GARCH Model with Cross-sectional Volatility; GARCHX Models
Soosung Hwang1
Faculty of Finance
City University Business School
Steve E. Satchell
Faculty of Economics and Politics and Trinity College
Cambridge University
Abstract
This study introduces GARCH models with cross-sectional market volatility, which we call GARCHX model. The cross-sectional market volatility is equlvalent to common heteroskedasticity in asset specific returns, which was suggested by Connor and Linton (2001) as an important component in individual asset volatility. Using UK and US data, we find that daily return volatility can be better specified with GARCHX models, but GARCHX models do not necessarily perform better than conventional GARCH models in forecasting.
Keyword Cross-sectional Volatility, GARCHX, Forecasting Volatility
JEL Code C21, C22
1 Introduction
Volatility has long been used as a risk measure. Traditionally, volatility represented by variance (or standard deviation) is decomposed into diversifiable and nondiversifiable components. This measure of volatility, however, is unconditional and does not recognize that there are interesting patterns in asset volatility; e.g., time-varying and clustering properties. Over the last two decades financial econometricians have introduced various models to explain and predict these patterns in volatility. One of the important volatility models is the autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) family of models introduced by Engle (1982). Another important model is the stochastic volatility (SV) model introduced by Taylor (1986) and Hull and White (1987) among others.
In this study, we introduce a GARCH model that includes market volatility as an additional explanatory variable. The motivation of using the market volatility is to include cross-sectional relationship between asset returns and market returns in linear factor models. With the proposed model, we are able to investigate if there is a market wide common component in volatility and find if the common component is useful for explaining and forecasting individual stock volatility.
Since Fama and French (1993) introduced some accounting factors in linear regression framework, linear factor models have been increasingly popular. When we accept linear factor models as our return process, volatility of a stock is cross-sectionally decomposed into multiple components of the factors. A recent study on this area by Campbell, Lettau, Malkiel, and Xu (2001) decomposed the total volatility of a stock into three components, market volatility, industry volatility, and firm specific (idiosyncratic) volatility, and then showed that the market volatility is an important component of the stock volatility and tends to lead the idiosyncratic volatility.
One major problem in including market volatility into the GARCH framework is the appropriate choice of market volatility. The squared values of market returns or factor values are highly noisy and may not work in conditional volatility models; see Andersen and Bollerslev (1997) and Hwang (2001b) for example. An increasingly popular method to obtain less noisy and parameter free volatility is to use high frequency data; for example, daily volatility can be obtained by measuring summations of intraday squared returns. For studies using this method, see Andersen and Bollerslev (1997), Andersen, Bollerslev, Diebold, and Labys (1999) and Campbell, Lettau, Malkiel, and Xu (2001) among others.
In this study we use cross-sectional market volatility. The cross-sectional market volatility is a measure of disperse of individual asset returns with respect to the market return for a given time. Hwang (2001a), using linear factor models, showed that there is an analytical relationship between cross-sectional market volatility and time-series market volatility. He compared the properties of the cross-sectional market volatility with those of time-series market volatility such as squared market returns and conditional market volatility in the UK and US markets. The empirical results showed that cross-sectional market volatility is not only highly correlated with time-series market volatility but also more informative than squared market returns, suggesting that cross-sectional market volatility can be useful for the explanation and forecasting of time-series market volatility.
The cross-sectional market volatility can be considered common volatility in market. Recently, Connor and Linton (2001), using a large number of monthly UK equity returns, showed that the dynamic heteroskedasticity can be decomposed into three components; common factor-related heteroskedasticity, common heteroskedasticity in asset-specific returns, and purely asset specific heteroskedasticity. They found evidence of common heteroskedasticity in asset-specific returns. The cross-sectional market volatility in our study is equivalent to the common heteroskedasticity inasset-specific returns which is a cross-sectional average of individual volatility. In addition, since the cross-sectional and time-series market volatility is related both analytically and empirically (Hwang, 2001a), the common factor-related (market factor related) heteroskedasticity may also be explained with the cross-sectional market volatility.
