英语原文共 65 页
- LCFS-PR模型
Hassin提出一种无需征税即可达到社会最优的方式。这节主要描述这个方法及其含义。我们对Naor模型作出两个改变：
对于假设8做如下改变：
这里的服务原则是LCFS-PR，即新到的顾客加入系统立即提供服务，别的顾客可能会先占据服务。占有的顾客加入队列，即后来者可能比先来者占据优先权。当优先占据的顾客再次加入服务时，他的服务从中止处重新开始。
对于假设9做如下改变：
在任何情况下，每个顾客无需额外成本就可以停止服务且不再返回。队列在任何情况下都能完全被观察，以便顾客可以基于队列长度和其所处位置作出决策。
在FCFS队列中，一个新顾客处于队列末端，因此对于已经在系统中的顾客没有负外部性影响。然而，这个顾客可能对未来到达者产生负外部性。在Naor的FCFS模型中，个体和社会最优化的重要差异关键在于顾客忽略了这些外部性的事实。因此，当顾客自身的期望收益少于未来顾客期望收益的减少值时，个体加入队列。
对于那些现在在系统中的顾客来说，如果新到顾客排在队列开头，受到新到顾客影响的外部性是最大的。在LCFS-PR下，每个到达的顾客都处于队首，将早到的顾客推回。然而，所有未来到达者将在他前面，因此，他对他们没有任何外部性影响。
Hassin观察到LCFS-PR通过顾客达到社会最优行为。一个个体面临的相关决定是何时离开队列而非是否加入队列。通过指数分布的无记忆性，顾客剩余服务的分布独立于队列长度，他们中每一个的服务总量已经被接受。因为模型假定顾客是相同的，等待的顾客有同样的时间和服务价值，同样地，剩余服务时间的分布也是相同的。因此，当一个顾客决定止步时，没有别的顾客在他后面。因为对于队尾的顾客来说，现在的每个顾客都是有优先权的，无论他是否采取行动，他都没有外部性。换句话说，他的考虑和社会的一致，因此在是否终止这一问题上他将获得同样的结论。实际上，他的阈值是。（注意，从社会的角度看，服务的顺序是不相关的，因此在FCFS和LCFS-PR体制下社会最优阈值是相同的）在下一章，我们将用到这一观察去确定。
我们现在讨论LCFS-PR模型及其含义。
- 这是LCFS-PR模型带来的难点与对策。服务先被占据的顾客受刺激停止，并要重新进入系统，假装成为一个新的到达者。这样的行为与Naor模型的假设10矛盾，因此必须受到行政干预。
- 引发个体最优行为的LCFS-PR模型的重要性质是只要他在系统中，对列中的最后一个人仍处于队尾，因此他没有外部性。新到的顾客处于除队尾外的任何一处，任何排队规则都保留有这样一个性质。尤为吸引人的政策是无论服务者有多忙，安排一位新到的顾客在上一个顾客的位置。这项政策减少了顾客终止服务、重新进入重新排队的动机。然而，这项举措带来又一难点。假设顾客A在队尾，而顾客B刚好在他的前面。如果A退出，B变成了最后一个，所有未来的到达者都排在他后面。因此B需要找到一种有益方式去提供给A报酬，以便A不会退出。因此，必须阻止边际报酬来保留最优行为。可以通过隐藏队列中的顾客身份来完成。
- 这一举措优于LCFS-PR模型之处在于
- 先买权引发部分服务损失，这一决策会带来更少的先买权
- 相比在别的排队原则下，比如FCFS，LCFS-PR原则下的风险防范方面，顾客处于更加劣势状态，因为LCFS-PR会带来更大的等待时间的变化。在LCFS-PR模型原则下，一些顾客无需等待可以直接接受服务，而另一些需要等待很久，甚至最终没有接受服务而退出。尤其是在FCFS队列中，
没有顾客会产生负效用（假设立即退出的效用为零），而这个与LCFS-PR模型不同。在上一个顾客前为新的顾客分配位置会减少所有的缺点，而维持社会最优行为。
- 这一模型当然是简化过的。然而，定性的含义相当普遍。很容易得知，如果顾客的特性不同（等待成本、服务分配、服务价值等等）社会财富可以通过合理胚子优先权而增加。（这是第四章的主题）上述一系列讨论为;
即使当顾客同质时，优先权的分配也是有益的。
假设优先权是随机分配的，或是根据一些不相关的基础分配的。队尾的顾客通常有较低优先权，他们也许期待大部分未来到达者排在他前面。这个会减少他产生的外部性，使得他关于是否退出队列的决策更加贴近于社会最优水平。
