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随机工资和非劳动收入对劳动供给的影响：更新和扩展
W·亨利 邱·路易斯·意克霍德
摘要：对于劳动力供给的风险下的分析有着悠久的历史，可以追溯到希克斯和Knight。在20世纪80年代更多的技术论文调查随机非劳动收入和/或工资率对劳动供给的影响。在本文中，我们展示出，在风险中的平均保持增加的影响，对劳动供给工资率或者非劳动收入最好理解为一个特例的第N程度的风险增加，以及签署的工资率协议和非劳动收入更高一级的风险的增加对劳动供给的影响条件，这类似于工资率和非劳动收入一个简单的非随机下降。我们因此扩展并提供有关早期结果新的和更直观的解释。
关键词：劳动力供给 随机优势 审慎风险厌恶
1.介绍
人们在面对薪水或者非劳动收入的逐渐增长的不确定性的时候，是会增加还是减少他们的劳力供应呢？早期，一些著名的专家就这一问题纷纷提出了各自不同的见解，他们的见解兼具明确的政策意义和理论研究意义。 1.希克斯（1963）认为工资率的不稳定性抑制了人力供应。奈特（1964）却认为相比固定薪资人们更有动力去获取不确定薪资。布洛克和海内克（1973）先于他人从期望效用框架的角度分析了这些问题。 他们得知在一系列偏好假设下人们将会增加他们的劳力供应与此同时他们把劳力市场当做不确定性的阻碍.但是在这个不确定工薪的案例中，他们却获知基于相同猜测的偏好，由于工资率不确定性的增长给劳动力供应造成消极的不确定性替代影响和积极的收入不确定影响，工资率的不确定性的增长影响无法得以确定，这类似于非劳力收入不确定性的增长所带来的影响。
随后作者试图为工资不确定性的增加提供条件来得知劳动力供给的明确影响。泰斯莱和梅内塞斯(1980)给工资不确定性的增加提供了充足的条件证明其减少了劳动力供应。但是，目前他们在“休闲放弃与收入之间的边际替代率”的条款和“沿一条无差异曲线的危险增加负效用” 的条件上还不清楚它们是如何做出在喜好上更原始的假设的。迪翁和Eeckhoudt（1987）和Dardanoni（1988）显示，如果劳动供给曲线是正向倾斜的，并且“比例风险规避”是“沿预算线非递减”的，则增加工资的不确定性降低了劳动力供给。虽然这些充分条件能更好地做出风险规避措施的建立，但他们仍然难以解释，并且在经历了一个不同的顺序的随机变化的情况下他们的研究结果可以扩展到工资率的情况并不是很明显。
可用经验证据似乎表明了增加工资率的不确定性，这对劳动供给产生积极的影响。例如，Parker等（2005）发现的证据表明，自雇的美国工人为了应对更大的不确定性工资而延长工作时间，这可以帮助解释为什么自雇美国人工作更长的平均小时工资平均比他们同行的员工低。
在本文中，我们表明，劳动供给的增加的不确定性，签订工资率和非劳动收入可以更原始更容易解释的影响的条件。此外，获得这些条件可以很容易地扩展到一个随机产生的标志在任何程度的在工资率或非劳动收入的劳动供应影响的推理。这是，我们发现在工资率或其他收入风险均保持上升的劳动力供给，效果是最好的理解为一个n级风险增加的一种特殊情况（所伊肯（1980））和条件签订效果更具有风险。因此，我们不仅能够有一个更好的理解什么是参与假设正倾斜的劳动供给曲线也获得，并有一个可分析的条件下，劳动供给增加，当工资率经历了一个增长下行风险和外部风险的重要性日益认识到。下行风险增加，这相当于一个第三层风险增加，由Menezes等人定义。（1980）是一个改变分散分布从高到低水平的财富，从而降低偏度（由第三中心矩来衡量）在保持相同的均值和方差。外部风险增加，这相当于一个第四度的风险增加，另一方面，是由士和定义（2005）是一个改变分配，转移分散从中心到尾巴，从而降低“巅峰”的方式，使平均值，方差，偏度相同。
本文的其余部分安排如下。第2节规定了基本的模型和相关的第N度随机变化的概念和结果。第3节分析了在劳动力供给非劳动收入的随机变化的影响。第4节确定工资率的变化随机相同。第5部分显示出了具有两个最常用的效用函数的主要结果。第六部分是结论与简短的发言。
2.模型
考虑个人在休闲l和消费c偏好上的定义，并且由效用模型U(c,l)来表示，c和l被认为是增加的和向下凹的两个曲线。鉴于他的总时间T的禀赋，他的劳动力供给L 是由T-l表示，隐式地正常化消费的价格在以往的贡献来看是好的，并且用tilde; w表示工资率，用tilde; y表示非劳动收入，个人的选择c和L 来使他们的效用问题最大化去约束预算c = tilde; wL tilde; y。同样的个人选择L最大化：
EU( tilde; wL tilde; y,T minus; L). (1)
考虑到需要在下面描述结果的效用函数的高阶偏导数，n,m = 1,2,..., 我们通过c来表示U(n)(m) (c、l)的第n个偏导数，用l 表示U(n)(m)的第m 个偏导数，并且用U (n)(0) (c,l) 和 U (0)(n) (c,l)来表示 U(c,l)的第n 阶偏导数。然后假设严格凹函数L，比如：
