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城市轨道交通线网的弹性评估与优化—以北京地铁网为例
摘要：随着城市轨道交通的迅猛发展，已经建成了庞大的地铁系统，地铁的效率、安全性和准时性使其成为人们的最佳选择。因此，地铁系统抵抗故障尤其是中断的能力引起了运营商的注意。本文基于图论，提出了一种弹性评估方法，可以在统一的指标和模型下定量评估性能和恢复速度。我们用无向图表示地铁网络，其中使用节点表示地铁站，使用边线表示轨道。在基于对客流和网络拓扑结构的评估上，考虑加权度和通往其他节点的合理通道的加权和，综合对地铁网络进行性能评估。从发生随机或故意中断到完全恢复，地铁网络的弹性可以在相关的时间轴上与网络性能损失三角形相关联。以北京地铁为例，对本文提出的方法进行了验证，并在进行弹性评估之后，提出了一种具有计算算法的结构优化模型。基于遗传算法，我们获得了北京地铁简化网络的求解结果，并从中得出了几个有趣的结论。
关键词：地铁网络 图论 合理通道 性能 弹性 遗传算法
一、介绍
作为一种更安全，更环保，更快，更便宜的方式，城市轨道交通正成为一种流行的公共交通方式，也促进地铁系统得到了快速发展。在此，地铁是指具有地下铁路（无论是地下，平地还是高架）专有的城市轨道交通。地铁系统的运行管理进入了网络化运营的时代。例如，北京地铁网络有22条线路，391个车站和636.8公里的路线长度，2018年的年乘客量为38.5亿。因此，一旦因硬件/软件故障、操作员错误、恶意而发生事故攻击、自然灾害，一条线路甚至整个地铁网络的容量和运营效率都可能受到严重影响。2011年9月27日，上海地铁10号线发生信号故障引起的追尾事故，导致虹桥路站至天通路站的9个站被关闭了六个多小时，271名乘客受伤，超过500人的出行受到影响。2014年7月6日，西直门站与大中寺站之间发生大火，导致北京地铁13号线全线停运，旅客被困在火车上，整个地铁网的运输能力受到严重影响。因此，对不同事故下地铁网络性能损失的定量评估对于描述抵抗紧急事件的能力至关重要。
建立不同场景下地铁系统的系统指标是实现鲁棒性、脆弱性、可靠性和弹性的关键，过去几十年来，这种鲁棒性、脆弱性、可靠性和弹性是地铁系统的度量标准[1]-[4]。一般来说，可以将地铁网络映射到拓扑图中，以简化地铁隧道的边缘和地铁站的节点。VonFerberet等人[5]总结了四种拓扑图，即L空间类型，B空间类型，P空间类型和C空间类型，以分析全球14个城市的不同城市公交网络。通常可以用两种拓扑方法来描述地铁网络：空间L和空间P。在空间L的模型中，节点表示车站，并且两个节点之间的边缘只有在连续车站的情况下才出现。但是，与Space L中的情况大不相同，边缘存在于同一路径中的任何两个站点之间，因此在Space P模型中，特定路径的所有节点都直接相连。为了直观简单地定义与交通网络相关的信息，本文选择了L空间模型来分析所有这些模型中的地铁网络。拓扑分析不仅包括节点和边缘，还包括度，路径长度，网络直径等，它们可以从网络的拓扑结构方面进行分析[4]，[6]-[8]。无标度网络在随机攻击下具有较高的鲁棒性指数，而在故意攻击下则具有较低的鲁棒性指数[3]，[9]，[10]。 Albertet等人[9]对地铁网络在发生事故时的鲁棒性进行了定量分析，其中鲁棒性表示为网络中节点中断后的剩余网络连通性。 Derrible和Kennedy [10]使用两个特殊的概念分析了地铁网络的复杂性和鲁棒性：无标度模式和小世界，并以东京地铁网络作为大型网络分析的真实示例进行了研究。 Crucittiet等人[3]还研究了两种类型的大型网络（即随机网络和无标度网络）对于网络连接性能的鲁棒性。同时，Zhanget等人[4]也对地铁网络的鲁棒性进行了类似的分析。而Yanget等人[11]，都是基于地铁网络的拓扑结构进行分析，以上工作揭示了地铁网络的拓扑特征，同时提供了地铁网络对于鲁棒性的应用和增加地铁的建议。