We call our model GARCHX models since the constant in GARCH models is replaced by an extra term, i.e., the lagged cross-sectional market volatility, and thus the GARCHX model does not need additional parameters. Note that the cross-sectional market volatility is lagged to make the GARCHX mode conditional. The GARCHX model is simple, but includes information on some important factors, especially the market factor, via the cross-sectional volatility. Our model is a special case of the multiva
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具有横截面波动率的GARCH模型；
GARCHX模型
Soosung Hwang1
Faculty of Finance
City University Business School
Steve E. Satchell
Faculty of Economics and Politics and Trinity College
Cambridge University
摘 要
本文引入了具有横截面市场波动性的GARCH模型，我们称之为GARCHX模型.横截面市场波动与资产特性中常见的异方差是等价的。c收益，这是Connor和Linton(2001)提出的个人资产波动的一个重要组成部分。利用英国和美国的数据，我们发现日收益波动率可以更好地确定。使用GARCHX模型，但GARCHX模型未必比传统GARCH模型在预测中表现更好。
关键词 横截面波动率；GARCHX；
1 介绍
波动性一直被用作风险度量。 传统上，由方差（或标准差）表示的波动率被分解为可分散和不可分散的成分。 然而，这种波动的衡量标准是无条件的，并且不承认资产波动中存在有趣的模式; 例如时变和群集属性。 过去二十年来，金融计量经济学家引入了各种模型来解释和预测这些波动模式。 其中一个重要的波动模型是由Engle（1982）引入的自回归条件异方差（ARCH）族模型。 另一个重要的模型是Taylor（1986）和Hull和White（1987）等人引入的随机波动率（SV）模型。
在这项研究中，我们引入了GARCH模型，其中包括市场波动作为额外的解释变量。 使用市场波动的动机是在线性因子模型中包含资产收益和市场收益之间的横截面关系。 通过建议的模型，我们能够调查是否存在市场上广泛存在的波动性共同组成部分，并找出共同组成部分是否有助于解释和预测个体股票波动性。
由于Fama和French（1993）在线性回归框架中引入了一些会计因素，因此线性因子模型越来越受欢迎。 当我们接受线性因子模型作为我们的回归过程时，股票的波动率会被横截面分解为多个因素的组成部分。 Campbell，Lettau，Malkiel和Xu（2001）最近对这一领域的研究将股票的总波动性分解为三部分，即市场波动率，行业波动率和特定企业（特异性）波动率，进而说明市场波动是t的一个重要组成部分。他的股票波动性和倾向于引导这种特殊的波动。
将市场波动纳入GARCH框架的一个主要问题是市场波动的适当选择。 市场收益或因素价值的平方值非常嘈杂，并且可能不适用于条件波动率模型; 例如Andersen和Bollerslev（1997）和Hwang（2001b）。 获得较少噪声和无参数波动的日益流行的方法是使用高频数据; 例如，每日波动率可以通过计算日内平方收益的总和来获得。 对于使用这种方法的研究，参见Andersen和Bollerslev（1997），Andersen，Bollerslev，Diebold和Labys（1999）以及Campbell，Lettau，Malkiel和Xu（2001）等。
在这项研究中，我们使用横截面市场波动。 横截面市场波动率是衡量单个资产收益率相对于特定时间市场收益的分散程度。 Hwang（2001a）使用线性因子模型表明，横截面市场波动率与时间序列市场波动率之间存在分析关系。 他比较了横截面市场波动性与时间序列市场波动性（如英国和美国市场平方市场收益率和有条件市场波动性）的特性。 实证结果表明，横截面市场波动不仅与时间序列市场波动高度相关，而且比平方市场收益更具信息性，表明横截面市场波动对于时间序列市场的解释和预测是有用的。