- Olson表示可以通过合适的价格清单引发LCFS-PR体制，因此顾客基于其付出的总成本接受优先权水平，而非通过行政干预。这样一种定价系统也将达到社会最优化。见4.3节
- LCFS-PR原则引发顾客行为的最优化，同样体现在更多普遍的可观察模型中。比如，一个M/M/s系统中，这里的服务者或许有不同的服务比率。一个即将到达的顾客可以以从最快服务者处开始接受服务。这一行为也许优先购买早到者的服务，稍后其移动到速度第二的服务者处，以此类推。接受最慢服务的顾客也许重返队列。也可能在这一阶段，由于期望等待时间增加导致队尾的顾客退出。在单一服务者模型中，（由于同样的原因），退出是社会最优化的方式。Xu分析了s=2这一模型的变化。
- LCFS-PR的详细描述及结果由Nalebuff和Landsburg给出。
3.社会最优化
在这一章，我们基于LCFS-PR体制引出阈值均衡策略。正如前几章所讨论的，这个阈值和社会最优阈值一致。
令n为队列的最大可能长度，无论何时有n个其他顾客在他前面，他会退出。这个数字包括正在服务的人数。在LCFS-PR队列中，令为当所有人从位置n 1处（包括正在考虑的顾客）退出时，位置n处顾客的期望收益。当然，对于n是单调递增的，最大的n为，因此。接下来，我们根据模型参数确定的值。
引理2.4
= R - 2.5
证明：在规定条件下，当原始资产为n时，顾客最终收到收益R的概率等于赌徒输光问题中输的概率，目标为n 1，每轮赢得概率为p==，令q=1-p，赌徒输光的概率为=
这个值被R除为位置为n的个体的正效用部分，其计划在到达n 1时退出。对于负效用的部分，值得注意的是，直到游戏结束的期望回合数是要么赌徒输光，要么他达到了他的目标，即
- * =
用这个表达式除以得到系统中每个顾客的期望时间，然后除以C得到期望等待成本。
基于式子2.5，当且仅当时，
（2.6）
将式子2.6的右半边记为g（n），即
g（n）= = = =
在任意》0时，函数g（n）随着n严格单调递增，是无限的，而g（0）=0。因此，存在唯一值
g（），
在队列控制下的财富最大化，这是系统中顾客数目的最大值。
在Naor的假设中，将g（v）=
定为真实值，对于g（v）=，令为g（v）的唯一函数值，则=
并且，
g（v）- v = = 0，
因此回顾（2.1）
===
总结：
个体最优化会导致社会期望的更长队列。
这一结果感觉上是粗鲁的，它也包含了更多通用的排队模型也，也会在（84，90，109,157,163,178,179）中展示出来。
4.收益最大化
假设现在服务者收费为p，但是，从社会观点来看，筹集的资金被认为是转移报酬，现在它们都是服务者的收益。模型假设宣布收费为p，顾客基于这一收费作出其是否加入队列的决策。因此观察到，仅在服务收益R至少和期望全部价格p C一样高时，系统中第i个顾客才加入。另一种观察行为是，顾客仅用R-p对服务完成度估值。给定p队列最大可能长度为（正如2.4所示）
n= 2.7
回忆是观察到系统中有n个顾客的概率，给定的n也是他们采取的阈值。举个例子，同时，n也是现在顾客的最大可能数目。因此为慢行概率。有效到达率为，收益率为。服务者选择期望阈值为n，符合这一阈值的最大价值为
p=R –
这个和式子2.2表明给定阈值n，
= 2.9
=
收益最大的阈值满足以下两个条件
带入式子2.9中，第一种情况为
或者
假设。左侧式子非负，两边同除时不用改变不等号方向。因此导出
用n 1代替n，变换不等号方向，第二种情况是
这两种情况可以总结为
n (2.10)
当0时，定义变量v1有如下关系：
(2.11)
对于给定的和右侧式子随着v从0到无穷大严格单调递增，因此对于式子2.11存在着唯一的结果。令
则唯一满足2.10的最优条件。最大收益为对应的收益为
（2.12）
立即得到时得到。Naor也表示
我们也得出了一些其他的情况：
- Naor表示利益最大化比福利最大化更好。Knudsen将结果概括为多元服务队列，其等待成本函数为非线性的。尤其是，当来源于服务的收益减少时，在系统中等待时呈凹形，Naor的结论仍然成立。Simonovits在GI/M/s队列中证明了类似的结果。