E tilde; w 2 U (2)(0) ( tilde; wL tilde; y,T minus; L) minus; 2E tilde; wU (1)(1) ( tilde; wL tilde; y,T minus; L)
EU (0)(2) ( tilde; wL tilde; y,T minus; L) lt; 0 (2)
最优劳动力供给Llowast;满足一阶条件：
E tilde; wU (1)(0) ( tilde; wL lowast; tilde; y,T minus; L lowast; ) minus; EU (0)(1) ( tilde; wL lowast; tilde; y,T minus; L lowast; ) = 0. (3)
随机变量,比如工资tilde;w和非劳动收入tilde;y被认为是积极的和有界的，并且其分布函数是用分别tilde;w和Ftilde;y表示。对分布函数Ftilde;y(x)，定义 F (1) tilde; y(x) = F tilde; y (x)，并且
，其中所有的x大于0，且所有的n isin; {1,2,...}.
标准概念随机优势随风险程度增加的增加而增加(1980年Ekern)，定义如下。
定义1：1. y 1由第N度随机占优tilde; y 2主导，如果，且所有的x大于0，在这里不等式是严格对有些X的，并且，n = 2,..., N – 1。
2. y2是y 1第N度风险的加大，如果，且所有的x gt; 0，这里的不等式严格对待有些x，并且，n = 2,..., N。
正如科恩（1980）指出的，条件，n = 2,..., N，意味着第(Nminus;1)时刻tilde;y1和tilde;y 2是相等的，因此tilde;y 2作为一个一级风险，tilde;y 1的增加显然是一样的tilde;y 1主导tilde;y 2一级随机优势，并且罗斯柴尔德和斯蒂格利茨(1970)把二级风险增加定义为相当于保留增加风险。在另一方面来看，德梅内塞斯将三级风险增加定义为相当于一个下行风险增加，这对应于一个从高到低财富水平分散转移并且意味着以第三中心时刻减少偏态。四级风险进一步增加相当于塞斯和王(2005)定义的外增加风险，对应一个分散从一个分布的中心转移到它的反面同时保持其均值，方差和偏态。对这些著名的描述概念的属性和期望效用框架进行了总结如下：
引理1：1.y2是大于y1的n级风险，当且仅当(minus;1) N u (N) le; (ge;) 0时，Eu(tilde; y 2 ) le; (ge;)
Eu(tilde; y 1 )。
2.因为y1支配y2，当且仅当(minus;1) Nu (n)le;(ge;) 0，n = 1,2,..., N时，Eu(tilde;y 2 )le;(ge;) Eu( y1 )。
3. 非劳动收入风险,预防劳动供给
在本节中,我们考虑随机变化的非劳动收入的影响tilde;y并且假设工资固定在w =w。个人选择L来使EU( macr; wL tilde; y,T minus; L)最大化。首先考虑最简单的情况下,tilde;y从y 1的非随机减少为y 2的非随机。如果 Llowast;1和Llowast;2分别为y1和y2给出的最优选择，则，
wU (1)(0) ( macr; wL lowast;1 y 1 ,T minus; Llowast;1 ) minus; U (0)(1) ( macr; wLlowast;1 y 1 ,T minus; Llowast;1 ) = 0 (4)
并且，
wU (1)(0) ( macr; wL lowast;2 y 2 ,T minus; Llowast;2 ) minus; U (0)(1) ( macr; wLlowast;2 y 2 ,T minus; Llowast;2 ) = 0 (5)
考虑到二阶条件，当且仅当
wU (1)(0) ( macr; wL lowast;1 y 2 ,T minus; Llowast;1 ) minus; U (0)(1) ( macr; wLlowast;1 y 2 ,T minus; Llowast;1 ) ge; 0 (6)
时，我们有L lowast;2ge; L lowast;1，如果U (2)(0) le; 0 ，U (1)(1) ge; 0，这很显然是正确的。如果我们假设消费的边际效用是递减和消费和休闲是补充，非劳动收入增加劳动力供给或减少等同于休闲是正常的。这是因为在这些假设中，非劳动收入的减少，消费的边际效用增加，这使得劳动力供给的增加可取的，同时减少了休闲的边际效用，使劳动力供给减少了昂贵的效用。换言之，有两个组成部分到经常调用的收入效应和，如图下文中，在非劳动收入更一般随机变化的影响，可以更好地以类似的方式理解。
命题1：因为i = 1,2，让 L lowast;i使EU( macr; wL tilde; y i ,T minus; L)最大化。