横截面市场波动可以被认为是市场上的普遍波动。 最近，Connor和Linton（2001）利用大量英国股票月收益率表明，动态异方差可以分解为三个组成部分; 共同因素相关的异方差性，特定资产回报中的常见异方差性以及纯粹的资产专用异方差性。 他们在特定资产回报中发现了共同异方差的证据。 我们研究中的横截面市场波动性等同于特定资产收益率中的常见异方差性，即单个波动率的横截面平均值。 此外，由于横截面和时间序列的市场波动既与分析和实证有关（Hwang，2001a），也与横截面市场波动性相关，共同因素相关（市场因素相关）异方差也可以解释。
我们称我们的模型为garchx模型，因为GARCH模型中的常数被一个额外的项取代，即滞后的横截面市场波动率，因此GARCHX模型不需要额外的参数。 请注意，横截面市场波动滞后于GARCHX模式的条件。 GARCHX模型很简单，但包含一些重要因素的信息，尤其是市场因素，通过横截面波动性。 我们的模型是Engle，Ng和Rothchild（1990）的多变量因子GARCH模型的一个特例，其意义在于只包含了一个因素，即市场因素。 请注意，多元GARCH模型的主要问题是要估计的参数数量增长非常快，我们需要施加一些限制条件使得条件协方差矩阵为正定。 已经提出了几种方法来解决这些问题; 见第12章，Campbell，Lo和MacKinlay（1997）。
GARCHX模型也是Braun，Nelson和Sunier（1995）以及Glosten，Jagannathan和Runkle（1993）的广义模型，但与Braun，Nelson和Sunier（1995）不同的是，横截面波动率 用来。 Apergis（1998）提出了不同版本的GARCHX模型，以研究股价与某些宏观经济基本面之间关系的短期偏离如何影响股票市场的波动性。 在Apergis模型中，代表短期偏差的平方过去的误差修正项被加到GARCH条件波动率上。 GARCHX模型可被认为是Connor和Linton（2001）的简化版本。 在不使用复杂的计量经济模型的情况下，我们研究是否包含共同异方差在因素和资产特定的回报可以提高模型的波动性，也可以用于预测波动率。
利用10年英国和美国的每日数据，我们发现，用GARCHX模型比用GARCH模型更好地描述单个股票的收益率波动率(即平方回报)。最大李氏指数值、参数对横截面市场波动的意义等统计数据表明，GARCHX模型的总体表现优于GARCH模型。我们也用Garc预测收益率波动的HX模型。正如预期的那样，GARCHX模型对收益率波动率的预测性能没有什么改善，而在GARCH框架中，这类模型具有很高的噪声。见AnderSen和Bollerslv(1997)详细解释了用GARCH模型预测收益率波动的困难。
这项研究表明，股票收益率中的常见横截面异方差是条件波动率模型中的重要组成部分。 我们发现证据表明，包含在FTSE350和S＆P500中的超过四分之三的个股表现出对滞后的横截面市场波动率的显着系数。 如果我们允许当前的横截面市场波动性，我们可能会得到更强的证明普通波动性的解释个别股票波动性。 这一发现与Jones（2001）和Connor和Linton（2001）的研究结果一致，他们认为共同波动性是个体股票波动的重要来源。 我们还展示了个股的波动幅度可以用普通波动率来解释。 我们发现平均个股波动率的12％至16％可以用市场常见的波动性来解释。 这是Campbell，Lettau，Malkiel和Xu（2001）在类似样本期间发现的每月数据。
横截面波动率也可用于随机波动率（SV）模型; SVX模型。 我们期望这样的模型和GARCHX上下文一样工作。 在这项研究中，我们只考虑市场因素。 但是，其他因素也可能包括在内。 我们将这些留给未来的研究。
在下一节中，我们将解释为什么条件波动率模型可以包含横截面市场波动率，并介绍了GARCHX模型。在第三节，利用英国和美国的数据，我们表明与GARCH模型相比，GARCHX模型和GARCHX模型可以更好地用于波动率预测。结论见第4节。
2 具有横截面市场波动性的GARCH模型
GARCHX模型的引入需要解释横截面统计的横截面期望，如均值和方差。预测波动率。
2.1 时间序列与横截面期望
在本节中，我们定义了基本等价于加权矩的展望概念。 对于任何变量xit，其中i = 1,2，...，N和t = 1,2，...，T，时间序列期望被定义为
另一方面，定义了变量xit的横截面期望为
在时间t时，是资产I的适当横截面权重。如果对于所有的i和t是，对于所有的t，这个权重可能是一个概率测度。对于所有的i，一个简单的例子是对所有的i为。因此，，它是时间t处的加权横截面平均值，对应于均匀分布的离散版本。