脆弱性用来在发生故障时评估性能的损失，如何减少地铁网络的脆弱性来减少干扰的影响已有相关研究。 Holmgren [12]将脆弱性定义为基础设施系统属性的集合，当暴露于威胁和危险中时，该属性可能削弱或限制其维持预期功能的能力。 Berdica [13]从安全的角度提出了公路运输系统脆弱性的概念，并将其视为服务水平不足的问题。在运输网络中，通常基于可靠性的补充来衡量脆弱性[13]，[14]。丹吉特[6]基于空间特征模型，基于地铁网络的拓扑特征和功能特性，分析了南京地铁网络的拓扑脆弱性，此外，性能恢复吸引了许多研究人员，这表明了系统性能可以以及需要多长时间才能恢复到可接受的水平从中断状态到正常状态的网络连接的快速恢复是工程师的主要关注点[15]。“弹性”可以提供适当的解决方案，以说明在网络系统上执行安全评估时的恢复时间[16]，[17]。弹性工程学的概念是由Hollnagelet等人提出的[18]，其中弹性被定义为系统在由于故障，灾难或攻击引起的强烈扰动后恢复到稳定状态的能力，这种能力被应用在不同的系统中，例如作为生态系统的复原力评估[19]，社会生态系统[20]，[21]，心理选择复原力[22]，计算机网络的复原拓扑结构[23]，[24]。关于交通运输网络的弹性有一些研究[25]-[27]。Jinet等人[25]专注于多个网络，通过与公交服务的集成来增强地铁网络的弹性。Bruyelleet等人[27]确定关键系统并建议对地铁客车的设计进行改进，以改善紧急情况的管理并协助疏散和救援乘客。在地铁系统的情况下，可以通过性能损失三角函数来衡量弹性，以应对中断响应。当有限的节点或边缘中断时，弹性网络将具有最大的组件大小和全局连接性，并且会丢失路由。网络连接性的一种度量由标准的图论k连接性定义给出：如果任何一组k1节点移除都没有断开图，则图是k连接的。但是，地铁运营管理人员需要能够为改行乘客提供替代路线[28]。通过将系统的弹性与正常性能演进曲线和中断的性能曲线之间的差异以及中断的持续时间之间的差异表示的弹性损失三角形相关联，可以量化系统的弹性[29]。
对网络防灾力进行定量评估可以通过增强防灾能力来优化地铁网络，目前已经采取了两种预防方法，第一种方法是边缘添加方法[30]，其中将边缘添加到网络以增强网络弹性。第二种方法是边缘重排方法[31]，其中通过交换现有边缘的子集来引入新边缘。对于某些网络，例如电网和Internet传感器网络，由于较低的维护成本和成本，边缘重排方法可能更可取。但是，将边缘重新布线方法应用于地铁网络几乎是不可能的，这会增加建筑成本并限制乘客量。因此，选择边缘添加方法来提高地铁网络的弹性。这里已经有许多研究人员研究城市轨道交通网络中的客流，客流是城市轨道交通建设的重要因素[32]-[35]。据我们所知，在以前的工作中很少研究考虑客流的地铁系统的弹性分析。本文基于图论，提出了一种基于弹性的评估方法，以评估地铁网络在紧急事故下的性能。
本文为地铁网络的弹性分析提供了一种通用的弹性评估方法，该方法可确定在网络中断最严重时影响网络的关键站点。同时，基于弹性评估方法，选择边缘加法来提高地铁网络的弹性，并得出了一些良好的策略。本文介绍了地铁网络的几种概念和模型，并提出了以下框架：
（1）将地铁网络映射到拓扑图中；
（2）引入和定义地铁网络的性能；
（3）开发弹性评估方法；
（4）优化本文的其余部分安排如下。
在第二节中，我们描述了问题并提供了一些定义。然后，提供了用于评估地铁网络弹性的解决方案算法。在第三节中，计算了北京地铁网络的一些拓扑特征，并将复原力评估方法应用于北京地铁网络。在第四部分中，我们提出了地铁网络的结构优化模型，并基于北京地铁网络获得了策略。最后，在第五部分中提出了结论。
二、方法论
围绕“一带一路”的许多大城市中的地铁网络通常规模较大。 例如，北京地铁网络和东京地铁网络目前分别具有391个站和285个站（将多线交换站视为一个站）。 地铁网络是人们日常出行的主要交通工具。 但是，由于故障导致的网络中断可能导致部分甚至完全丧失功能，这不仅影响人们的日常活动，而且影响社会经济。 在本节中，分析了一些参数，包括拓扑特征和客流，然后介绍了计算地铁网络性能的过程，并建模了弹性评估方法。
A.地铁网络的拓扑映射
地铁网络是一种复杂的网络，通常以拓扑图的表示形式进行研究，其中地铁站以节点表示，而边沿则对应于车站之间存在的隧道。对于交通运输网络的建模，可根据节点和应用的不同而使用多种类型的拓扑图。对于节点之间的边缘，参考Von Ferberet等人[5]，选择L空间类型的拓扑图来分析地铁网络。
地铁网络的拓扑图可以用向量G表示：
G=[V,E]（1）
其中V代表地铁网络中站点的节点集合，E代表相邻站点之间的轨道的边缘集合。拓扑图可以用一个矩阵表示，即相邻的矩阵A（n，n）。如果节点i和节点j之间有一条边（节点i和节点j直接相连），则A（i，j）= 1;否则，A（i，j）=无穷大。在正常情况下，如果有从i车站到j车站的地铁列车，那么也有另一辆从同一路线的j车站到i车站的列车[36]。由于地铁系统通常有双向交通，因此城市轨道交通网络被视为一个无方向图。同样，在分析运输系统的研究中，不同站点之间的距离和发车频率需要经常表示。