因为Y 2是Y 1的第N级风险的加大，当(minus;1) N U (N 1)(0) (c,l) ge; 0且(minus;1) N U (N)(1) (c,l) le; 0（c gt; 0 ， l gt; 0）时，则L lowast;2ge; L lowast;1 。
因为y1支配y2，当(minus;1) n U (n 1)(0) (c,l)ge;0且(minus;1) n U (n)(1) (c,l)le;0（cgt;0，lgt;0，且 n = 1,2,..., N）时，, L lowast;2ge; L lowast;1 。
证明最佳选择L1满足一阶条件：
E macr; wU (1)(0) ( macr; wL lowast;1 tilde; y 1 ,T minus; Llowast;1 ) minus; EU (0)(1) ( macr; wLlowast;1 tilde; y 1 ,T minus; Llowast;1 ) = 0. (9)
鉴于二阶条件，当且仅当
E macr; wU (1)(0) ( macr; wL lowast;1 tilde; y 2 ,T minus; Llowast;1 ) minus; EU (0)(1) ( macr; wLlowast;1 tilde; y 2 ,T minus; Llowast;1 ) ge; 0. (10)
时，L lowast;2ge; L lowast;1 。
定义theta;(y) = macr; wU (1)(0) ( macr; wL lowast;1 y，T minus; Llowast;1 ) 和 eta;(y) = U (0)(1) ( macr; wLlowast;1 y，T minus; Llowast;1)，当Etheta;(tilde; y 2 ) ge; Etheta;(tilde; y 1 ) and Eeta;(tilde; y 2 ) le; Eeta;(tilde; y 1 )时，我们有L lowast;2ge; L lowast;1 。但是在引理1中，当且仅当（y ge; 0）时，Etheta;(tilde; y 2 ) ge; Etheta;(tilde; y 1 )，这暗示着(minus;1) N U (N 1)(0) (c,l) ge; 0 且所有的c ge; 0 ，l ge; 0. (11)
并且当且仅当（y gt; 0）时，Eeta;(tilde; y 2 ) le; Eeta;(tilde; y 1 )，这意味着：
(minus;1) N U (N)(1) (c,l) le; 0 且所有的 c gt; 0， l gt; 0。 (12)
同样在引理1中，当且仅当（ y gt; 0 ， n = 1,2,..., N）时，Etheta;(tilde;y 2 ) ge; Etheta;(tilde;y 1 )，这意味着，c gt; 0,l gt; 0, 并且 n = 1,2,..., N. (13)
并且因为y1支配y2，当且仅当（y gt; 0且 n = 1,2,..., N）时，Eeta;(tilde;y 2 ) le; Eeta;(tilde;y 1 )，这意味着(minus;1) n U (n)(1) (c,l) le; 0，所有c gt; 0，l gt; 0，n = 1,2,..., N。(14)
结果直接暗示以下当N=1或2时的特殊情况：
推论1：因为i = 1,2，让 L lowast;i使EU( macr; wL tilde; y i ,T minus; L)最大化，
- 因为y1支配y2，当U (2)(0) (c,l) le; 0，U (1)(1) (c,l) ge; 0（c ge; 0,l ge; 0）时，L lowast;2ge; L lowast;1 。
- 因为Y 2是Y 1的第N级风险的加大，当U (3)(0) (c,l) ge; 0，U (2)(1) (c,l) le; 0 （c ge; 0，l ge; 0）时，L lowast;2ge; L lowast;1。
为了解释这些结果，我们开始在明确的情况下确定非劳动收入第N级风险增加并且N =2，结果表示,假设U(3)(0)ge;0且U(2)(1)le;0，则更有风险的非劳动收入使得劳动力供给增加。直观地说,这是因为非劳动收入风险更大产生额外的消费，可以获得额外的劳动力供给,更多的实用价值在U(3)(0)ge;0，并且降低了边际效用的休闲，劳动力供给成本的效用U(2)(1)le;0。在第一个效应被称为“预防效应”或“分配效应”以来，在U(3)(0)ge;0是由个人的偏好消费时承受更大或较高的风险或财富，或等价分解风险更大的危害和较低的消费。这是因为概念和分析不同于一个积极的三阶导数的单变量，并且用冯Neumann-Morgenstern的效用表示一个积极的预防性储蓄动机。第二个效应可以称为随机互补效应，因为它涉及个人欲望或多或更少的休闲消费时随机恶化。假设U(2)(1)le;0可以被看作是一种广义的消费和休闲的补充
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