因此，横截面预期可以被认为是考虑到权重是由市场决定的措施。 请注意，我们对每种资产都有时间序列期望值，因此我们有N个预期，而我们有T个横截面预期。 使用上述期望的定义，我们可以计算时间序列和横截面世界中的均值，方差，偏度和峰度。
一种简单但广泛使用的获得时间序列波动性的方法是应用返回过程来计算误差，然后对其进行平方。 例如，AR（1）过程可以用作计算错误的返回过程。 也就是说，对应的
当a和b是参数时，波动率是通过估计来计算的。偏度和峰度也可以分别通过估计和峰度来得到。
另一方面，横向市场波动需要大量的资产回报率在市场上。假设市场上有N个资产。然后，在时间t的横截面市场回报率为
它相当于时间t时的(等权或值加权)市场回报。因此，横截面市场波动的一个定义是
因此，横截面波动率表示跨单个股票计算的波动率。 当使用线性因子模型得到的残差时，计算得到的横截面市场波动率等于Connor和Linton（2001）的共同资产特定波动率。
横截面偏度和峰度也可以相应计算。 这些统计数据可以针对行业级别或特定的一组股票（如投资组合）进行计算。 在特殊情况下，方程（4）给实践者提供投资组合的横截面波动性的概念。 因此，个别资产的横截面波动率不存在。
2.2 GARCH模型
在传统的GARCH模型中，我们提出的模型使用滞后的横截面市场波动作为一个附加的解释变量。 这是Engle，Ng和Rothchild（1990）的因子ARCH模型的一个特例。 然而，Hwang（2001a）认为，横截面波动性提供了比时间序列波动更多的时变因素信息。 因此，我们提出了一个简单的条件波动率模型，包括横截面市场波动率。 我们的模型避免了在因子ARCH模型中确保条件波动率的积极性的计量经济障碍，同时提供比传统GARCH模型更好的结果。
首先，我们考虑资产I的收益与市场投资组合的回报和K因素之间的横截面关系；
其中，k=1，...，K是参数，是一个平均零误差过程。和是市场组合收益和k因子在时间t时的实际价值。与传统的线性因子模型一样，我们假设解释变量和是正交的，和表示用无风险收益计算的超额收益。 参见Chen，Roll和Ross（1986），Schwert（1989），Fama和French（1992），Lakonishok，Shleifer和Vishny（1994），Basu （1977）。
- 中的模型意味着有多个因素；市场组合；以及K和其他因素。因此，该模型是一个多因素的GARCH模型，期望回报条件是t-1，直到时间t-1是可用的
使用(5)和(6)，我们得到了在t1时刻资产I的收益的波动性。
同时
上面的方程显示了单个资产的时间序列波动与因素波动之间的横截面关系。
请注意，两者之间存在着显著的差异。横截面平均值为1，而其横截面平均值为0。进一步的讨论见 Hwang和Salmon(2001)。这意味着分布在1左右，而分布在0左右。另外，在许多情况下，市场因素以外因素与系数0无显着差异; 例如Hall，Hwang和Satchell（2001）。 Campbell，Lettau，Malkiel和Xu（2001）也表明，市场波动性和固定资产波动率是解释个别资产波动性的重要组成部分。此外，当我们取和的平方值时，在许多情况下可能仍然很重要但是可能不重要。此外，对市场因素以外的其他因素的识别通常是困难和有争议的。因此，只要我们的宇宙是一个理性的市场，我们可以近似资产收益率波动与以下横截面关系与市场波动；
目前流行的资产I的GARCH(1，1)过程是
是t时刻资产i的条件波动。 GARCH模型使用过去的波动率和条件波动率来解释当前的波动率。 然而，在GARCH模型中，我们没有发现可能是波动性的重要组成部分的市场波动。 也就是说，传统的GARCH模型不包括市场波动率与个别资产波动率之间的重要横截面关系。
将市场波动纳入GARCH(1，1)模型的一种方法是
这与Apergis(1998)提出的GARCH-X模型相同.在整个研究过程中，我们将模型(9)称为GARCHX-T(1，1)模型，以区别于我们的GARCHX模型。用于GARCHX-T(1，1)要保持静止，我们需要
与一般的GARCH(1，1)模型一样。然而，上述模型的一个主要问题是非负性条件.要使(9)中的条件波动过程始终为正，我们需要
然而，在实证评估中，我们面临着许多有但仍然存在的案例。
(12)中的条件对于(9)中的条件波动的正面性来说并不是必要和足够的，但是(11)中的条件在经验计算上似乎太强了。我们试过利用条件(11)和(12)对模型(9)进行估计，发现了(11)的严格非负性条件太强的许多情形。此外，还需要估计一个比GARCH(1，1)模型
另一种模式是
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