- Yechiali表示在GI/M/s队列中计算利益最大化收益时基于以下两种模型。第一种，顾客独立地应对费用，如2.7中。另一种情况下，组织顾客集中选择阈值使得给定收益下的总福利最大化，这从他们的角度看是真实成本（并非转移报酬，正如第三章假设的）。服务者了解顾客对于费用的反映以及如何选择可以使利益最大化。令和分别为顾客以个体方式或集体方式两种相对的方式下使得利益最大化的阈值，Simonovits证明在M/M/1队列中，推测同样的结论存在于通常的服务分布中。
- Rue和Rosenshine研究了阈值的敏感性，从Naor的模型中获取了对于到达率的改变。定性的结果如下：
- 在个体最优的情况下，社会财富是单峰函数。由于增加了服务者的用途，对于小价值的，他随着增加，但是更高的价值会由于增加的期望等待时间而减少。
- 福利最大化阈值是到达率单调递减的函数。
- Hassin也研究了到达率阈值改变的影响。随着从0到无穷大的变化，是常数，是非增函数，从1增大到最大值=，随后随着趋近无穷大而递减回1。
对于lt;，无论和如何变化，他们之间的不同是在下降的。
对于gt;，当变化时，变化在减小，当变化时，变化在增加，因为两者都是增函数，同时gt;
将定义为在可观察系统中利益最大化下的社会财富，代入2.3中的得到
图2.1解释了函数和，随着的变化，为不连续的值。当lt;，时向上跳跃，当gt;时，向下跳跃。当=1时两函数相遇，因为在这种情况下，服务者的收益达到社会福利（两种情况下的消费者剩余为零）。随着的增加，函数到达了这也是现在接受服务的消费者获得的净收益率。
- 在LCFS-PR队列中，每个消费者的期望福利独立于他到达时刻的队列长度。最大利益确实等于期望福利的最大价值，同时，消费者剩余为0。在这样的费用下，每个到达的顾客加入系统及加入系统之后的行为独立于这个费用。换句话说，在LCFS-PR队列中消费者的最优行为被保留，及时其被利益最大化所控制。这个性质不同于在在LCFS队列中利益最大者的非最优行为。
5.异构客户
Larsen认为Naor模型的概括是假设消费者随服务价值而有所不同。假设到达顾客的服务价值为R，这是一个分布函数F的随机变量。到达的顾客了解他的价值，但是这是他的私人信息，因此服务者不能利用它来歧视消费者。
假设佣金P是强制的。如果消费者的服务价值至少为p C，观察到队列中有i个消费者的顾客会加入队列。因此，当现在有i个消费者时，加入的过程服从泊松分布，当=1-F时比率为
此时给定的稳态概率为，····hellip;
,
当时，
只要系统非空，服务者会以比率操作。因此服务者的平均收益率为
期望的社会福利从第i个到达的消费者处获得，为
单位时间的平均福利分布为
通过代入得到表达式
得到
Larsen推断出一个数值研究，假定R是连续均衡的随机变量，并且发现Z（p）和S（p）都是均衡函数。对于顾客加入得特定情况，当且仅当系统为空时，Larsen证明利益最大化的费用大于等于福利最大化费用，正如Naor的模型那样。
相反，Edelson和Hildebrand表示如果顾客因时间价值而不同时，这个性质没必要保持。他们举了两种类型顾客的例子，不同参数成品率下，社会最优费用可能小于，大于或等于利益最大化费用。Afeche和Mendelson提供了每种条件下的不同情况。
Edelson、Hildebrand、Parra-Frutos和Aranda-Gallegorsquo;的模型假定两种类型的顾客，其到达比率为，时间价值为,i=1,2。
如果第i个顾客进入时发现系统中顾客不多于-1时，得出阈值为和。
Schroeter通过假定时间价值C统一分布在间隔 中，来修改Naor的模型。这个假设简化了对价值最大化的定价的推导。如果一个个体观察到系统中有k个顾客，他的时间价值C最大为
时，他会加入队列。假设时间价值足够大以至于此时即使是观察到队列为空，大家也不加入，加入过程服从泊松分
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