逐步多元线性回归分析得出的。 数学模型的有效性通过比较其与实验结果的差异以及文献中其他公式的推算来检验，并且计算出最拟合测量数据的剪切强度。 由数学模型导出了一个明确的单闭式表达式来计算深梁的抗剪强度。所提出的表达式是无量纲的并且同时表包含水平和垂直配筋率，混凝土强度和剪切跨度与深度比的四个变量。 在本文结果的基础上，提出了一个设计公式，其预测结果比ACI规范和欧洲规范更为一致，也更可靠。
关键词：钢筋混凝土，深梁，剪切，固定角，桁架模型
1.介绍
钢筋混凝土（RC）深梁是常见的结构构件，通常用于桩帽，储罐，折叠板，基础墙，箱，折板屋顶结构和海上结构以及高层建筑中作为转移梁[1,2]使用。它们被认为是相对短而深的，其厚度相对于它们的跨度或深度较小。由于深跨比较小，在深梁中出现了复杂的应变状态，因此传统的基于平截面理论的截面设计方法不适合其设计。 根据ACI 318-11 [3]的深梁是指净跨距是整个深度的4倍，或者集中载荷施加在距离支撑件表面2倍深度的距离内的结构构件。 他们经常使用半经验方法[4-7]，非线性有限元分析来设计[8]或通过使用兼容性辅助桁架模型[9-11]（包括支柱与拉杆模型[6]和基于桁架的模型[12-15]）。
作为设计深梁的合理方法，支柱与连接模型（STM）越来越受欢迎和信赖，并且已被纳入ACI-ASCE委员会445 [16]和Fib Bulletin [17]提供的最新设计指南中]。STM基于较低可塑性的束缚定理。因此，可能的解决方案数量有很多，设计师在选择合适的模型时必须小心谨慎，以找到安全，最佳的解决方案。 在使用分段设计程序时，很多STM模型都是可能成功的，所以没有唯一的设计解决方案。 如果选择不合适的模型，这种误差可能会导致模型强度不足以承受施加的荷载，这降低了设计方法的可信度，并且可能被认为是具有不确定精度的近似方法[11]。 尽管STM的发展以及设计标准对构件尺寸和轴向阻力的计算提供了指导意见，但当节点的边界不是由支承板来定义时，计算节点的尺寸会产生困难[18]。
先前的研究[2,6]表明，文献中提供的经验公式不能对深梁抗剪能力进行无偏估计，并且其预测结果会产生显著的分散。 此外，用于计算深梁抗剪强度的ACI 318-11 [3]方法太难以应用，并且可能导致剪切强度预测结果过于保守[6]。为解决这些局限性，提供更精确的方法就显得更为重要，这种方法可以准确地预测深梁的剪切能力。
另一方面，基于桁架的模型包括旋转角度软化桁架模型（RA-STM）和固定角度软化桁架模型（FA-STM）[19]。 两种模型之间的根本差异在于它们处理裂纹方向的方式。 RA-STM假设裂缝方向垂直于混凝土构件主拉应力，而FA-STM假设后续裂缝的方向垂直于施加的主拉应力[20]。 之前已经开发了基于RA-STM的分析方法来预测深梁的抗剪强度[9]。通过旋转角度的假设得出的结论是剪切强度完全是取决于钢材，即混凝土没有影响，这似乎是不切实际的，这会导致深梁的剪切强度被低估[2]。 通过假设混凝土中的裂缝以一个固定的角度取向，在FA-STM中克服了这个缺点; 因此，它可以预测“混凝土的影响”。 然而，与RA-STM不同，FA-STM的概念仅用于预测钢筋混凝土板的剪切强度[19]，而不是深梁。
在本文中，基于材料力学的三个基本原理：应力平衡条件，应变协调条件和混凝土和钢铁的本构关系，本文提出了基于FA-STM的理论模型预测钢筋混凝土深梁的抗剪承载力。通过比较计算得到的抗剪承载力与文献中可用的445RC深梁的实验结果，验证了该方法的适用性。并介绍一种比现有公式或者冗长繁琐且耗时的计算过程更加一致和更准确的单一闭式表达式。 此外，还提出了一个明确的通用设计公式，其预测充分地满足了安全性的要求
2.研究意义
本研究的目的是通过明确的以及足够准确的单一表达式来解决预测深梁剪切强度的问题，这样设计人员可以避免使用目前繁琐而耗时的计算程序。 所提出的理论模型由FA-STM的应用组成，并利用了新提出的作用于梁腹板的有效横向压应力的公式，从而提出了一种估算深梁抗剪强度并且符合规范和标准的设计公式。