因此，为简化计算，我们可以得到下三角矩阵：
Atril = tril（A）（2）
由于地铁网络被认为是无向的，所以地铁网络中节点的连接顺序可以用下三角矩阵Atril表示。在转换的帮助下，计算工作可以比A（n，n）减少一半。
对于地铁网络的拓扑，节点的度D（i）表示直接连接到该节点的节点数。 平均节点度D*定义为网络中所有节点的平均度：
D* =（3）
将从一个节点传递到另一个节点的最小边数定义为这两个节点之间的最短路径长度。总共有三种经典算法来计算路径长度di，j，Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法[37]，[38]。平均路径长度L定义为网络中所有节点的平均最短路径长度：
L =（4）
网络的直径L*定义为所有节点之间的最大路径长度。通过使用上述标记，可以表征基本的连接状态。地铁系统的基本功能是将乘客从一个站点运送到另一个站点。在城市中乘坐地铁旅行时，人们不仅关心从起点到目的地的轨道数量，而且还关心路线的多样性以及可以选择多少条路线。
同时，对于大型地铁网络，从一个站点到另一个站点的连通性应该是地铁运营的关键标准。一旦某个站点由于某些意外事件而中断，则地铁网络的连通性在某种程度上必然会降低。同时，应该调整乘客的最佳路线，乘客到达目的地的有效方法是采用另一条连接出发站和目的地站的通道。所以快速修复受干扰的车站可能也能满足乘客的需求，但这取决于许多因素，例如有限的人力、物力和财力，所以即使某些干扰会持续很长时间，也很难将其标准化。因此，网络的性能很大程度上取决于节点的连通性。故在评估网络性能之前，应首先表征每两个站点之间的合理通道数量。
定义1：如果路径集包含与任何两个节点之间的其他路径没有任何公共边的路径，在这种情况下，最短的集合被定义为两个节点之间的合理通道集合，这种路径称为合理通道。
图1显示了一个具有7个节点和11个边的网络，其中圆圈中的数字是节点的标签，边上的数字是边的标签。我们在节点2和节点5之间寻找了一条合理的通道，包括通道{3}，{4-7}和{2-6-9}，其中括号中的数字是边缘的标签。我们注意到，路径{4-8-9}在此合理的通道集合中不是通道，因为通道{4-7}和通道{2-6-9}的共同边缘{9}包含公共边缘{4} 。但是，路径{4-8-9}可能与其他路径一起属于另一个合理的通道。
考虑到大城市中规模更大的地铁网络，需要一种有效的方法来获得合理的通道，这证明如下。
对于给定的网络，G = [V，E]，sk（i，j）定义为节点i和节点j之间的第k个通道。站点从1开始编号，并且将A（i，j）初始化为（n，n）。合理通道数的计算过程如下所示：每对节点之间的合理通道数列在下面的矩阵中。我们认为网络是无向的，因此矩阵应该是对称的。在此仅给出下部分。
B.计算每个车站的乘客流量
作为交通运输系统的重要因素，客流吸引了大量关注。短期客流预测技术在地铁系统领域变得越来越重要。随着客流量的增加，有效的客流数据预测方法不仅可以保证城市轨道交通系统的安全运行，而且在发生干扰的情况下可以进行更有效地疏散。为了评估地铁系统的弹性，我们提出了一种基于人口分布来预测每个站每日载客量的方法。
我们可以很容易地在官方网站上获得地铁系统的每日载客量，但要获取上海地铁，北京地铁等各站的客流数据，这几乎是不可能的。在本文中，我们可以使用人口分布估算每个车站的客流量。我们假设每个车站的客流是根据特殊交互逻辑进行评估的，这意味着每个车站的客流与车站周围的人口有关。这个问题的关键是如何划定地铁系统的服务区域。在以前的一些研究中，根据步行距离来定义服务区[39]-[41]。服务区被认为覆盖了2公里以内的区域（成人步行约20分钟）。
为估算每个车站的客流，服务区中的人口被视为其权重，首先，根据以下公式计算服务区中的人口密度和面积；然后计算服务区中的人口：
（5）
其中，beta;是服务区的密度。其次，通过对线路L上的Mi求和来计算L线的总人口。
（6）
其中，Mi是车站附近的人口，ML是地铁L线在服务区域内的人口。
车站的客流可表示为：
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