3.型号说明
图1显示了一个矩形横截面的典型钢筋混凝土深梁，其顶部受到两个垂直力V\的作用，距离最近的支撑点到中点距离为a。 横截面积AST的纵向主要钢筋放置在与梁底面距离（h-d）处，其中d是梁的有效深度，h是整个梁的深度。 横梁通过均匀分布的箍筋在水平间距S\处进行垂直加固。 水平腹板钢筋由均匀分布的钢筋以垂直间距S\提供。根据Mau提出的RA-STM模型和Hsu [9]中，剪切跨度内的深梁可以看作是三个不同元素的组合：顶部元素的厚度为d（等于从梁顶面到弯曲压缩钢中心的距离），包括混凝土和顶部压缩钢; 底部元件，仅由底部张紧钢构成; 和中间元素，包括网状混凝土，腹板加强以及顶部和底部的纵向钢。 顶部和底部元件分别抵抗由截面力矩产生的纵向压缩和拉伸应力，而中间元件抵抗横截面剪切。中间元素由图1中的虚线表示，比如RC膜元件受到面内正常和剪切作用应力。
图1.钢筋混凝土深梁的几何形状以及其中剪应力的分布
3.1 应力平衡方程
垂直加载的作用导致混凝土开裂，这使混凝土分裂成一系列与纵向成一定角度alpha;的斜支撑，不仅能抵抗沿其轴线的压缩应力和垂直于轴线的拉应力，还有沿着裂纹方向的剪切应力。见图一，通过假设深梁的抗弯强度足够大于其抗剪强度，剪切强度可以被定义为 其中b是波束宽度，d\是梁的有效深度，见图一。剪切跨度中梁腹板上的任何应力点应该符合双层结构力平衡的要求。在梁跨中剪切跨度上的任何应力点应符合二维应力元件的力平衡要求，而任何应变点应符合莫尔相容性的要求。 点应力平衡满足三个代数方程，可用矩阵形式表示为：
其中：[S（alpha;）]是定义为[21]的变换矩阵
其中：\，\RC元件在纵向（水平）方向l和横向（垂直）方向t的正应力（张力正值
LT---在lt坐标处的剪应力
rho; 1 rho; t--分别在l和t方向的配筋率
f\，f--\分别在纵向和横向上施加的钢应力
-- 施加的压缩应力（2方向）和纵向钢筋之间的固定角度（假定等于装载板中心线和支撑中心线的连线）
3.2 应变相容性方程
与应力类似，平面应变条件应满足莫尔相容性的要求。二维深梁单元的l和t方向上的平均法向应变可以用矩阵表示形式如下[21]：
其中：
εl,εt--沿l和t方向分别涂抹单轴应变
gamma;lt-- 在l-t坐标处涂抹剪切应变
ε2,ε1--分别在1方向和2方向上涂抹应变
gamma;12--在1-2坐标处涂抹剪切应变
3.3 材料的本构规律
假定混凝土在双向混凝土中的应力和应变遵循软质混凝土[20]的材料定律[20]：
其中：
ε0--对应于峰值圆柱强度f#39;c的混凝土圆柱的应变
psi;--软化系数
混凝土在拉伸状态下的本构关系可以用下面的数学公式表示[22]：
其中Ec是混凝土的弹性模量，，f cr和εcr分别是混凝土的开裂应力和应变，，
一些人提出了几个表达式来描述混凝土的剪切应力-应变行为，其中包括Zhu等人提出的关系。 [23]将混凝土tau;c 12中的剪切应力与剪切应变gamma;12之间的关系进行关联：
假设模型中的钢筋只能承受轴向应力，忽略任何可能的销钉作用[20]。 方程中的钢筋应力 （1）与基于线弹性 - 塑性关系的纵向和横向应变有关：
其中f s和εs分别是钢筋的应变和应变，f y是钢筋的屈服应力。 当分别应用于纵向和横向钢时，它们分别变为f l，εl和f t，εt，E s是钢筋的弹性模量。
在计算剪力单元longitudinal\的纵向钢筋率时，还包括梁底部和顶部的纵向钢筋。 这是因为由于剪切引起的沿纵向方上的单元膨胀受到纵向顶部和底部杆的限制，正如先前在RA-STM中提出的[9]。 此外，假设梁的有效深度d\等于压缩钢的中心与拉伸钢的中心之间的距离。
在没有压缩钢筋的试件中，设深度d为在混凝土中提供压缩力所需的深度的一半，以便在屈服时平衡底部张力钢的张力[9]。
3.4 解决方法
用于预测深梁抗剪能力的FA-STM分析包含15个未知数：
和。12个方程被定义，包括六个平衡和相容性方程，六个与材料本构关系有关。通过为每个载荷阶段指定产生应变ε2并从所施加的轴向载荷N和深梁截面计算水平方向上的有效法向应力sigma;1，可以降低不确定度。 由于轴向载荷很少应用于深梁，正应力sigma;l的值不用计算。
垂直荷载与支撑反作用一起产生了一个与梁的水平轴垂直的大的压应力场\，该应力场产生深梁独有的拱形作用。 Mau和Hsu [9]使用横向应力强度因子K估算横向应力sigma;\，横向应力强度因子定义为剪切跨度与总深度比a / h和梁有效深度d\的函数，如图1，并在数学上表示为：
式（10）提供了进行分析所需的剩余条件。早期评估RA-STM在预测深梁剪力中的应用时，在考虑横向应力强度因子K的情况下，该方法通常导致不安全的预测[2,6]，这可能是由于排除了混凝土支撑的抗剪强度以及横向应力强度因子K的存在，而这并不是基于实验或分析证据[24]。因此，这种限制凸显出了深梁的声音分析方法的弱点，并且预计如果FA-STM用于包括混凝土支柱的抗剪强度和横向应力强度因子的更符合实际的值K可以发展，模型的整体准确性将得到提高。
该方法的求解算法分析类似于徐和莫[20]提出的固定角度解决方案。 公式（2）中的前两个基本平衡方程（1）进行相加和相减，得到以下两个等式，作为求解过程的收敛准则[1,25]：
在计算机的帮助下，该程序用于追踪剪切单元的响应历史并定位由剪切单元维持的最大剪切。
4 实验数据的回归分析
为了在实验结果的基础上确定横向应力强度因子K的值，编制了包含445个深梁的数据库。 本研究中使用的445个深梁的数据按（按时间顺序）收集，修订和编排：Birrcher [26]，Brown等人 [27]，克拉克[28]，帕瓦和西斯[29]，福斯特和吉尔伯特[30]，哈拉[31]，伊斯兰教[2]，孔等人。 [32]，Matsuo等。 [33]，穆迪等。 [25]，Oh和Shin [34]，Ramakrishnan和Ananthanarayana [35]，Rogowsky等。 [1]，史密斯和Vantsiostis [36]，Subedi等。 [37]，Tan和Lu [38]，Tan等。 [39,40]，谷村和佐藤[41]和瓦尔拉文和莱沃尔特[42]。 所有选定的梁均在简支和集中荷载下进行了测试，在弯曲或承载模式下不失效，剪切跨距与深度比a / d lt;2.0，有效长深比L n / h lt;4.0（根据ACI 318 -11 [3]）并且具有均匀分布的网状加强。 图2显示了本研究中考虑的445个深波束的直方图形式的实验参数相关信息的总结。
所提取的数据用于逐步多元线性回归分析以确定横向应力强度因子K的合适值。该研究是基于K值与可能影响其值的许多参数之间的预期统计关联，包括几何尺寸，配筋率和混凝土强度。 Mau和Hsu [9]认为横向应力强度因子取决于跨度与总深度比a / h。他们假设对于a / h = 0，梁中部的横向应力在支撑中心线处最大，随着其值的变化而逐渐减小，并在a / h = 2处消失，这时剪切性能接近细长梁的剪切性能。基于这个假设，数据库中的深梁分为两组：第一组（含90个样本），范围为0 lt;a / hle;5和第二组（包含355个样品），其范围为0.5 lt;a /hle;2。记录每个样品的数学和实验剪切强度之间匹配的横向应力强度因子的值，然后进行回归分析以确定影响该因素的参数。为了得到适用于深梁设计的复合材料的横向应力强度因子的一般值，
，将横向应力强度因子值与几个与混凝土强度fc#39;有关的参数之间进行统计关联，包括几何尺寸a，b，d，d v，a / d，a / d v，d v / h和a / h，配筋率rho;l，rho;t和加固应力rho;l f yl和rho;t f yt。
使用逐步多元线性回归分析的目标是通过最小化剩余均方根来确定哪个独立变量的子集显着地影响于解释因变量K的可变性，这又将最大化多重
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